【哈工大 结构动力学】SD 第1章 运动方程 2020
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结构动力学_运动控制方程_分段解析法
结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。
结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。
随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。
通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。
因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。
接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。
在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。
最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。
同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。
鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。
2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。
它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。
在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。
2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。
这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。
根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。
哈工大研究生课程-高等结构动力学-第一章
用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解。
四、结构动力学的发展史
◇伯努利（D.Bernoulli)： 用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解，1759 年拉格朗日（grange):从驻波解推得行波解 ◇傅里叶（J.B.Fourier): 1811年提出函数的阶数展开理论，完成了严格的数学证明， 欧拉和伯努利分别与1744和1751年研究了梁的横向振动
EI
W=1
三. 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体 y2
11) W=1 12)
y1
W=3
9)弹性地面上的平面刚体 W=3 10)
m
EI
W=13
自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。 W=2
§1.3 建立结构运动方程的一般方法
静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 阶跃荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
四、结构动力学的发展史
▼公元前6世纪 古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras):试验 测得：弦线振动的性质； ▼我国战国时期《庄子》明确记载了共振现象； ▼伽利略（G.Galileo）:对动力学进行了开创性研究， 他发现了单摆的等时性，并利用自由落体公式计算 单摆的周期．
§1.4 建立振动微分方程举例
例-1 图示单自由度振动系统 设静平衡位置为坐标原点,则在静平衡位置弹簧的伸长量为
st
mg k
f e k ( x st )
f d c x ; f I m x
【哈工大 结构动力学】SD 第1章 运动方程 2020
实际动荷载产生的位移相等！
29
已经知道柔度
和刚度 k
之间的关系为：k 1
表达式成为：
比较：
简支梁： 刚架：
my cy ky FE (t) my cy ky FP (t)
基本质量弹簧体系： my cy ky F(t)
（2-3）
结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一
质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：
FIGURE 2-3 (a) Motion of system
(b) Equilibrium forces
46
体系的力的平衡条件为 ： 惯性力为 ：
因为地面加速度可以表示为结构的特定动力输入，运 动方程可表示为：
等效支座 激励荷载
47
另一种推导方法：
将 v（t t及）其导数代入方程
地震运动一般测量的是加速度，此时的等效荷载 需要由地震记录积分一次和二次而获得地面位移和速 度来计算，因此很难获得这种形式方程的解答。
q ( t)
q ( t)
EI
m
y(t )
l
[解]
FD FI
1） 确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移： 1个自由度。
2） 确定自由度的位移参数：质量 m 的位移： y(t )
3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！
4） 列位移方程：
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
思考题:
• 地震动输入 (ground motions inputs) • 大跨度结构非一致激励 (Spatial Variability) • 地震动如何传递到结构
58
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
结构动力学哈工大结构动力学
m ?y?(t)
P(t )
m?y?(t) ? P(t) 运动方程
m P(t) ? m?y?(t)
P(t) ? [ ? m?y?(t)] ? 0
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
惯性力
一、柔度法
P(t) m ? m?y?(t) =1 ?11
y(t )
l EI
? [11 P(t) ? m?y?(t)]
结构动力学
哈尔滨工业大学 土木工程学院 结构力学教研室 张金生 2004年7月
结构动力学
目录
第一章 绪论 第二章 单自由度体系的振动分析 第三章 有限自由度体系的振动分析 第四章 实用计算方法 第五章 无限自由度体系的振动分析 第六章 动力有限元分析 第七章 分析动力学
主要参考书
《结构动力学》克劳夫 王光远等译 科学出版社 《结构动力学》赵光恒主编 水利水电出版社 《建筑结构振动计算》郭长城主编 建工出版社 《建筑结构振动计算续编》郭长城编著 建工出版社 《结构动力学》邹经湘主编 哈工大出版社 《应用分析动力学》王光远编著 科学出版社 《DYNAMICS OF STRUCTURES 》Anil K.Chopra
W
? m?y?(t)
?1
? 11
? st
y(t )
Y (t) ? y(t) ? ? st
加速度为
Y??(t) ? ?y?(t)
y(t) ? ? st ? ?11[P(t) ? W ? m?y?(t)]
? st ? W?11
y(t) ? ?11[P(t) ? m?y?(t)]
? 11
?
l3 48EI
列运动方程时可不考虑重力影响
?
?m1 ?? 0
0 ???y?1? m2?????y?2??
结构动力学哈工大版课后习题解答
..
.. .
..
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
0
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数，所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )
而
x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)
；
式中
H
A
2m
；
( n 2 402 ) 16n202
1 2
K A A2 K B B 2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2 ;
系统的机械能为
图 1-36
c
）
T
U
1 4
m
A
mB rA2 A2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2
C；
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
1 2
m A
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
48EIl3
；
m
48EI k1l 3 m
（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:
.. .
..
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
0
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数，所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )
而
x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)
；
式中
H
A
2m
；
( n 2 402 ) 16n202
1 2
K A A2 K B B 2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2 ;
系统的机械能为
图 1-36
c
）
T
U
1 4
m
A
mB rA2 A2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2
C；
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
1 2
m A
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
48EIl3
；
m
48EI k1l 3 m
（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:
【结构动力学】第1章 运动方程 2020
12
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
【哈工大 结构动力学】SD 第10章 多自由度体系2020
➢ 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型 ： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型 ： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
结构动力学-第一章
1，集中质量法 2，广义坐标法 3，有限单元法
2019/9/16
38
2019/9/16
39
2019/9/16
40
2019/9/16
41
2019/9/16
42
2019/9/16
43
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
2019/9/16
38
2019/9/16
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41
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三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
结构动力学_2
初相位
4、振幅C和初相位
x0 C sin
x0 Ccos
C
x02
x02
2
arctan x0
x0
——振幅 ——初相位
第2章 单自由度系统
x
3
x02
x02
2
sin(t
)
x
x02 2
x02
T 2
x0 0
t
图2.7 无阻尼系统自由振动位移曲线
-3
0
3
第2章 单自由度系统
x x02 x022 cos(t )
mx cx kx 0
设：
x Aept
第2章 单自由度系统
mp2 cp k 0
p1,2 c
c2 4mk 2m
c2 4mk
1、过阻尼系统
0 x A1e p1t A2e p2t
第2章 单自由度系统
2、临界阻尼系统
0
c2 4mk 0
cc 2 mk 2m
x
e
c 2m
t
第2章 单自由度系统
3、解的形式
x Asint x Bcost x Asint Bcost
x A2 B2 ( A sint B cost)
A2 B2
A2 B2
A2 B2 (cos sint sincost)
C sin(t )
第2章 单自由度系统
x C sin(t )
振幅
剪切变形
第2章 单自由度系统
3EI
ml 3
——弯曲频率
2 3EI
ml 3
——剪切频率
第2章 单自由度系统
图2.5 框架的剪切变形
第2章 单自由度系统
③摆问题
结构动力学课件
st
---重力引起的位移
质点的总位移为
l/2
l/2
m
W
st y(t )
Y (t ) y(t ) st
加速度为
(t ) (t ) Y y
(t ) m y
1
(t )] y(t ) st 11[ P(t ) W m y
st W 11
§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构 上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分 析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐 标和时间的函数。
二.动荷载的分类
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.3 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
单自由度体系、有限自由度体系、无限自由度体系 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 集中质量法 广义坐标法 有限单元法
P(t )
m1
EI
l/3
m2 y2 (t )
l/3
1 (t )] 22[m2 2 (t )] y2 (t ) 21[ P(t ) m1 y y
1 y y1 11 12 P 11 12 m1 0 0 m y y 0 2 2 2 21 22 21 22
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些 几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无 限自由度系统变成一有限自由度系统。
于开平-结构动力学第二讲
(2) 阻尼力的功：
Wd A cos t dt c 2 / 1 cos 2 t cA2 2 dt 0 2 1 2 1 2 2 2 / cA2 2 cA cos 2 t dt 0 2 2
5 稳态响应振幅和相位
5.2 初始相位角 根据初相位角表达式
2 tg 1 2
可以画出初相位角随频率比的变化曲线，简称相频曲线：
在共振点，不管阻尼比多大，初相位角均为90度。
6 稳态响应复数解法及频响函数
之前将外载荷假设为正弦形式，其运动控制方程为：
������������ሷ 1 + ������������ሶ 1 + ������������1 = ������0 sin������������ 简谐激励的另一种典型形式为余弦形式，其运动控制方程写作： ������������ሷ 2 + ������ ������ሶ 2 + ������������2 = ������0 cos������������ （2） （1）
o o o
o
1 2 Fo A sin Fo A sin 2
6 稳态响应复数解法及频响函数
令方程特解为������ ������ = ������������ ������ ������������������ ，代入运动控制方程得： (−������2 ������������������ + ������������������������������ + ������������������ )������ ������������������ = ������0 ������ ������������������ 方程对任意时刻t恒等，则方程两边指数函数������ ������������������ 前系数相等，由此可得： ������������ = ������0 ������ − ������������ 2 + ������������������
【结构动力学】SD 第2章 自由振动反应 2020(待结合北方工大完善)
▪ 设 t=0 时：v(0) v0 v&(0) v&0
▪ 代入： v(t) Asint B cost
v0
0
B
▪ 代入： v&(t) A cost B sint
v&0
A
0
▪ 单自由度无阻尼体系运动方程的解：
v(t)
v&0 sin t
பைடு நூலகம்v0
cos t
▪ 或写成：
v(t) cos(t )
▪ 结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。 ▪ 对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自
由度数相等。 ▪ 结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。
8
阻尼
y
y
t
t
T
T
▪ 结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 ▪ 结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 ▪ 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。 ▪ 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。 ▪ 等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：
（2-10）
B v0 A v&0
（2-11） （2-14）
14
v(t)
v&0 sin t
v0
cos t
（2-11）
▪ 三角关系：[cos( )] [cos cos sin sin ]
▪ 对比(2-11)，显然有：
v0 cos
v&0
2
v02
▪ (2-13)成为：
v&0 sin arc tan v&0
（2-3）
▪ 其特征方程为： 或：
(ms 2 cs k) 0
结构动力学 ppt课件
i (0) i (l ) 0
--基函数（或形状函数） 课件 i ( x)PPT
9
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
集中质量法：独立质量位移数即为自由度数； 广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数；
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
PPT课件
10
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3) 计轴向变形时 W=2 不计轴向变形时 W=1 W=2 为减少动力自由度，梁与 刚架一般可不计轴向变形。
y2
y1
W=2
2)Βιβλιοθήκη 弹性支座不减少动力自由度PPT课件
11
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
EI
W=1
PPT课件
12
§1.4
体系的运动方程
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
PPT课件
13
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y
高等结构动力学 目录+第一章
结构动力学目录第一章：绪论第二章：运动方程的建立方法2.1、直接动力平衡法2.2、虚功原理2.3、Hamilton原理2.4、Lagrauge方程第三章：单自由度（SDOF）体系的振动理论（Single Degree of Freedom）3.1、自由振动:即固有振动3.2、谐振荷载响应3.3、对周期性荷载的响应3.4、对冲击荷载的响应3.5、对一般动荷载的响应3.6、非线性结构的响应3.7、状态空间法在动力学中的应用简介第四章：多自由度体系的振动理论（MDOF）4.1、自由振动4.2、动力响应的分析4.3、实用振动分析4.4、非线性结构的分析4.5、多支座扰动问题简介4.6、复模态理论简介第五章：连续弹性体系的振动理论5.1、梁、板的无阻尼自由震动5.2、梁、板的动力响应的分析5.3、波传播的分析第六章：结构随机振动理论6.1、随机过程简介6.2、谱分析理论基础6.3、地震动模型6.4、经典结构随机振动理论简介6.5、虚拟激励法第一章绪论第一节：结构动力学的研究内容和目的研究范畴：研究结构、动荷载、结构反应三者之间关系的学科，即研究动荷载作用下结构或构件内力和变形规律。
主要目的：介绍任何给定模型的结构在承受任意动荷载时所产生的应力和挠度的分析方法。
1、动力作用与静力作用动力作用：a不能忽略。
静力作用：a=0或者a 很小，可以忽略不计。
动荷载定义：大小、方向和作用点随时间而变化的任何荷载；在其作用下。
结构上的惯性力与外荷比不可忽略的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍可视作静荷载。
静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和实践的函数。
2、 动荷载的类型：↗确定性→数定分析 deterministic动荷载↘非确定性→非数定分析 non deterministic↗简谐性周期性↗ ↘非简谐性确定性荷载↘ ↗冲击荷载非周期性→突加荷载↘其他确定规律的动荷载↗风荷载非确定性荷载→地震荷载↘其他无法确定变化规律的动荷载借助于傅立叶分析，任何周期荷载引用一系列简谐分量的和来表示。
【结构动力学】SD 第2章 自由振动反应 2020(待结合北方工大完善)
s2 c s 2 0
m s i v(t) G1eit G2 eit
▪ 引入Euler方程： eit cost i sint
得无阻尼自由振动的位移反应：
v(t) Asint B cost
▪ A和B是由初始条件决定的常数。
（2-2） （2-7）
（2-9） （2-10）
13
▪ 位移反应： v(t) Asint B cost
[解] 确定梁的有效质量:
T 2 2 m 1.40s
k
m
T
2
2
k
1.4
2
2
90 0.005
894t
5 mm
EI
35
T 1.40s m 894t
确定体系的自振频率:
f 1 1 0.714Hz T 1.4
2f 4.48rad/s
阻尼特性:
1 ln v0 1 ln 5 0.0355 2π v1 2 4
▪ 自由振动方程： mv&& cv& kv 0
（2-2）
▪ 特征方程：
s c 2m
c 2m
2
2
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼大，则显然有c/2m>ω ，这时，特
征方程根式中的值为正值，则s 值成为：
s ()2 2 ˆ
ˆ 2 1
v(t ) et ( Asinhˆt B coshˆt ) （2-38）
（2-3）
▪ 其特征方程为： 或：
(ms 2 cs k) 0
s2 c s 2 0
m
（2-4）
▪ 式中ω2=k/m，ω是体系振动的圆频率。 ▪ 根据阻尼系数c 值的不同，解出的特征参数s 值将具有不同
的特性。
结构动力学-1-print共30页
上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分
析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐
标和时间的函数。
二.动荷载的分类
确定 动荷载
简谐荷载 周期 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 突加荷载
其他确定规律的动荷载 风荷载
不确定
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
§1.3 振动系统的力学模型及其分类
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
集中质量法 广义坐标法 有限单元法
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些
几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无 限自由度系统变成一有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法
y(x) aii(x) i1 n
m y (t)P(t) 运动方程
m
P (t)[m y (t) ]0
P(t) m y(t)
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
惯性力
一、柔度法
P(t) m m y(t) =1 11 y(t)
l EI
1[1P(t)m y (t)]
P(t) m y(t)
l
析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐
标和时间的函数。
二.动荷载的分类
确定 动荷载
简谐荷载 周期 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 突加荷载
其他确定规律的动荷载 风荷载
不确定
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
§1.3 振动系统的力学模型及其分类
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
集中质量法 广义坐标法 有限单元法
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些
几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无 限自由度系统变成一有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法
y(x) aii(x) i1 n
m y (t)P(t) 运动方程
m
P (t)[m y (t) ]0
P(t) m y(t)
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
惯性力
一、柔度法
P(t) m m y(t) =1 11 y(t)
l EI
1[1P(t)m y (t)]
P(t) m y(t)
l
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y
FS 2
12EI
l
3 2
y
EI l
等效粘滞阻尼力： FD cy
由此得到体系的运动方程：
my
cy
12EI l13
12EI l23
y
FP (t)
18
比较：
c k
y (t )
FP (t)
m
F(t)
EI1
m
l 2 EI
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度 法和柔度法。
14
(1) 刚度法:
8
28
比较：
c k
y (t )
F(t) m
q ( t)
EI
m
l
my cy ky F(t) （2-3）
my cy 1 y 5l q(t)
8
令：
5l FE (t) 8 q(t)
1
my cy
y
FE (t)
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
FE (t )
P
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
y
P
27
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
l3
48EI
my cy 1 y 5l q(t)
q ( t)
q ( t)
EI
m
y(t )
l
[解]
FD FI
1） 确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移： 1个自由度。
2） 确定自由度的位移参数：质量 m 的位移： y(t )
3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！
4） 列位移方程：
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
19
示例1：
20
示例2：
21
示例3：
22
示例4：
结构动力学
第2章 运动方程的建立
本章提要
➢§1.1 结构动力系统 ➢§1.2 运动方程的建立 ➢§1.3 重力的影响 ➢§1.4 支座激励的影响
2
§1.1 结构动力系统
1）. 惯性力（Inertial Force）
3
2）. 恢复力（Resisting Force of Spring）
4
5
3）. 阻尼力（Damping Force）
实际动荷载产生的位移相等！
29
已经知道柔度
和刚度 k
之间的关系为：k 1
表达式成为：
比较：
简支梁： 刚架：
my cy ky FE (t) my cy ky FP (t)
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
构的阻尼力 ▪ 随时间变化的荷载F(t)
12
y (t )
FD
FI
F(t)
FS
平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： 根据D’Alembert原理：
FI my
弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积：FS ky
阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：FD cy
由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t)
（2-3）
13
直接平衡法(达朗贝尔原理)
9
1.1.1 牛顿第二定律
10
1.1.2 D’Alembert原理（直接平衡法）
c
建立计算模型
k
y (t )
F(t) m
取质点为隔离体
画平衡力系
FD
FS
y (t )
FI
F (t )
建立平衡方程 FI FD FS F (t )
11
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
23
示例5：
24
(2) 柔度法 以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力， 利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调 条件建立体系的运动方程。
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
25
26
[例] 试用柔度法建立图示简支梁的运动方程
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
17
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my
弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
FS1
12 EI l13
16
试用刚度法建立图示刚架的运动方程
y(t )
FP (t)
m
l 2 EI
EI1
EI l 1
FP (t ) FS 2
FI FS1 FD
[解]
1） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。 1个自由度。
2） 确定自由度的位移参数。y(t )
3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！ 4） 列动平衡方程：
15
(1) 刚度法:
取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建 立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。
y (t )
刚度法步骤：
c
F(t) 1.在质量上沿位移正向加惯性力；
m
2.求发生位移y所需之力；
k
3.令该力等于体系外力和惯性力。
y (t )
FD
FI
F (t )
FS
平衡方程： FI FD FS F (t )
6
4）线弹性体系和粘弹性体系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic System )
7
5）非弹性体系 (Inelastic System)
8
§1.2 运动方程的建立
运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程）
运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点