2010-2019北京高考数学(理)真题分类汇编专题四三角函数
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十讲三角函数的图象与性质
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos 411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π 个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C5．（2017新课标Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减6．（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=7．（2016北京）将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6π B ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D ．t =，s 的最小值为3π8．（2016山东）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．32πD ．2π9．（2016全国I ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-，≤为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 10．（2016全国II ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈11．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位12．（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(2)2y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x =+13．（2015新课标Ⅱ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈14．（2015安徽）已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+（Α，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是 A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 15．（2014新课标Ⅰ）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③16．（2014浙江）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位17．(2014安徽)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y轴对称，则ϕ的最小正值是A ．8π B ．4π C ．83π D ．43π 18．（2014福建）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭19．（2014辽宁）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 20．（2013广东）已知51sin()25πα+=，那么cos α=A ．25-B ．15-C ．15D ．2521．（2013山东）将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为A ．34π B ．4πC ．0D ．4π- 22．（2013福建）将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π23．（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π424．（2012安徽）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 25．（2012浙江）把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是26．（2012山东）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A ．23B ．0C ．－1D ．13--27．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．228．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是 A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(29．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23 B ．32C ．2D ．330．（2011新课标）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称31．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦32．（2011辽宁）已知函数)(x f =A tan （ω+ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．3B 3C 3D ．23 二、填空题33．(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．34．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_____． 35．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．36．（2016年全国III ）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．37．(2015浙江)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________，单调递减区间是_______．38．（2014山东）函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 39．（2014江苏）已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 40．（2014重庆）将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 41．（2014安徽）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________．42．(2013新课标Ⅰ)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= ． 43．（2013新课标Ⅱ）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________．44．（2013江西）设()cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数a 的取值范围是 ．45．（2013江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .46．（2011江苏）函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f = ．47．(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)． 48．（2010江苏）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为 ．49．（2010福建）已知函数()=3sin()(>0)6f x x πωω-和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对称轴完全相同．若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 ．三、解答题50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解．51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．（1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 52．（2017山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．53．（2016年天津）已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性．54．（2015北京）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．55．（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：((Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．56．（2014福建）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．57．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．58．（2014福建）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (Ⅰ)若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．59．（2014北京）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．60．（2014天津）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 61．（2014重庆）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值．62．(2013山东)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值．63． (2013天津)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R ． (Ⅰ) 求f ()的最小正周期；(Ⅱ) 求f ()在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 64．（2013湖南）已知函数()cos cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求2()3f π的值； （2）求使 1()4f x <成立的的取值集合．65．(2012安徽) 设函数2())sin 4f x x x π=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-； 求()g x 在[,0]π-上的解析式． 66．（2012湖南）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．67．（2012陕西）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值．。
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 三角函数的图象与性质(解析版 可下载)
D． f (x) 的最小正周期为 2π ，最大值为 4
【答案】B.
【解析】易知 f (x) 2 cos2 x sin 2 x 2 3cos2 x 1 3(2 cos2 x 1) 3 1
2
2
3 cos 2x 5 ，则 f (x) 的最小正周期为 ，
2
2
当 x k (k Z) 时， f (x) 取得最大值，最大值为 4．
6.（2018 全国卷Ⅱ）若 f (x) cos x sin x 在 [0, a] 是减函数，则 a 的最大值是
A． π 4
B． π 2
C． 3π 4
D． π
【答案】C.
【解析】解法一 f (x) cos x sin x 2 cos(x π) ， 4
当 x [0, a] 时， x [ , a ] ， 44 4
4
2
2 2
2.
故选 C．
5.（2018 全国卷Ⅰ）已知函数 f (x) 2 cos2 x sin 2 x 2 ，则
A． f (x) 的最小正周期为 ，最大值为 3
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B． f (x) 的最小正周期为 ，最大值为 4
C． f (x) 的最小正周期为 2π ，最大值为 3
12
4
【解析】（I）因为 f (x ) sin(x ) 是偶函数，
所以，对任意实数x都有 sin(x ) sin(x ) ，
即 sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin ，
故 2 sin x cos 0 ，所以 cos 0 ．
所以结合题意可知 a ≤ ，即 a ≤ 3 ，
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题05三角函数与解三角形文(含解析)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年北京文科06】设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，∴函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．2．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．3．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．4．【2013年北京文科05】在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a＝3，b＝5，sin A，∴由正弦定理得：sin B．故选：B．5．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．6．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）ac sin B，，可得：tan B，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tan A，∈（，+∞）．cos B sin B∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．7．【2017年北京文科09】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα，则sinβ＝．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．故答案为：．8．【2016年北京文科13】在△ABC中，∠A，a c，则．【解答】解：在△ABC中，∠A，a c，由正弦定理可得：，，sin C，C，则B．三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则1．故答案为：1．9．【2015年北京文科11】在△ABC中，a＝3，b，∠A，则∠B＝．【解答】解：由正弦定理可得，，即有sin B，由b＜a，则B＜A，可得B．故答案为：．10．【2014年北京文科12】在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，则c＝；sin A＝．【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+4﹣1＝4，即c＝2；∵cos C，C为三角形内角，∴sin C，∴由正弦定理得：sin A．故答案为：2；．11．【2012年北京文科11】在△ABC中，若a＝3，b，，则∠C的大小为．【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b，，∴由正弦定理得：，∴sin∠B．又b＜a，∴∠B＜∠A．∴∠B．∴∠C＝π．故答案为：．12．【2011年北京文科09】在△ABC中．若b＝5，，sin A，则a＝．【解答】解：在△ABC中．若b＝5，，sin A，所以，a．故答案为：．13．【2010年北京文科10】在△ABC中，若b＝1，c，∠C，则a＝．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sin B，∵b＜c，故B，则A由正弦定理得∴a 1故答案为：114．【2019年北京文科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cos B，∴sin B，由正弦定理有：，∴sin A，∴sin（B+C）＝sin（A）＝sin A．15．【2018年北京文科16】已知函数f（x）＝sin2x sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x sin x cos x sin2x＝sin（2x），f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，可得2x∈[，2m]，即有2m，解得m，则m的最小值为．16．【2017年北京文科16】已知函数f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[，]时，f（x）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x，（co2x sin2x）﹣sin2x，cos2x sin2x，＝sin（2x），∴Tπ，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin（2x）≤1，∴f（x）17．【2016年北京文科16】已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，，由于函数的最小正周期为π，则：T，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x），令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．18．【2015年北京文科15】已知函数f（x）＝sin x﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x﹣2sin2＝sin x﹣2＝sin x cos x＝2sin（x）∴f（x）的最小正周期T2π；（2）∵x∈[0，]，∴x∈[，π]，∴sin（x）∈[0，1]，即有：f（x）＝2sin（x）∈[，2]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：．19．【2014年北京文科16】函数f（x）＝3sin（2x）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝3sin（2x），∴f（x）的最小正周期Tπ，可知y0为函数的最大值3，x0；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，0]，∴当2x0，即x时，f（x）取最大值0，当2x，即x时，f（x）取最小值﹣320．【2013年北京文科15】已知函数f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x cos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α），求α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为∴T，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f（x），，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．21．【2013年北京文科18】已知函数f（x）＝x2+x sin x+cos x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）＝2x+x cos x＝x（2+cos x），∵曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，∴f′（a）＝a（2+cos a）＝0，f（a）＝b，联立，解得，故a＝0，b＝1．（II）∵f′（x）＝x（2+cos x）．令f′（x）＝0，得x＝0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表：所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1是f（x）的最小值．当b≤1时，曲线y＝f（x）与直线x＝b最多只有一个交点；当b＞1时，f（﹣2b）＝f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）＝1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）＝f（x2）＝b．由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点．综上可知，如果曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）．22．【2012年北京文科15】已知函数f（x）．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）由sin x≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）＝sin2x﹣cos2x﹣1sin（2x）﹣1∴f（x）的最小正周期Tπ．（2）∵函数y＝sin x的单调递减区间为[2kπ，2kπ]（k∈Z）∴由2kπ2x2kπ，x≠kπ（k∈Z）得kπx≤kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]（k∈Z）23．【2011年北京文科15】已知f（x）＝4cos x sin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，＝4cos x（）﹣1sin2x+2cos2x﹣1sin2x+cos2x＝2sin（2x），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵x，∴2x，∴当2x，即x时，f（x）取最大值2，当2x时，即x时，f（x）取得最小值﹣1．24．【2010年北京文科15】已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cos x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cos x＝3cos2x﹣4cos x﹣1，因为cos x∈[﹣1，1]，所以当cos x ＝﹣1时，f （x ）取最大值6；当时，取最小值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈ B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( )A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 3．将函数222()2cos 4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．已知函数()cos f x x x =，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -+=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.10．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________11．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______15．在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且c o s c o s A B a b +=，b =则a c +的取值范围为_____．16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.17．在ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积.19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =BD =．。
十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形
11．D【解析】由θ
∈
π 4
，π 2
可得
2θ
∈[π 2
,π ] ， cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 ， 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ，答案应选 D．
2
4
另解：由θ
∈
π 4
＝ 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ，选 C．
25
10
6．C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α 与 cosα 同号，
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ，选 C．
sin α
7．B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈
π 5
,
(ω
+ 2)π 10
，
若
f
(x)
在
0,
π 10
单调递增，
则
(ω
+
2)π
<
π
，即 ω
<
3
12
，因为
ω
<
29
，故③正确．
10 2
5
10
故选 D．
3.解析 因为 f ( x) 是奇函数，所以ϕ = 0 ， f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学(理) 专题04 导数与定积分 Word版含解析
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题04导数与定积分1.(2019·全国2·T文T10)曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0【答案】C【解析】当x=π时，y=2sin π+cos π=-1，即点(π，-1)在曲线y=2sin x+cos x上.∵y'=2cos x-sin x，∴y'|x=π=2cos π-sin π=-2.∴曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π)，即2x+y-2π+1=0.故选C.2.(2019·全国3·T理T6文T7)已知曲线y=ae x+xln x在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则 ( )A.a=e，b=-1B.a=e，b=1C.a=e-1，b=1D.a=e-1，b=-1【答案】D【解析】∵y'=ae x+ln x+1，∴k=y'|x=1=ae+1=2，∴ae=1，a=e-1.将点(1，1)代入y=2x+b，得2+b=1，∴b=-1.3.(2018·全国1·理T5文T6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax，解得a=1，则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1，得曲线y=f(x)在(0，0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.4.(2017·全国2·理T11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点，则f(x)的极小值为( )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1【答案】A【解析】由题意可得，f'(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点，所以f'(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)e x-1.所以f'(x)=(x2+x-2)e x-1.令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=1.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:选A.5.(2017·浙江·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 ( )【答案】D【解析】设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1，x2，x3，且x1<0<x2<x3.所以在区间(-∞，x1)和(x2，x3)上，f'(x)<0，f(x)是减函数，在区间(x1，x2)和(x3，+∞)上，f'(x)>0，f(x)是增函数，所以函数y=f(x)的图象可能为D，故选D.6.(2016·山东·理T10)若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3【答案】A【解析】当y=sin x时，y'=cos x，因为cos 0·cos π=-1，所以在函数y=sin x图象存在两点x=0，x=π使条件成立，故A正确;函数y=ln x，y=e x，y=x3的导数值均非负，不符合题意，故选A.7.(2016·全国1·文T12)若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在(-∞，+∞)单调递增，则a的取值范围是( )A.[-1，1]B.[-1,13]C.[-13,13] D.[-1,-13]【答案】C【解析】因为f(x)在R 上单调递增，所以f'(x)=-43cos 2x+acos x+53≥0在R 上恒成立. 由题意可得，当cos x=1时，f'(x)≥0， 当cos x=-1时，f'(x)≥0， 即{-43+a +53≥0,-43-a +53≥0,解得-13≤a≤13. 8.(2016·四川·理T9)设直线l 1，l 2分别是函数f(x)={-lnx ,0<x <1,lnx ,x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(0，+∞)D.(1，+∞) 【答案】A【解析】设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，-ln x 2)(不妨设x 1>1，0<x 2<1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1=1x 1，k 2=-1x 2.由已知得k 1k 2=-1，所以x 1x 2=1.所以x 2=1x 1.所以切线l 1的方程分别为y-ln x 1=1x 1(x-x 1)，切线l 2的方程为y+ln x 2=-1x 2(x-x 2)， 即y-ln x 1=-x 1(x -1x1).分别令x=0得A(0，-1+ln x 1)，B(0，1+ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x11+x 12,lnx 1+1-x 121+x 12). ∵x 1>1，∴S △PAB =12|y A -y B |·|x P |=2x 11+x 12<1+x 121+x 12=1. ∴0<S △PAB <1，故选A.9.(2015·全国2·理T12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞，-1)∪(0，1) B.(-1，0)∪(1，+∞) C.(-∞，-1)∪(-1，0) D.(0，1)∪(1，+∞)【答案】A【解析】当x>0时，令F(x)=f (x )x，则F'(x)=xf '(x )-f (x )x 2<0， ∴当x>0时，F(x)=f (x )x为减函数. ∵f(x)为奇函数，且由f(-1)=0，得f(1)=0，故F(1)=0. 在区间(0，1)上，F(x)>0;在(1，+∞)上，F(x)<0，即当0<x<1时，f(x)>0; 当x>1时，f(x)<0. 又f(x)为奇函数，∴当x ∈(-∞，-1)时，f(x)>0;当x ∈(-1，0)时，f(x)<0. 综上可知，f(x)>0的解集为(-∞，-1)∪(0，1).故选A.10.(2015·全国1·理T12)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.[-32e ,1) B.[-32e ,34) C.[32e ,34) D.[32e ,1)【答案】D【解析】由已知函数关系式，先找到满足f(x 0)<0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解. ∵f(0)=-1+a<0，∴x 0=0.又∵x 0=0是唯一的使f(x 0)<0的整数，11.(2014·全国1·理T11文T12)已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(-∞，-2) D.(-∞，-1) 【答案】C【解析】当a=0时，显然f(x)有2个零点，不符合题意;当a>0时，f'(x)=3ax 2-6x=3x(ax-2)，易知函数f(x)在(-∞，0)上单调递增. 又f(0)=1，当x →-∞时，f(x)=x 2(ax-3)+1→-∞，故不适合题意;当a<0时，f(x)在(-∞,2a )上单调递减，在(2a ,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，只需f (2a )>0就满足题意. 由f (2a )>0，得8a 2−12a 2+1>0，解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2.∴{f (-1)≥0,f (1)≥0,即{e -1[2×(-1)-1]+a +a ≥0,e (2×1-1)-a +a ≥0,解得a≥32e . 又∵a<1，∴32e ≤a<1，经检验a=34，符合题意，故选D. 12.(2014·江西，理8)若f(x)=x 2+2∫10f(x)dx ，则∫1f(x)dx=( )A.-1B.-13C.13D.1【答案】B 【解析】∵∫1f(x)dx=∫1x 2dx+∫1[2∫f 10(x )dx]dx=13x 3|01+[2∫f 10(x )dx]x |01=13+2∫10f(x)dx ， ∴∫10f(x)dx=-13.故选B.13.(2014·全国2·理T8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x ，则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1)，∴y'=a-1x+1. ∴y'|x=0=a-1=2，得a=3.14.(2014·全国2·文T11)若函数f(x)=kx-ln x 在区间(1，+∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(-∞，-2] B.(-∞，-1] C.[2，+∞) D.[1，+∞) 【答案】D【解析】由f'(x)=k-1x ，又f(x)在(1，+∞)上单调递增， 则f'(x)≥0在x ∈(1，+∞)上恒成立， 即k≥1x 在x ∈(1，+∞)上恒成立.又当x ∈(1，+∞)时，0<1x <1，故k≥1.故选D.15.(2014·全国2·理T12)设函数f(x)=√3sin πxm .若存在f(x)的极值点x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A.(-∞，-6)∪(6，+∞)B.(-∞，-4)∪(4，+∞)C.(-∞，-2)∪(2，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞) 【答案】C【解析】∵x 0是f(x)的极值点， ∴f'(x 0)=0，即πm·√3·cosπx 0m=0， 得πmx 0=k π+π2，k ∈Z ，即x 0=mk+12m ，k ∈Z.∴x 02+[f(x 0)]2<m 2可转化为(mk +12m)2+[√3sin πm (mk +12m)]2<m 2，k ∈Z ，即(k +12)2m 2+3<m 2，k ∈Z ，即(k +12)2<1-3m2，k ∈Z.要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使1-3m 2>(k +12)2成立即可.又(k +12)2的最小值为14，∴1-3m 2>14，解得m<-2或m>2.故选C.16.(2014·湖北·理T6)若函数f(x)，g(x)满足∫1-1f(x)g(x)dx=0，则称f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数.给出三组函数: ①f(x)=sin 12x ，g(x)=cos 12x; ②f(x)=x+1，g(x)=x-1; ③f(x)=x ，g(x)=x 2.其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】对于①，∫1-1(sin 12x ·cos 12x)dx=∫1-112sin xdx=12∫1-1sin xdx=12(-cos x)|-11=12{-cos1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1)=0. 故①为一组正交函数;对于②，∫1-1(x+1)(x-1)dx=∫1-1(x 2-1)dx=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0，故②不是一组正交函数;对于③，∫1-1x ·x 2dx=∫1-1x 3dx=(14x 4)|-11=0.故③为一组正交函数，故选C.17.(2014·山东，理6)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2√2 B.4√2 C.2 D.4【答案】D【解析】由{y =4x ,y =x 3,解得x=-2或x=0或x=2，所以直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=∫2(4x-x 3)dx=(2x 2-14x 4)|02=(2×22-14×24)-0=4.18.(2013·北京，理7)直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B.2C.83D.16√23【答案】C【解析】由题意可知，l 的方程为y=1. 如图，B 点坐标为(2，1)， ∴所求面积S=4-2∫2x 24dx=4-2(x 312)|02=83，故选C.19.(2013·全国2·理T10文T11)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R ，f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点，则f'(x 0)=0 【答案】C【解析】∵x 0是f(x)的极小值点，则y=f(x)的图象大致如下图所示，则在(-∞，x 0)上不单调，故C 不正确.20.(2013·湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+251+t (t 的单位:s ，v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln 113 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2【答案】C【解析】由于v(t)=7-3t+251+t ，且汽车停止时速度为0，因此由v(t)=0可解得t=4，即汽车从刹车到停止共用4 s.该汽车在此期间所行驶的距离s=∫40(7-3t +251+t )dt=[7t -3t 22+25ln (t +1)]|04=4+25ln 5(m).21.(2012·湖北·理T3)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32D.π2【答案】B【解析】由图象可得二次函数的【解析】式为f(x)=-x 2+1，则与x 轴所围图形的面积S=∫1-1(-x2+1)dx=(-x 33+x)|-11=43.22.(2011·全国，理9)由曲线y=√x ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B.4C.163D.6【答案】C【解析】由题意知，所围成的面积∫4[√x -(x-2)]dx=(23x 32-12x2+2x)| 04=23×432−12×42+2×4=163.23.(2010·全国，理3)曲线y=xx+2在点(-1，-1)处的切线方程为( ) A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2 【答案】A 【解析】∵y'=x+2-x (x+2)2=2(x+2)2，∴在点(-1，-1)处的切线方程的斜率为2(-1+2)2=2.∴切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.24.(2010·全国·文T4)曲线y=x 3-2x+1在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2【答案】A【解析】y'|x=1=(3x 2-2)|x=1=1，因此曲线在(1，0)处的切线方程为y=x-1. 25.(2019·全国1·T13)曲线y=3(x 2+x)e x在点(0，0)处的切线方程为 . 【答案】y=3x【解析】由题意可知y'=3(2x+1)e x+3(x 2+x)e x=3(x 2+3x+1)e x， ∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x 2+x)e x在点(0，0)处的切线方程为y=3x.26.(2019·天津·文T11)曲线y=cos x-x 2在点(0，1)处的切线方程为 . 【答案】x+2y-2=0 【解析】y'=-sin x-12，y'|x=0=k=-12.切线方程为y-1=-12x ，即x+2y-2=0.27.(2019·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ，-1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是 . 【答案】(e ，1)【解析】设点A(x 0，y 0)，则y 0=ln x 0，又y'=1x，当x=x 0时，y'=1x 0，点A 在曲线y=ln x 上的切线为y-y 0=1x 0(x-x 0)，即y-ln x 0=x x 0-1，代入点(-e ，-1)，得-1-ln x 0=-e x 0-1，即x 0ln x 0=e ，得x 0=e ，y 0=1，故点A(e ，1).28.(2018·天津·文T10)已知函数f(x)=e xln x ，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(1)的值为 . 【答案】e【解析】∵f'(x)=e xln x+e x x，∴f'(1)=eln 1+e 1=e.29.(2018·全国2·理T13 )曲线y=2ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为 . 【答案】y=2x【解析】∵y'=2x+1，∴当x=0时，y'=2， ∴曲线在(0，0)处的切线方程为y=2x.30.(2018·全国2·文T13)曲线y=2ln x 在点(1，0)处的切线方程为 .【答案】y=2x-2【解析】∵y'=(2ln x)'=2x ，∴当x=1时，y'=2.∴切线方程为y=2(x-1)，即y=2x-2. 31.(2018·全国3，理14)直线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为-2，则a= . 【答案】-3【解析】设f(x)=(ax+1)e x，∵f'(x)=a ·e x+(ax+1)e x=(ax+a+1)e x，∴f(x)=(ax+1)e x 在(0，1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2，∴a=-3.32.(2018·江苏·T11)若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为 . 【答案】-3【解析】由f'(x)=6x 2-2ax=0，得x=0或x=a3.因为函数f(x)在(0，+∞)内有且只有一个零点，且f(0)=1，所以a 3>0，f (a3)=0，因此2(a 3)3-a (a 3)2+1=0，解得a=3.从而函数f(x)在[-1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f(x)max =f(0)=1，f(x)min =f(-1)=-4.故f(x)max +f(x)min =1-4=-3. 33.(2017·全国1，文14)曲线y=x 2+ 在点(1，2)处的切线方程为 . 【答案】y=x+1【解析】设y=f(x)，则f'(x)=2x-1x2，所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x 2+1x在点(1，2)处的切线方程为y-2=1×(x-1)，即y=x+1.34.(2017·天津，文10)已知a ∈R ，设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1，f(1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1【解析】∵f(x)=ax-ln x ，∴f'(x)=a-1x，f'(1)=a-1，f(1)=a ，则切线l 方程为y-a=(a-1)(x-1)，即y=(a-1)x+1，则l 在y 轴上的截距为1.35.(2017·山东·理T15)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x 3④f(x)=x 2+2 【答案】①④【解析】对①，设g(x)=e x·2-x， 则g'(x)=e x(2-x +2-x ln 12)=e x ·2-x·(1+ln 12)>0，∴g(x)在R 上单调递增，具有M 性质; 对②，设g(x)=e x·3-x， 则g'(x)=e x(3-x +3-x ln 13)=e x ·3-x(1+ln 13)<0，∴g(x)在R 上单调递减，不具有M 性质;对③，设g(x)=e x·x 3，则g'(x)=e x·x 2(x+3)，令g'(x)=0，得x 1=-3，x 2=0， ∴g(x)在(-∞，-3)上单调递减，在(-3，+∞)上单调递增，不具有M 性质; 对④，设g(x)=e x(x 2+2)，则g'(x)=e x(x 2+2x+2)，∵x 2+2x+2=(x+1)2+1>0， ∴g'(x)>0，∴g(x)在R 上单调递增，具有M 性质.故填①④.36.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x 3-2x+e x-1ex ，其中e 是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[-1,12] 【解析】因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e -x-1e -x=-f(x)，所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x 2-2+e x+e -x≥3x 2-2+2√e x ·e -x ≥0(当且仅当x=0时等号成立)，所以f(x)在R 上单调递增，因为f(a-1)+f(2a 2)≤0可化为f(2a 2)≤-f(a-1)，即f(2a 2)≤f(1-a)，所以2a 2≤1-a ，2a 2+a-1≤0，解得-1≤a≤12，故实数a 的取值范围是[-1,12].37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= . 【答案】1-ln 2【解析】设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x 1，kx 1+b)，(x 2，kx 2+b)，由导数的几何意义，可得k=1x 1=1x 2+1，得x 1=x 2+1.又切点也在各自曲线上，所以 {kx 1+b =lnx 1+2,kx 2+b =ln (x 2+1),所以{ k =2,x 1=12,x 2=-12. 从而由kx 1+b=ln x 1+2，代入解得b=1-ln 2.38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax 3+x+1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a= .【答案】1【解析】∵f'(x)=3ax 2+1，∴f'(1)=3a+1， 即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2，∴已知点为(1，a+2). 而由过(1，a+2)，(2，7)两点的直线的斜率为a+2-71-2=5-a ，∴5-a=3a+1，解得a=1.39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切，则a= . 【答案】8【解析】∵y'=1+1x，∴k=y'|x=1=2， ∴切线方程为y=2x-1.由y=2x-1与y=ax 2+(a+2)x+1联立，得ax 2+ax+2=0，再由相切知Δ=a 2-8a=0，解得a=0或a=8. ∵当a=0时，y=ax 2+(a+2)x+1并非曲线而是直线，∴a=0舍去，故a=8.40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e x在点(0，1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 . 【答案】(1，1)【解析】曲线y=e x在点(0，1)处的切线斜率k=y'=e x|x=0=1;由y=1x ，可得y'=-1x 2，因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0，1)处的切线垂直，故-1x P2=-1，解得x P =1，由y=1x ，得y P =1，故所求点P 的坐标为(1，1).41.(2015·天津，理11)曲线y=x 2与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为______________.【答案】16【解析】函数y=x 2与y=x 的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设其面积为S.由{y =x 2,y =x ,得{x =0,y =0或{x =1,y =1.故所求面积S=∫1(x-x 2)dx=(12x 2-13x 3)|01=16.42.(2015·陕西·理T16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【答案】1.2 【解析】43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC ，其中A(0，0)，B (12,5)，C(1，0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________________. 【答案】54【解析】由题意f(x)={10x ,0≤x ≤12,-10x +10,12<x ≤1,则xf(x)={10x 2,0≤x ≤12,-10x 2+10x ,12<x ≤1.∴xf(x)与x 轴围成图形的面积为∫12010x 2dx+∫112(-10x 2+10x)dx=103x 3|012+(5x 2-103x 3)|121=103×18+(5-103)−(54-103×18)=54.44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1，1)处的切线方程为 . 【答案】4x-y-3=0【解析】因为y'=3ln x+4，故y'|x=1=4，所以曲线在点(1，1)处的切线方程为y-1=4(x-1)，化为一般式方程为4x-y-3=0.45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=√x 与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2，则a=. 【答案】49【解析】由题意可得曲线y=√x 与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积S=∫a0√x dx=23x 32|0a =23a 32=a 2，解得a=49.46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x 3-ax 2+2. (1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M-m 的取值范围. 【解析】(1)f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a). 令f'(x)=0，得x=0或x=a3.若a>0，则当x ∈(-∞，0)∪(a 3,+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(0,a3)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞，0)，(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减;若a=0，f(x)在(-∞，+∞)单调递增;若a<0，则当x ∈(-∞,a 3)∪(0，+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(a3,0)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a3)，(0，+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减. (2)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在(0,a3)单调递减，在(a3,1)单调递增，所以f(x)在[0，1]的最小值为f (a3)=-a 327+2，最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-a 327+2，M={4-a ,0<a <2,2,2≤a <3.所以M-m={2-a +a 327,0<a <2,a327,2≤a <3.当0<a<2时，可知2-a+a 327单调递减， 所以M-m 的取值范围是(827,2). 当2≤a<3时，a 327单调递增，所以M-m 的取值范围是[827,1).综上，M-m 的取值范围是[827,2). 47.(2019·浙江·T22)已知实数a ≠0，设函数f(x)=aln x+√1+x ，x>0. (1)当a=-34时，求函数f(x)的单调区间; (2)对任意x ∈1e 2，+∞均有f(x)≤√x 2a，求a 的取值范围.注:e=2.718 28…为自然对数的底数.【解析】(1)当a=-34时，f(x)=-34ln x+√1+x ，x>0. f'(x)=-34x 2√1+x=√1+x -√1+x+14x √1+x，所以，函数f(x)的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3，+∞).(2)由f(1)≤12a ，得0<a≤√24. 当0<a≤√24时，f(x)≤√x 2a 等价于√xa 2−2√1+xa-2ln x≥0. 令t=1a ，则t≥2√2.设g(t)=t 2√x -2t √1+x -2ln x ，t≥2√2，则 g(t)=√x t-√1+1x 2-1+x√x -2ln x.①当x ∈17，+∞时，√1+1x≤2√2，则g(t)≥g(2√2)=8√x -4√2√1+x -2ln x. 记p(x)=4√x -2√2√1+x -ln x ，x≥17，则 p'(x)=√x−√2√x+1−1x=√x √x+1-√2x √x+1x √x+1=√x (√2x+2-x √x+1(√x+1)(√x+1+√2x ).故 17，1 1 p17单调递减所以，p(x)≥(1)=0.因此，g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0. ②当x ∈1e 2,17时，g(t)≥g √1+1x=-2√xlnx -(x+1)2√x.令q(x)=2√x ln x+(x+1)，x ∈1e 2,17，则q'(x)=√x+1>0， 故q(x)在1e 2,17上单调递增， 所以q(x)≤q17.由①得，q17=-2√77p 17<-2√77p(1)=0. 所以，q(x)<0.因此，g(t)≥g √1+1x =-q (x)2√x >0.由①②知对任意x ∈1e 2，+∞，t ∈[2√2，+∞)，g(t)≥0，即对任意x ∈1e 2，+∞，均有f(x)≤√x 2a.综上所述，所求a 的取值范围是0，√24.48.(2019·全国2，文21，12分，难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，+∞). f'(x)=x -1x +ln x-1=ln x-1x. 因为y=ln x 单调递增，y=1x单调递减，所以f'(x)单调递增. 又f'(1)=-1<0，f'(2)=ln 2-12=ln4-12>0，故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f'(x 0)=0.又当x<x 0时，f'(x)<0，f(x)单调递减; 当x>x 0时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x 0)<f(1)=-2，又f(e 2)=e 2-3>0， 所以f(x)=0在区间(x 0，+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f （1α）=（1α-1）ln 1α−1α-1=f (α)α=0， 故1α是f(x)=0在(0，x 0)的唯一根.综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.49.(2019·江苏，19，16分，难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，a ，b ，c ∈R ，f'(x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c ，f(4)=8，求a 的值;(2)若a ≠b ，b=c ，且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，求f(x)的极小值; (3)若a=0，0<b ≤1，c=1，且f(x)的极大值为M ，求证:M ≤427.【解析】(1)因为a=b=c ，所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3. 因为f(4)=8，所以(4-a)3=8，解得a=2. (2)因为b=c ，所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x 3-(a+2b)x 2+b(2a+b)x-ab 2， 从而f'(x)=3(x-b)(x -2a+b3). 令f'(x)=0，得x=b 或x=2a+b3. 因为a ，b ，2a+b3都在集合{-3，1，3}中，且a ≠b ， 所以2a+b3=1，a=3，b=-3.此时，f(x)=(x-3)(x+3)2，f'(x)=3(x+3)(x-1). 令f'(x)=0，得x=-3或x=1. 列表如下:所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32. (3)因为a=0，c=1，所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x 3-(b+1)x 2+bx ，f'(x)=3x 2-2(b+1)x+b. 因为0<b ≤1，所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3>0， 则f'(x)有2个不同的零点， 设为x 1，x 2(x 1<x 2). 由f'(x)=0，得x 1=b+1-√b 2-b+13，x 2=b+1+√b 2-b+13.列表如下f(x)↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗(解法一)M=f(x 1)=x 13-(b+1)x 12+bx 1=[3x 12-2(b+1)x 1+b](x 13-b+19)−2(b 2-b+1)9x 1+b (b+1)9 =-2(b 2-b+1)(b+1)27+b (b+1)9+227(√b 2-b +1)3 =b (b+1)27−2(b -1)2(b+1)27+227(√b (b -1)+1)3 ≤b (b+1)27+227≤427.因此M≤427. (解法二)因为0<b ≤1，所以x 1∈(0，1).当x ∈(0，1)时，f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2. 令g(x)=x(x-1)2，x ∈(0，1)， 则g'(x)=3(x -13)(x-1).令g'(x)=0，得x=13. 列表如下:所以当x=13时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max =g (13)=427.所以当x ∈(0，1)时，f(x)≤g(x)≤427. 因此M≤427.50.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x 3-ax 2+b. (1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a ，b ，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出a ，b 的所有值;若不存在，说明理由.【解析】(1)f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0，得x=0或x=a 3.若a>0，则当x ∈(-∞，0)∪(a3,+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(0,a3)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞，0)，(a 3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减; 若a=0，f(x)在(-∞，+∞)单调递增;若a<0，则当x ∈(-∞,a3)∪(0，+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(a 3,0)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a 3)，(0，+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)满足题设条件的a ，b 存在.(ⅰ)当a ≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)=b ，最大值为f(1)=2-a+b.此时a ，b 满足题设条件当且仅当b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.(ⅱ)当a ≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b ，最小值为f(1)=2-a+b.此时a ，b 满足题设条件当且仅当2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.(ⅲ)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值为f (a3)=-a 327+b ，最大值为b 或2-a+b. 若-a 327+b=-1，b=1，则a=3√23，与0<a<3矛盾.若-a 327+b=-1，2-a+b=1，则a=3√3或a=-3√3或a=0，与0<a<3矛盾.综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为-1，最大值为1. 51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=e xcos x ，g(x)为f(x)的导函数. (1)求f(x)的单调区间;(2)当x ∈π4,π2时，证明f(x)+g(x)π2-x ≥0;(3)设x n 为函数u(x)=f(x)-1在区间2n π+π4，2n π+π2内的零点，其中n ∈N ，证明2n π+π2-x n <e -2nπsinx 0-cosx 0.【解析】(1)由已知，有f'(x)=e x (cos x-sin x).因此，当x ∈2k π+π4，2k π+5π4(k ∈Z)时，有sin x>cosx ，得f'(x)<0，则f(x)单调递减;当x ∈2k π-3π4，2k π+π4(k ∈Z)时，有sin x<cos x ，得f'(x)>0，则f(x)单调递增.所以，f(x)的单调递增区间为2k π-3π4，2k π+π4(k ∈Z)，f(x)的单调递减区间为2k π+π4，2k π+5π4(k ∈Z).(2)证明记h(x)=f(x)+g(x)π2-x .依题意及(1)，有g(x)=e x (cos x-sin x)，从而g'(x)=-2e x sin x. 当x ∈π4,π2时，g'(x)<0，故h'(x)=f'(x)+g'(x)π2-x +g(x)(-1)=g'(x)π2-x <0.因此，h(x)在区间π4,π2上单调递减，进而h(x)≥h π2=f π2=0. 所以，当x ∈π4,π2时，f(x)+g(x)π2-x ≥0.(3)证明依题意，u(x n )=f(x n )-1=0，即e x n cos x n =1.记y n =x n -2n π，则y n ∈π4,π2，且f(y n )=e y n cos y n =e x n -2nπcos (x n -2n π)=e-2n π(n ∈N).由f(y n )=e -2n π≤1=f(y 0)及(1)，得y n ≥y 0.由(2)知，当x ∈π4,π2时，g'(x)<0，所以g(x)在π4,π2上为减函数， 因此g(y n )≤g(y 0)<g π4=0. 又由(2)知，f(y n )+g(y n )π2-y n ≥0，故π2-y n ≤-f (y n )g (y n )=-e -2nπg (y n )≤-e -2nπg (y 0)=e -2nπe y 0(siny 0-cosy 0)<e -2nπsinx 0-cosx 0. 所以，2n π+π2-x n <e -2nπsinx 0-cosx 0.52.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x)，f'(x)为f(x)的导数.证明: (1)f'(x)在区间(-1,π2)存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 【解析】(1)设g(x)=f'(x)， 则g(x)=cos x-11+x ，g'(x)=-sin x+1(1+x )2.当x ∈(-1,π2)时，g'(x)单调递减， 而g'(0)>0，g'(π2)<0，可得g'(x)在区间(-1,π2)内有唯一零点，设为α. 则当x ∈(-1，α)时，g'(x)>0;当x∈(α,π2)时，g'(x)<0.所以g(x)在区间(-1，α)内单调递增，在区间(α,π2)内单调递减，故g(x)在区间(-1,π2)内存在唯一极大值点，即f'(x)在区间(-1,π2)内存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1，+∞).(ⅰ)当x∈(-1，0]时，由(1)知，f'(x)在区间(-1，0)内单调递增，而f'(0)=0，所以当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，故f(x)在区间(-1，0)内单调递减.又f(0)=0，从而x=0是f(x)在区间(-1，0]上的唯一零点.(ⅱ)当x∈(0,π2]时，由(1)知，f'(x)在区间(0，α)内单调递增，在区间(α,π2)内单调递减，而f'(0)=0，f'(π2)<0，所以存在β∈(α,π2)，使得f'(β)=0，且当x∈(0，β)时，f'(x)>0;当x∈(β,π2)时，f'(x)<0.故f(x)在区间(0，β)内单调递增，在区间(β,π2)内单调递减.又f(0)=0，f(π2)=1-ln(1+π2)>0，所以当x∈(0,π2]时，f(x)>0.从而，f(x)在区间(0,π2]上没有零点.(ⅲ)当x∈(π2,π]时，f'(x)<0，所以f(x)在区间(π2,π)内单调递减.而f(π2)>0，f(π)<0，所以f(x)在区间(π2,π]上有唯一零点.(ⅳ)当x∈(π，+∞)时，ln(x+1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在区间(π，+∞)内没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.53.(2019·全国1·文T20)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x，f'(x)为f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0，π)存在唯一零点;(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.【解析】(1)证明设g(x)=f'(x)，则g(x)=cos x+xsin x-1，g'(x)=xcos x.当x∈(0,π2)时，g'(x)>0;当x∈(π2,π)时，g'(x)<0，所以g(x)在(0,π2)单调递增，在(π2,π)单调递减.又g(0)=0，g (π2)>0，g(π)=-2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点. 所以f'(x)在(0，π)存在唯一零点.(2)解由题设知f (π)≥a π，f (π)=0，可得a ≤0.由(1)知，f'(x)在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f'(x)>0;当x ∈(x 0，π)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，x 0)单调递增，在(x 0，π)单调递减. 又f(0)=0，f (π)=0，所以，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0. 又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f(x)≥ax. 因此，a 的取值范围是(-∞，0].54.(2019·全国2·理T20)已知函数f(x)=ln x-x+1x -1. (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线. 【解析】(1) f(x)的定义域为(0，1)∪(1，+∞). 因为f'(x)=1x +2(x -1)2>0，所以f(x)在区间(0，1)，(1，+∞)内单调递增. 因为f(e)=1-e+1e -1<0，f(e 2)=2-e 2+1e 2-1=e 2-3e 2-1>0，所以f(x)在区间(1，+∞)内有唯一零点x 1，即f(x 1)=0.又0<1x 1<1，f 1x 1=-ln x 1+x 1+1x 1-1=-f(x 1)=0，故f(x)在区间(0，1)内有唯一零点1x 1.综上，f(x)有且仅有两个零点.(2)证明因为1x 0=e -lnx 0，故点B -ln x 0，1x在曲线y=e x 上.由题设知f(x 0)=0，即ln x 0=x 0+1x 0-1，故直线AB 的斜率k=1x 0-lnx 0-lnx 0-x 0=1x 0-x 0+1x 0-1-x 0+1x 0-1-x 0=1x 0.曲线y=e x 在点B -ln x 0，1x处切线的斜率是1x 0，曲线y=ln x 在点A(x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y=ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y=e x 的切线. 55.(2019·天津·文T20)设函数f(x)=ln x-a(x-1)e x，其中a ∈R. (1)若a ≤0，讨论f(x)的单调性; (2)若0<a<1e ，①证明f(x)恰有两个零点;②设x 0为f(x)的极值点，x 1为f(x)的零点，且x 1>x 0，证明3x 0-x 1>2.【解析】(1)由已知，f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=1x -[ae x +a(x-1)e x]=1-ax 2e x x .因此当a≤0时，1-ax 2e x>0，从而f'(x)>0， 所以f(x)在(0，+∞)内单调递增.(2)证明①由(1)知，f'(x)=1-ax 2e x x .令g(x)=1-ax 2e x ，由0<a<1e，可知g(x)在(0，+∞)内单调递减，又g(1)=1-ae>0，且g ln1a=1-a ln1a21a=1-ln1a2<0，故g(x)=0在(0，+∞)内有唯一解，从而f'(x)=0在(0，+∞)内有唯一解，不妨设为x 0，则1<x 0<ln 1a . 当x ∈(0，x 0)时，f'(x)=g (x )x>g (x 0)x=0， 所以f(x)在(0，x 0)内单调递增; 当x ∈(x 0，+∞)时，f'(x)=g (x )x <g (x 0)x=0，所以f(x)在(x 0，+∞)内单调递减，因此x 0是f(x)的唯一极值点.令h(x)=ln x-x+1，则当x>1时，h'(x)=1x-1<0，故h(x)在(1，+∞)内单调递减，从而当x>1时，h(x)<h(1)=0，所以x<x-1. 从而f ln1a=ln ln1a-a ln 1a -1e ln 1a =ln ln 1a -ln 1a +1=h ln 1a<0，又因为f(x 0)>f(1)=0，所以f(x)在(x 0，+∞)内有唯一零点.又f(x)在(0，x 0)内有唯一零点1，从而，f(x)在(0，+∞)内恰有两个零点.②由题意，{f '(x 0)=0,f (x 1)=0,即{ax 02e x 0=1,lnx 1=a (x 1-1)e x 1,从而ln x 1=x 1-1x 02e x 1-x 0，即e x 1-x 0=x 02lnx 1x 1-1.因为当x>1时，ln x<x-1，又x 1>x 0>1，故e x 1-x 0<x 02(x 1-1)x 1-1=x 02，两边取对数，得ln e x 1-x 0<ln x 02，于是x 1-x 0<2ln x 0<2(x 0-1)，整理得3x 0-x 1>2.56.(2018·全国2·理T21)已知函数f(x)=e x -ax 2. (1)若a=1，证明:当x ≥0时，f(x)≥1; (2)若f(x)在(0，+∞)只有一个零点，求a.【解析】(1)当a=1时，f(x)≥1等价于(x 2+1)e -x-1≤0. 设函数g(x)=(x 2+1)e -x-1，则g'(x)=-(x 2-2x+1)e -x=-(x-1)2e -x.当x ≠1时，g'(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)单调递减.而g(0)=0，故当x ≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1. (2)设函数h(x)=1-ax 2e -x.f(x)在(0，+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，+∞)只有一个零点. (i)当a ≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点;(ii)当a>0时，h'(x)=ax(x-2)e -x.当x ∈(0，2)时，h'(x)<0;当x ∈(2，+∞)时，h'(x)>0. 所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增. 故h(2)=1-4a e2是h(x)在[0，+∞)的最小值. ①若h(2)>0，即a<e 24，h(x)在(0，+∞)没有零点; ②若h(2)=0，即a=e 24，h(x)在(0，+∞)只有一个零点; ③若h(2)<0，即a>e 24，由于h(0)=1，所以h(x)在(0，2)有一个零点. 由(1)知，当x>0时，e x>x 2，所以 h(4a)=1-16a 3e 4a =1-16a 3(e 2a )2>1-16a 3(2a )4=1-1a >0. 故h(x)在(2，4a)有一个零点.因此h(x)在(0，+∞)有两个零点. 综上，f(x)在(0，+∞)只有一个零点时，a=e 24.57.(2018·全国2·文T21度)已知函数f(x)=13x 3-a(x 2+x+1). (1)若a=3，求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.【解析】(1)当a=3时，f(x)=13x 3-3x 2-3x-3，f'(x)=x 2-6x-3. 令f'(x)=0，解得x=3-2√3或x=3+2√3.当x ∈(-∞，3-2√3)∪(3+2√3，+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(3-2√3，3+2√3)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞，3-2√3)，(3+2√3，+∞)单调递增，在(3-2√3，3+2√3)单调递减. (2)由于x 2+x+1>0，所以f(x)=0等价于x 3x 2+x+1-3a=0. 设g(x)=x 3x 2+x+1-3a ，则g'(x)=x 2(x 2+2x+3)(x 2+x+1)2≥0，仅当x=0时g'(x)=0，所以g(x)在(-∞，+∞)单调递增，故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a 2+2a-13=-6(a -16)2−16<0，f(3a+1)=13>0，故f(x)有一个零点. 综上，f(x)只有一个零点.58.(2018·天津·理T20)已知函数f(x)=a x，g(x)=log a x ，其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x 2，g(x 2)) 处的切线平行，证明x 1+g(x 2)=-2lnlnalna; (3)证明当a≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.【解析】(1)由已知，h(x)=a x-xln a ，有h'(x)=a xln a-ln a. 令h'(x)=0，解得x=0.由a>1，可知当x 变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如下表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞).(2)证明由f'(x)=a xln a ，可得曲线y=f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线斜率为a x 1ln a.由g'(x)=1xlna ，可得曲线y=g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线斜率为1x 2lna .因为这两条切线平行，故有a x 1ln a=1x 2lna ，即x 2a x 1(ln a)2=1.两边取以a 为底的对数，得log a x 2+x 1+2log a ln a=0，所以x 1+g(x 2)=-2lnlnalna .(3)证明曲线y=f(x)在点(x 1，a x 1)处的切线l 1:y-a x 1=a x 1ln a ·(x-x 1).曲线y=g(x)在点(x 2，log a x 2)处的切线l 2:y-log a x 2=1x 2lna (x-x 2).要证明当a≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当a≥e 1e 时，存在x 1∈(-∞，+∞)，x 2∈(0，+∞)，使得l 1与l 2重合. 即只需证明当a≥e 1e 时，方程组 {a x 1lna =1x 2lna ,①a x 1-x 1a x 1lna =log a x 2-1lna ②有解. 由①得x 2=1a x 1(lna )2，代入②，得ax 1-x 1a x 1ln a+x 1+1lna +2lnlnalna =0.③因此，只需证明当a≥e 1e 时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数u(x)=a x-xaxln a+x+1lna +2lnlnalna ，即要证明当a≥e 1e 时，函数y=u(x)存在零点.u'(x)=1-(ln a)2xa x，可知当x ∈(-∞，0)时，u'(x)>0;当x ∈(0，+∞)时，u'(x)单调递减，又u'(0)=1>0，u'(1(lna )2)=1-a1(lna )2<0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u'(x 0)=0，即1-(ln a)2x 0a x 0=0.由此可得u(x)在(-∞，x 0)上单调递增，在(x 0+∞)上单调递减，u(x)在x=x 0处取得极大值u(x 0). 因为a≥e 1e ，故ln ln a≥-1，所以u(x 0)=a x 0-x 0a x 0ln a+x 0+1lna +2lnlna lna =1x 0(lna )2+x 0+2lnlnalna ≥2+2lnlnalna≥0. 下面证明存在实数t ，使得u(t)<0. 由(1)可得a x≥1+xln a，当x>1lna 时，有u(x)≤(1+xln a)(1-xln a)+x+1lna +2lnlna lna =-(ln a)2x 2+x+1+1lna +2lnlna lna， 所以存在实数t ，使得u(t)<0.因此，当a≥e 1e 时，存在x 1∈(-∞，+∞)，使得u(x 1)=0. 所以，当a≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.59.(2018·天津·文T20)设函数f(x)=(x-t 1)(x-t 2)(x-t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列.(1)若t 2=0，d=1，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程; (2)若d=3，求f(x)的极值;(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6 √3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【解析】(1)由已知，可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x 3-x ，故f'(x)=3x 2-1.因此f(0)=0，f'(0)=-1.又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0)，故所求切线方程为x+y=0. (2)由已知可得f(x)=(x-t 2+3)(x-t 2)(x-t 2-3)=(x-t 2)3-9(x-t 2)=x 3-3t 2x 2+(3t 22-9)x-t 23+9t 2.故f'(x)=3x 2-6t 2x+3t 22-9.令f'(x)=0，解得x=t 2-√3，或x=t 2+√3. 当x 变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)的极大值为f(t 2-√3)=(-√3)3-9×(-√3)=6√3;函数f(x)的极小值为f(t 2+√3)=(√3)3-9×√3=-6√3.(3)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6√3有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x-t 2+d)(x-t 2)(x-t 2-d)+(x-t 2)+6√3=0有三个互异的实数解.令u=x-t 2，可得u 3+(1-d 2)u+6√3=0. 设函数g(x)=x 3+(1-d 2)x+6√3，则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6√3有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.。
2010～2019十年高考理科数学分类汇编专题4三角函数与解三角形第十讲三角函数的图象与性质答案
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质答案部分 2019年1.(2019北京9)函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.(2019全国Ⅲ理12)设函数()f x =sin(5x ωπ+)(ω＞0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④3.(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数,将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π,且π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭则3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.22010-2018年1.A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ,且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减,则由04ππ+≤≤x ,得344ππ-≤≤x .因为()f x 在[,]-a a 上是减函数,所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ,解得4π≤a ,解法二 因为()cos sin =-f x x x ,所以()sin cos '=--f x x x , 则由题意,知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立, 即sin cos 0+≥x x ,)04π+≥x ,在[,]-a a 上恒成立,结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ,解得4π≤a ,所以04π<≤a , 所以a 的最大值是4π,故选A. 2.A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象,由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z ),令1k =,得3544x ππ≤≤, 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ,故选A. 3.C【解析】由题意可得d ====(其中cos ϕ=,sin ϕ=),∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时,d 取得最大值3,故选C. 4.D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦,2C :22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12,再把得到的曲线向左平移12π个单位长度,得到曲线2C .选D5.D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π,k ∈Z ,所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-,所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+,而3()cos 062g ππ==,C 正确；选D.6.A 【解析】由题意5π8x =取最大值,11π8x =与x 相交,设()f x 周期为T ,所以11538844T πππ-==或34T ,所以3T π=或T π=, 又()f x 的最小正周期大于2π,所以3T π=,所以223T πω==,排除C 、D ；由5π()28f =,即252sin()238πϕ⨯+=,102242k ππϕπ+=+,即212k πϕπ=+,令0k =,12πϕ=.选A.7.A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上,所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin 62π=,又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上,所以1sin 2()24s π=-,则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+,k Z ∈,得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--,k Z ∈.又0s >,故s 的最小值为6π,故选A.8.B 【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+,故该函数的最小正周期22T ππ==.故选B. 9.B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,所以2π24kT T=+(k Z ∈,T 为周期),得221T k π=+(k Z ∈).又()f x 在5(,)1836ππ单调,所以11,62T k π厔,又当5k =时,11,4πωϕ==-,()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时,9,4πωϕ==,()f x 在5(,)1836ππ单调,满足题意,故9ω=,即ω的最大值为9. 10.B 【解析】函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得()ππ26k x k =+∈Z ,所以所求对称轴的方程为()ππ26k x k =+∈Z ,故选B. 11.B 【解析】sin 4()12y x π=-,只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位. 12.A 【解析】采用验证法,由cos(2)sin 22y x x π=+=-,可知该函数的最小正周期为π 且为奇函数,故选A. 13.D 【解析】由图象可知242m ωπϕπ+=+,32425ωm πϕπ+=+,m Z ∈, 所以,2,4m m Z πωπϕπ==+∈,所以函数()cos(2)cos()44πππππ=++=+f x x m x 的单调递减区间为,224k x k πππππ<+<+,即132244k x k -<<+,k Z ∈.14.A 【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π,且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴,∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴.∵12|2|66ππ--=,512|(2)|66πππ---=,|0|66ππ-=,∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-,且2233ππ-<<,2233πππ-<-<,2033ππ-<<,∴(2)(2)(0)f f f π<-<,即(2)(2)(0)f f f <-<.15.A 【解析】①|2|c os x y =,最小正周期为π；②|c os |x y =,最小正周期为π；③)62c os (π+=x y ,最小正周期为π；④)42tan(π-=x y ,最小正周期为2π.最小正周期为π的函数为①②③.16.A 【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-,所以将函数y x =的图象向右平移12π个单位后,可得到)4y x π=-的图象,故选A.17.C 【解析】())4f x x π=+,将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+-,由该函数为偶函数可知2,42k k Z ππϕπ-=+∈,即328k ππϕ=+,所以ϕ的最小正值是为38π.18.D 【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位,得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象,()cos f x x =为偶函数,排除A ；()cos f x x =的周期为2π,排除B ； 因为()cos022f ππ==,所以()cos f x x =不关于直线2x π=对称,排除C ；故选D.19.B 【解析】 将3sin(2)3y x π=+的图象向有右移2π个单位长度后得到 3sin[2()]23y x ππ=-+,即23sin(2)3y x π=-的图象,令2222232k x k πππππ-+-+≤≤,k Z ∈,化简可得7[,]1212x k k ππππ∈++,k Z ∈,即函数23sin(2)3y x π=-的单调递增区间为7[,]1212k k ππππ++,k Z ∈,令0k =.可得23sin(2)3y x π=-在区间7[,]1212ππ上单调递增,故选B.20.C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C. 21.B 22.B 【解析】把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ,解得3πθ=, 所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ,把)23,0(P 代入得,πϕk =或6ππϕ-=k , 观察选项,故选B 23.A 【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈),∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.24.C 【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2()cos(21)2y x x =+=+. 25.A 【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+,故选A.26.A【解析】709,,sin()1,363663x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤≤-≤max min 2,y y ∴==故选8.27.D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(s in =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.28.A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍,纵坐标不变得到的,而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ,所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数,需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥, 解得1524ω≤≤. 29.B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点,根据已知并结合函数图象可知,3π为函数()f x 的四分之一周期,故243ππω=,解得32ω=. 30.D 【解析】∵()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++)22x x π+=,所以2y x =在(0,)2π单调递减,对称轴为2x k π=,即()2k x k Z π=∈.31.C 【解析】因为当x R ∈时,()|()|6f x f π≤恒成立,所以()sin()163f ππϕ=+=±,可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-,k Z ∈,因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<,所以526k πϕπ=-,所以5()sin(2)6f x x π=-, 由5222262k x k πππππ-+-+≤≤(k Z ∈), 得263k x k ππππ++≤≤(k Z ∈),故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k Z ∈).32.B 【解析】半周期为3884πππ-=,即最小正周期为2π,所以2ω=.由题意可知,图象过定点3(,0)8π,所以30tan(2)8A πϕ=⨯+,即34k πϕπ+= ()k Z ∈所以3()4k k Z πϕπ=-∈,又||2πϕ<,所以4πϕ=,又图象过定点(0,1),所以1A =.综上可知()tan(2)4f x x π=+,故有()tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==33.23【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立,故当4x π=时,函数()f x 有最大值,故()14f π=,246k πωππ-=(k ∈Z ),∴283k ω=+(k ∈Z ),又0ω>,∴min 23ω=.34.3【解析】由题意知,cos(3)06x π+=,所以362x k πππ+=+,k ∈Z ,所以93k x ππ=+,k ∈Z ,当0k =时,9x π=；当1k =时,49x π=；当2k =时,79x π=,均满足题意,所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3.35.π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,得2sin()13πϕ+=±,因为22ϕππ-<<,所以27636πππϕ<+<, 则232ππϕ+=,6πϕ=-.36.32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π==-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到. 37.π、]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)【解析】23)42sin(22)(+-=πx x f ,故最小正周期为π,单调递减区间为]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈).38.π【解析】22cos 2y x x =+=1112cos 2sin(2)22262y x x x π=++=++,所以其最小正周期为22ππ=. 39.6π【解析】由题意交点为1(,)32π,所以21sin()32πϕ+=,又0ϕπ<≤,解得6πϕ=.40.2【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象,再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数1()sin()26f x x π=+的图象,所以=⎪⎭⎫⎝⎛6πf 1sin()sin 2664πππ⨯+==41.38π【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+- ∴2()42k k Z ππϕπ-=+∈,∴()82k k Z ππϕ=--∈,当1k =-时min 38πϕ=.42.【解析】∵()f x =sin 2cos x x -5(cos )55x x -令cos ϕ=5,sin 5ϕ=-,则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+, 当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈,即x =2,2k k z ππϕ+-∈时,()f x 取最大值,此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈,∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=5-. 43.56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+,向右平移2π个单位,得到sin(2)3y x π=+, 即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+,sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位,得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++ 5cos(2)6x π=+,即56πϕ=.44.2a ≥【解析】()3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥. 45.π【解析】2==2T ππ.46.2:A =741234T πππ=-=,所以T π=,22Tπω==,又函数图象经过点(,0)3π,所以23πϕπ⨯+=,则3πϕ=,故())3f x x π=+,所以(0)s i n 3f π==.47.①③【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+(其中tan baϕ=),因此对一切x R ∈,()|()|6f x f π≤恒成立,所以sin()13πϕ+=±,可得()6k k Z πϕπ=+∈,故())6f x x π=+.而1111())012126f πππ=⨯+=,所以①正确；74717|()||||123030f πππ==,17|()|||530f ππ=,所以7|()||()|105f f ππ=,故②错；③明显正确；④错误:由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象(图略)可知,不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交,故⑤错误.48.23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值,且其中的x 满足6cos 5tan x x =,解得sin x =23.线段12P P 的长为23. 49.3[,3]2-【解析】由题意知,2ω=,因为[0,]2x π∈,所以52[,]666x πππ-∈-,由三角函数图象知:()f x 的最小值为33sin ()=62π--,最大值为3sin =32π,所以()f x 的取值范围是3[,3]2-.50.【解析】(1)若()f x 为偶函数,则对任意∈R x ,均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x , 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立,故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ,所以=a故2()22cos =+f x x x .则方程()1=-f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ,化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)6π+=x ,解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ,,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解,则1335[,]2424∈-k ,1929[,]2424'∈-k , 即0=k 或1；0'=k 或1, 对应的x 的值分别为:1124π-、1324π、524π-、1924π.51.【解析】(1)因为(cos ,sin )x x =a ,(3,=b ,∥a b ,所以3sin x x =.若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-. 又[0,]x π∈,所以56x π=.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()6x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3；当π6x +=π,即5π6x =时,()f x 取到最小值-.52.【解析】(Ⅰ)因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=)3x πω=-由题设知()06f π=,所以63k ωπππ-=,k Z ∈.故62k ω=+,k Z ∈,又03ω<<, 所以2ω=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-, 所以2[,]1233x πππ-∈-,当123x ππ-=-,即4x π=-时,()g x 取得最小值32-. 53.【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.()4tan cos cos()3f x x x x π=--4sin cos()3x x π=--14sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.54.【解析】(Ⅰ)因为()cos )22f x x x =--sin()42x π=+- 所以()f x 的最小正周期为2π. (Ⅱ)因为0x π-≤≤,所以3444x πππ-≤+≤. 当42x ππ+=-,即34x π=-时,()f x 取得最小值.所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--. 55.【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=, 解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 56.【解析】解法一:(Ⅰ)5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos(sincos )444πππ=---2=(Ⅱ)因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二:因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++(Ⅰ)511()112444f πππ=+=+=.(Ⅱ)22T ππ==.由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.57.【解析】(Ⅰ)ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(Ⅱ)因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+, 又024t ≤<,所以πππ7π31233t ≤+<,ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时,ππsin()1123t +=；当14t =时,ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.58.【解析】解法一:(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以cos 2α=.所以11()22f α=-=.(Ⅱ)因为2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)2224x x x π=+=+, 所以22T ππ==.由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二:2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)224x x x π=+=+(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以4πα=从而31()sin(2)24242f ππαα=+== (Ⅱ)22T ππ== 由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 59.【解析】:(I)()f x 的最小正周期为π,076x π=,03y =.(II)因为[,]212x ππ∈--,所以52[,0]66x ππ+∈-,于是当206x π+=,即12x π=-时,()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-,即3x π=-时,()f x 取得最小值3-.60.【解析】(Ⅰ)由已知,有21()cos sin 224f x x x x x 骣÷ç÷=?-+ç÷ç÷ç桫21sin cos 224x x x =?+)1sin 21cos2444x x =-++1sin 244x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以,()f x 的最小正周期22T pp ==. (Ⅱ)因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数,在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数. 144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫,1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫,144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫. 所以,函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14,最小值为12-. 61.【解析】:(I)因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以()f x 的最小正周期T π=,从而22T πω==.又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称,所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±因22ππϕ-≤<得0k =.所以2236πππϕ=-=-.(II)由(I)得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+=.62.【解析】(1)()f x ＝22ωx －sin ωx cos ωx＝1cos 21sin 2222x x ωω--＝2cos 2ωx －12sin 2ωx ＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4, 又ω＞0,所以2ππ=424ω⨯.因此ω＝1. (2)由(1)知()f x ＝πsin 23x ⎛⎫--⎪⎝⎭.当π ≤x ≤3π2时,5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭,因此－1≤()f x故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦－1.63.【解析】(1)()f x ＝sin 2x ·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以,()f x 的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.又f (0)＝－2,3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭,π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为,最小值为－2. 64.【解析】(1)41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos (cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,111()sin(2)sin(2)0(2)(2,2)264466f x x x x k k ππππππ=++<⇒+<⇒+∈-.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：65.【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-. (I)函数()f x 的最小正周期22T ππ==. (Ⅱ)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=.当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈,11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈,11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.66.【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上,所以sin 1,26A A π==,故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)22x x x =-+sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦67.【解析】(Ⅰ)∵函数()f x 的最大值是3,∴13A +=,即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期T π=,∴2ω=.故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.(Ⅱ)∵()2f α2sin()126πα=-+=,即1sin()62πα-=,∵02πα<<,∴663πππα-<-<,∴66ππα-=,故3πα=.。
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。
全国1卷三角函数真题及答案汇编(2010-2019)
全国1卷三角函数真题汇总（2010-2019）一、 选择题（1） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（ ）（A ）k（B ）. —k（C.） （D ）.解析：222s i n 801c o s 801c o s (80)1k =-=--=-,所以t a n 100t a n 80︒=-s i n 80c o s 80=-=-（2）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 答案：A（3）函数11-y x=的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8答案：D（4）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围(A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1(0,]2(D)(0,2]解析：592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤（5）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=答案：C（6）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）2-（B）2 （C ）12- （D ）12解析:原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. （7）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈解析:由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. （8）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5解析：则，其中在单调，接下来用排除法若，此时，在递增，在递减，不满足在单调 若，此时，满足在单调递减故选B ．（9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2 答案：D12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21k ω=+k ∈Z ()f x π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭5π,123618122T ππω∴-=≤≤π11,4ωϕ==-π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭()f x π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭π9,4ωϕ==π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭2π3π6π1212π612π12（10）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③解析：()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i n fx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、 填空题（1）已知a 为第三象限的角，3cos 25a =-，则tan(2)4a π+=解析：因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))(k k k Z απππ∈+++∈，又3c o s 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+.（2）在三角形ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 。
2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题四解三角形
2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题四解三角形2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题四解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?，则ABAC的值是.5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求sin(B -C )的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π??+的值. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=AB A．BCD．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =4．（2016年天津）在ABC ?中，若AB BC =3，120C ∠=，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在中，，BC 边上的高等于,则 ABC ．D ．6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5B ．2 D ．1ABC △π4B =13BC cos A =--7．(2014重庆)已知的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 A ． B．()ab a b +>． D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ?的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角的内角的对边分别为，223cos A +cos20A =，，，则A ．B ．C ．D ．11．（2013辽宁）在，内角所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．B ．C ．D ．12．（2013天津）在△ABC 中，则=ABC ?8)(>+c b bc 126≤≤abcABC ?,,A B C ,,a b c 7a =6c =b =10985ABC ?,,A BC 6π3π23π56π,3,4AB BC ABC π∠===sin BAC ∠ABD13．（2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c , 若, 则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在中，若，则A ．．D15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=ab A ．B ．16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为A ．3 B ．6C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．19．(2018浙江)在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．cos cos sin b C c B a A +=ABC ?60,45,A B BC ??∠=∠==AC =C20．（2017浙江）已知ABC ?,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ?的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
2010-2019北京高考数学(理)真题分类汇编专题四解三角形
2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题四解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是.5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C )的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=AB A．BCD．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在中，，BC 边上的高等于,则ABC ．D ． 6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5B ．2 D ．1ABC △π4B13BC cos A 1010310107．(2014重庆)已知的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 A ． B．()ab a b +>． D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角的内角的对边分别为，223cos A +cos20A =，，，则A ．B ．C ．D ．11．（2013辽宁）在，内角所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．B ．C ．D ．12．（2013天津）在△ABC 中，则=ABC ∆8)(>+c b bc 126≤≤abcABC ∆,,A B C ,,a b c 7a =6c =b =10985ABC ∆,,A BC 6π3π23π56π,3,4AB BC ABC π∠===sin BAC ∠ABCD13．（2013陕西）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b,c, 若, 则△ABC的形状为A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不确定14．（2012广东）在中，若，则A．．D15．（2011辽宁）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sin cos cosa A Bb A+=，则=abA．B．C D16．（2011天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且,2AB AD AB==，2BC BD=，则sin C的值为A B C D16．（2010湖南）在ABC∆中，角,,A B C所对的边长分别为,,a b c．若120C∠=，c=，则A．a b> B．a b< C．a b= D．a与b的大小关系不能确定二、填空题18．(2018江苏)在ABC△中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，120ABC∠=︒，ABC∠的平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为．19．(2018浙江)在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b=，60A=，则sin B=___________，c=___________．cos cos sinb Cc B a A+=ABC∆60,45,A B BC︒︒∠=∠==AC=C20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2.解析：由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-， 因为6b =，2a c =，π3B =，所以222π36(2)4cos 3c c c =+-，所以212c =，21sin sin 2ABC S ac B c B ===△. 3.解析（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是82⎛ ⎝⎭．4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r，所以AB AC =. 5.解析 （1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5C =， 在BCD △中，sin sin BD BC C BDC=∠，可得122BD =；135CBD C ∠=-o ，224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭o ， 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=o.7.解析：（I ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+，所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =， 所以7b =.（II ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中，B ∠是钝角，所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1．A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+，即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得1sin 34a c π==，则a =．在△ABC 中，由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=，则b =．由余弦定理，可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =o 或135B =o． 当45B =o时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =o 与“钝角三角形”矛盾；当135B =o时，AC ==．7．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=， 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=， 整理得1sin sin sin 8A B C =， 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．8．C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==9．C 【解析】∵tan15tan(6045)2=-=o o o∴60tan 6060tan151)BC =-=o o．10．D 【解析】225cos 10A -=，1cos 5A =，由余弦定理解得5b =． 11．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=．12．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10A =． 13．B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．14．B 【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15．D 【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A== 16．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin 3A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==，解得sin C =．17．A 【解析】因为120C ∠=o，c =，所以2222cos c a b ab C =+-，222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>，所以0aba b a b-=>+，所以a b >．故选A ．18．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=o，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+o o o ， 化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c+=，则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥， 当且仅当2c a =时取等号，故4a c +的最小值为9． 19．7；3【解析】因为a =2b =，60A =o，所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a⨯===．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c --=，所以3c =．20【解析】由余弦定理可得， 2222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=所以sin4ABC∠===，1sin2BDCS BD BC DBC∆=⨯⨯∠11sin()sin22BD BC ABC BD BC ABCπ=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．C因为BD BC=，所以D BCD∠=∠，所以2ABC D BCD D∠=∠+∠=∠，cos cos24ABCBDC∠∠====．21．2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以61611sin602S=⨯⨯⨯⨯=o．22．2113【解析】∵4cos5A=，5cos13C=，所以3sin5A=，12sin13C=，所以()63sin sin sin cos cos sin65B AC A C A C=+=+=，由正弦定理得：sin sinb aB A=解得2113b=．23．1 【解析】由1sin2B=得6Bπ=或56π，因为6Cπ=，所以56Bπ≠，所以6Bπ=，于是23Aπ=．有正弦定理，得21sin32bπ=，所以1b=．24．7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=． 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =． 25．【解析】如图作PBC ∆，使75∠=∠=oB C ，2BC =，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75∠=oBAD ，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得BP =QBC ∆中，可求得BQ =，所以AB 的取值范围为．26．1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==， 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=． 27．8 【解析】 因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．28．ο30=∠BAC ，ο105=∠ABC ，在ABC ∆中，由ο180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以ο45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得οο30sin 45sin 600BC=， 即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为ο30=∠CBD ，2300=BC ， 所以230030tan CDBC CD ==ο，所以6100=CD m ．29．150【解析】在三角形ABC 中，AC =，在三角形MAC 中，sin 60sin 45MA AC=o o，解得MA =在三角形MNA sin 60==o ，故150MN =． 30．2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B =，∴2a b =，故2ab=． 31．π32【解析】3sin 5sin A B =， π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．32【解析】∵sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==．33．①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<．34．4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得b =4． 35． 在ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BCC B A==，得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =， 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+．36【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==， 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+111142-=． 37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性．当A =B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4． （方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+， 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅．由正弦定理，得：上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅．38．6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=，即sin 21B =， 因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 39．【解析】(1)在ABC ∆中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴243sin 1cos B B =-=． 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 43A =，∴3sin A =． ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴π3A ∠=．(2)在ABC ∆中，∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()2727⨯-+⨯=3314． 如图所示，在ABC ∆中，∵sin hC BC=，∴sin h BC C =⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．40．【解析】(1)在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠． 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==．(2)由题设及(1)知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=． 所以5BC =．41．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =． 故2sin sin 3B C =．（2）由题设及（1）得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=-所以2π3B C +=，故π3A =． 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为343．【解析】（1）由已知得tan A =，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos 3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅． 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD ∆44．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABCS ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．45．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==.所以，bsin A的值为13. （Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 46．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==． （Ⅱ）因为37c a a =<，所以60C A ∠<∠=o，由7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47．【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab =--=-=+…．所以C cos 的最小值为12．48．【解析】（I ）证明：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+==∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之三角函数
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“ 割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π34．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝．8．【2015年北京理科12】在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC=．9．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）＝f（2π3）＝﹣f（π6），则f（x）的最小正周期为．10．【2012年北京理科11】在△ABC中，若a＝2，b+c＝7，cos B=−14，则b＝．11．【2011年北京理科09】在△ABC中．若b＝5，∠B=π4，tan A＝2，则sin A＝；a＝．12．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．13．【2019年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．14．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．15．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．16．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A+cos C的最大值．17．【2015年北京理科15】已知函数f（x）=√2sin x2cos x2−√2sin2x2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC中，∠B=π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．【2014年北京理科18】已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．20．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√322．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√33．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π48．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√312．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π414．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x−π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC中，若a=7，b=8，cosB=−17，则∠A的大小为（）A．π6B．π4C．π3D．π216．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)．若关于x的方程f(x)= 1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．617．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√6319．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．3221．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠ABC =90°，已知AD =√3，BD =√6.（1）求sin∠ABD 的值；（2）若CD =2，且CD >BC ，求BC 的长.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13．(1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x . (I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3；②cosB =−23；③a =7；④b =3． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求△ABC 的面积．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3②a =13③c =15④sinC =13 （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求△ABC 的面积.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tanα=1m =yx，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝1√m2+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6B ．t =√32，s 的最小值为π6C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ，则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可） 【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，26．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0则ω的最小值为：23．故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，98．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0），由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ． 【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14， ∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14)∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ．【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15， 由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55，根据正弦定理得：asinA=b sinB，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17；条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74. 13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：csinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得a sinA =b sinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0，得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ） =√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2 =√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0， g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0 （x 0，π2） g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C 【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D 【解析】∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（） A ．π6 B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6，∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x 的方程f(x)=1在区间[0，]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D 【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32. 【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)， 所以f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx=√3sinωx −3cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3(sinωx −π3)由题设知f(π6)=0， 所以ωπ6−π3=kπ，k ∈Z . 故ω=6k +2，k ∈Z ，又0<ω<3， 所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x −π3) 所以g(x)=√3sin(x +π4−π3)=√3sin(x −π12). 因为x ∈[−π4,3π4]，所以x −π12∈[−π3,2π3]，当x −π12=−π3，即x =−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC ＋√3asinC －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3 【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ， 即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sin A sinC =75.设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积． 【答案】（1）√63；（2）√2【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13， ∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理b sinB =csinC 得√32√23=3sinC ，∴sinC =√63．（2）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得12=a 2+9−2×3a ×(−13)， ∴a 2+2a −3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=√2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD>BC，则BC=1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=13．(1)求sin2B+C2+cos2A的值；(2)若a=√3，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24【解析】 (1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1=cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1=1+132+2×19−1=−19；(2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32．（1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77．【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ，所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217．因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217．②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77．因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ，即sin∠ADB =2√77．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22，因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22，所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2.（2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55，。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：三角函数
A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
43.(2014·大纲全国·文 T2)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα=( )
4
3
3
4
A.5
B.5
C.-5
D.-5
44.(2014·全国 1·理 T8)设 α∈
0,
π 2
,β∈
0,
π 2
,且 tan
1+sin2
段上,角 α 以 Ox 为始边,OP 为终边.若 tan α<cosα<sin α,则 P 所在的圆弧是( )
A.
B. C. D.
8.(2018·全国 1·文 T11)已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点
2
A(1,a),B(2,b),且 cos 2α=3,则|a-b|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1
1
37.(2015·重庆·文 T6)若 tan α=3,tan(α+β)=2,则 tan β=( )
1
1
5
5
A.7
B.6
C.7
D.6
2π
38.(2015·安徽·理 T10)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π,当 x= 3
5π
11π
18.(2017·天津·T7)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,|φ|<π,若 f 8 =2,f 8 =0,且 f(x)
的最小正周期大于 2π,则( )
2
π
2
理科数学2010-2019高考真题分类训练解三角形答案
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2.解析：由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-， 因为6b =，2a c =，π3B =，所以222π36(2)4cos 3c c c =+-，所以212c =，21sin sin 2ABC S ac B c B ===△3.解析（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r，所以AB AC =. 5.解析 （1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5C =， 在BCD △中，sin sin BD BC C BDC=∠，可得122BD =；135CBD C ∠=-o ，224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭o ， 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=o.7.解析：（I ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+，所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =， 所以7b =.（II ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中，B ∠是钝角，所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1．A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+，即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得1sin 34a c π==，则a =．在△ABC 中，由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=，则b =．由余弦定理，可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =o 或135B =o． 当45B =o时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =o 与“钝角三角形”矛盾；当135B =o时，AC ==．7．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=， 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=， 整理得1sin sin sin 8A B C =， 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．8．C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==9．C 【解析】∵tan15tan(6045)2=-=o o o∴60tan 6060tan151)BC =-=o o．10．D 【解析】225cos 10A -=，1cos 5A =，由余弦定理解得5b =． 11．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=．12．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10A =． 13．B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．14．B 【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15．D 【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A== 16．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin 3A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==，解得sin C =．17．A 【解析】因为120C ∠=o，c =，所以2222cos c a b ab C =+-，222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>，所以0aba b a b-=>+，所以a b >．故选A ．18．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=o，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+o o o ， 化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c+=，则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥， 当且仅当2c a =时取等号，故4a c +的最小值为9． 19．7；3【解析】因为a =2b =，60A =o，所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a⨯===．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c --=，所以3c =．202222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=所以sin4ABC∠===，1sin2BDCS BD BC DBC∆=⨯⨯∠11sin()sin22BD BC ABC BD BC ABCπ=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．C因为BD BC=，所以D BCD∠=∠，所以2ABC D BCD D∠=∠+∠=∠，cos cos24ABCBDC∠∠====．21．2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以61611sin602S=⨯⨯⨯⨯=o．22．2113【解析】∵4cos5A=，5cos13C=，所以3sin5A=，12sin13C=，所以()63sin sin sin cos cos sin65B AC A C A C=+=+=，由正弦定理得：sin sinb aB A=解得2113b=．23．1 【解析】由1sin2B=得6Bπ=或56π，因为6Cπ=，所以56Bπ≠，所以6Bπ=，于是23Aπ=．有正弦定理，得21sin32bπ=，所以1b=．24．7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=． 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =． 25．【解析】如图作PBC ∆，使75∠=∠=oB C ，2BC =，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75∠=oBAD ，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得BP =QBC ∆中，可求得BQ =，所以AB 的取值范围为．26．1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==， 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=． 27．8 【解析】 因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．28．ο30=∠BAC ，ο105=∠ABC ，在ABC ∆中，由ο180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以ο45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得οο30sin 45sin 600BC=， 即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为ο30=∠CBD ，2300=BC ， 所以230030tan CDBC CD ==ο，所以6100=CD m ．29．150【解析】在三角形ABC 中，AC =，在三角形MAC 中，sin 60sin 45MA AC=o o，解得MA =在三角形MNA sin 60==o ，故150MN =． 30．2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B =，∴2a b =，故2ab=． 31．π32【解析】3sin 5sin A B =， π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．32sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==33．①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<．34．4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得b =4． 35． 在ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BCC B A==，得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =， 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+．36【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==， 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+111142-= 37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性．当A =B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4． （方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+， 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅．由正弦定理，得：上式22222214113cos()662c c ccC ab a b=⋅===+⋅．38．6π【解析】由sin cos2B B+=得12sin cos2B B+=，即sin21B=，因02Bπ<<，所以2,24B Bππ==.又因为2,2,a b==由正弦定理得22sin sin4Aπ=，解得1sin2A=，而,a b<则04A Bπ<<=,故6aπ=．39．【解析】(1)在ABC∆中，∵1cos7B=-，∴(,)2Bππ∈，∴243sin1cosB B=-=．由正弦定理得sin sina bA B=⇒7sin43A=，∴3sin A=．∵(,)2Bππ∈，∴(0,)2Aπ∈，∴π3A∠=．(2)在ABC∆中，∵sin sin()sin cos cos sinC A B A B A B=+=+=31143()2727⨯-+⨯=3314．如图所示，在ABC∆中，∵sinhCBC=，∴sinh BC C=⋅=33337⨯=，∴AC边上的高为33．40．【解析】(1)在ABD△中，由正弦定理得sin sinBD ABA ADB=∠∠．由题设知，52sin45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==．(2)由题设及(1)知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=． 所以5BC =．41．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =． 故2sin sin 3B C =．（2）由题设及（1）得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=-所以2π3B C +=，故π3A =． 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为343．【解析】（1）由已知得tan A =，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos 3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅． 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD ∆44．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABCS ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．45．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==.所以，bsin A的值为13. （Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 46．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==． （Ⅱ）因为37c a a =<，所以60C A ∠<∠=o，由7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47．【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab =--=-=+…．所以C cos 的最小值为12．48．【解析】（I ）证明：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+==∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。
理科数学2010-2019高考真题分类训练解三角形答案
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质答案部分 2019年1.（2019北京9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.22010-2018年1．A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减，则由04ππ+≤≤x ，得344ππ-≤≤x ．因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，解法二 因为()cos sin =-f x x x ，所以()sin cos '=--f x x x ， 则由题意，知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立， 即sin cos 0+≥x x)04π+≥x ，在[,]-a a 上恒成立，结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，所以04π<≤a ， 所以a 的最大值是4π，故选A ． 2．A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象，由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )，令1k =，得3544x ππ≤≤， 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ，故选A ． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 4．D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦，2C ：22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12，再把得到的曲线向左平移12π错误!未找到引用源。
十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题04 导数及其应用(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题04导数及其应用历年考题细目表解答题2014 导数综合问题2014年新课标1理科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1理科21解答题2012 导数综合问题2012年新课标1理科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1理科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1理科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1理科05】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2016年新课标1理科07】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．4．【2015年新课标1理科12】设函数f（）＝e（2﹣1）﹣a+a，其中a＜1，若存在唯一的整数0使得f（0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）6．【2012年新课标1理科10】已知函数f（），则y＝f（）的图象大致为（）A．B．C．D．7．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．8．【2011年新课标1理科09】由曲线y，直线y＝﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．69．【2010年新课标1理科03】曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y＝2+1 B．y＝2﹣1 C．y＝﹣2﹣3 D．y＝﹣2﹣210．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2013年新课标1理科16】若函数f（）＝（1﹣2）（2+a+b）的图象关于直线＝﹣2对称，则f（）的最大值为．12．【2010年新课标1理科13】设y＝f（）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数1，2，…N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．13．【2019年新课标1理科20】已知函数f（）＝sin﹣ln（1+），f′（）为f（）的导数．证明：（1）f′（）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（）有且仅有2个零点．14．【2018年新课标1理科21】已知函数f（）+aln．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）存在两个极值点1，2，证明：a﹣2．15．【2017年新课标1理科21】已知函数f（）＝ae2+（a﹣2）e﹣．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）有两个零点，求a的取值范围．16．【2016年新课标1理科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设1，2是f（）的两个零点，证明：1+2＜2．17．【2015年新课标1理科21】已知函数f（）＝3+a，g（）＝﹣ln（i）当a为何值时，轴为曲线y＝f（）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（）＝min{f（），g（）}（＞0），讨论h（）零点的个数．18．【2014年新课标1理科21】设函数f（）＝aeln，曲线y＝f（）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（）＞1．19．【2013年新课标1理科21】已知函数f（）＝2+a+b，g（）＝e（c+d），若曲线y＝f（）和曲线y＝g（）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若≥﹣2时，f（）≤g（），求的取值范围．20．【2012年新课标1理科21】已知函数f（）满足f（）＝f′（1）e﹣1﹣f（0）2；（1）求f（）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．21．【2011年新课标1理科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当＞0，且≠1时，f（），求的取值范围．22．【2010年新课标1理科21】设函数f（）＝e﹣1﹣﹣a2．（1）若a＝0，求f（）的单调区间；（2）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分与微积分基本定理.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x x f x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(21e -，0) B ．(12e -，0) C ．(0，12e ) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a c b d +-==+-，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0- 8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1x f x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,x f x x g x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论. 18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围．21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围：（2）当0a =时，设2()()e g x f x x x x=⋅--， 证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。
理科数学2010-2019高考真题分类训练10专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质—解析答案
2
2
31．（2011 安徽）已知函数 f (x) sin(2x ) ，其中 为实数，若 f (x) f ( ) 对 x R 6
恒成立，且 f ( ) f ( ) ，则 f (x) 的单调递增区间是 2
A．
k
3
,
k
6
(k
Z
)
B．
k
, k
2
(k
Z
)
C．
k
6
,
k
2 3
(k
Z
)
D．
k
2
当 ， m 变化时， d 的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2017
新课标Ⅰ）已知曲线 C1 ：
y
cos
x ， C2
：
y
sin(2x
2 3
)
，则下面结论正确
的是
A．把
C1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6
个单位长度，得到曲线 C2
B．把
C1
上各点的横坐标伸长到原来的
像至少向右平移_____________个单位长度得到．
37．(2015 浙江)函数 f (x) sin2 x sin xcos x 1 的最小正周期是________，单调递减区
间是_______．
38．（2014 山东）函数 y 3 sin 2x cos2 x 的最小正周期为
.
2
39．（2014 江苏）已知函数 y cosx 与 y sin(2x ) (0≤ )，它们的图象有一个横坐标
B．向右平移 个单位 12
C．向左平移 个单位 3
2019年北京市高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：三角函数(含答案)
xyO π2π1-1高考数学精品复习资料2019.5北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：三角函数一、选择题1 ．（北京大兴区一模理科）函数21cos ()xf x -=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增2 ．（北京市东城区普通校高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是 第6题图A ．41sin(2)55y x =+ B ．31sin(2)25y x =+ C ．441sin()555y x =-D ．441sin()555y x =+3 ．（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是（ ）A ．11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πf B ．⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛5107ππf f C ．()x f 是奇函数D ．()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ4 ．（北京市丰台区高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+二、填空题5 ．（北京大兴区一模理科）函数f x x x()s i nc o s =的最大值是 。
6 ．（北京海滨一模理科）在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C == 7 ．（北京海滨一模理科）已知函数π()sin2f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||2}PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____； （2）函数()h t 的单调递增区间为________.8 ．（北京市延庆县一模数学理）在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <.若6,32,2π===A c a ，则角=C .9 ．（门头沟区一模理科）在∆ABC 中，若2a =，3c =，tan 15B =，则b = ．10．（北京市东城区高三上学期期末考试数学理科试题）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ． 11．（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）在△ABC 中，若π,24B b a ∠==，则C ∠= ．12．（北京市西城区高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．13．（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析））在ABC ∆中,若815sin ,41cos ,4=-==A B b ,则=a _______,=c ________.14．（北京市丰台区高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知ABC ∆中，，BC=1，sin C C =，则ABC ∆的面积为______．15．（北京市昌平区高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = .16．（【解析】北京市石景山区高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC边上的高等于 ．17．（北京市房山区高三上学期期末考试数学理试题 ）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于 . 三、解答题18．（北京大兴区一模理科）在∆A B C中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5A ，π4B ，2b ．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积．19．（北京丰台区一模理科）已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.20．（北京海滨一模理科）已知函数2()2cos )f x x x =--.（Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.21．（北京市延庆县一模数学理）已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若]6,0[π∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值．22．（北京西城区一模理科）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．23．（东城区一模理科）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，求ac 的最大值．24．（房山区一模理科数学）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()22Cf =且2c ab =， 试判断△ABC 的形状．25．（门头沟区一模理科）已知：函数2π()sin cos()2f x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．26．（北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.27．（北京市东城区普通校高三3月联考数学（理）试题 ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5=a ，ABC ∆的面积为.（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求)3cos(π-B 的值.28．（北京市东城区高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．29．（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）已知πsin()4A +=ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．30．（北京市西城区高三上学期期末考试数学理科试题）在△ABC 21cos 2B B =-．（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．31．（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π.(I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.32．（北京市通州区高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．33．（北京市丰台区高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.34．（北京市昌平区高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.35．（【解析】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.36．（【解析】北京市石景山区高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．37．（北京市房山区高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：三角函数参考答案一、选择题 1. D 2. D3. 答案D 因为()()6f x f π≤恒成立,所以6π是函数的对称轴,即2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈,所以,6k k Z πϕπ=+∈,又()()2f f ππ<,所以sin()sin(2)πϕπϕ+<+,即sin sin ϕϕ-<,所以sin 0ϕ>,所以6πϕ=,即()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k πππππ-+≤+≤+,得36k x k ππππ-+≤≤+,即函数的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ,所以D 正确,选D.4. 【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。