第3章 机器人数学建模[69页]

姿态（或轮式机器人的质心位置和朝向）。 (2)逆运动学问题：已知机械臂末端的空间直角坐标及姿态
（或轮式机器人的位置和朝向），求各关节转角。
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3.1.1位置和姿态描述
位置描述
px
P A BORG
p
y
pz
姿态描述
BAR A Xˆ B AYˆB AZˆB
(
)
kxkxv c kxkyv kz s
kxkzv kys
kxkyv kz s kykyv c kykzv kxs
k x k z v k y k z v
ky kx
s s
kzkzv c
其中s = sin，c = cos，v =1 cos , 角的正负根据右手定则确定。
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连杆描述
一个连杆可用两个参数完全描述：
连杆长度ai-1: 关节轴i-1和关节轴i之间公垂线的长度(由轴i-1 指向轴i)。
连杆扭转角 i1 ：关节轴i-1和关节轴i之间的夹角(按右手
法则绕a 轴由轴i-1指向轴i) i-1
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1.位置表示在不同坐标系间的变换 仅存在平移的情形
假设:{A}与{B}姿态相同
AP
BP
P A BORG
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仅存在旋转的情形
假设:{A}与{B}姿态不同,原点重合
AP
A px A py
Xˆ A YˆA
P
P
B Xˆ A BYˆA
BP
(3)
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每个旋转都是绕运动坐标系{B}的轴,
A B
R
R R R A B B
B B B
从而可推得等价旋转矩阵
相对变换,右乘
A B
RX
Y
Z
(
,
,
)
RZ
(
)RY
(
)RX
(
)
c s 0 c
s
c
0
0
0 0 1 s
0 s 1 0
1
0
0
c
0 c 0 s
0
s
c
理论分析表明，适当选择和角，可以将坐标系B 由初始状态
Zˆ
B
Zˆ
A
旋转矩阵的各分量又称”方向余弦” .
A B
R
B A
RT
可证明
A B
RT
A B
R
I3
A B
RT
R A 1
B
因此是正交矩阵,即各列模为1且互相正交. 同时可得到旋 转矩阵逆的计算方法:
R A 1
B
BART
B A
R
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3.1.2坐标系间的变换
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3.1 机器人运动学 3.2 机器人动力学
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3.1 机器人运动学
运动学研究机器人的位置、速度、加速度及其高阶导数， 涉及所有与运动有关的几何参数和时间参数。
运动学通常有两类基本问题： (1)正运动学问题：已知各关节转角，求机械臂末端位置和
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3.其它姿态表示方法
旋转矩阵是标准正交阵, 9个矩阵元素间存在6个约束:
Xˆ 1, Yˆ 1, Zˆ 1, Xˆ Yˆ 0, Xˆ Zˆ 0, Yˆ Zˆ 0
Z-Y-X欧拉角
{B}与{A} 重合
(0)
(1)
(2)
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3.1.3 机械臂运动学
1.连杆描述和关节描述
关节有两类：移动关节和旋转关节。由于关节的存在，相邻 的两个连杆之间可能发生相对平移或相对旋转。
从固定基座开始对连杆编号：基座为连杆0，第一个可动连 杆为连杆1，以此类推，最末端的连杆为连杆n.（关节i联结 连杆i-1和连杆i）
连杆的作用是保持相邻两个关节轴间相对的位置和姿态,可用 两个参数描述.
BP AP: AP ABT BP
联立得
AP ABT CBT C P
因此
CAT
ABT
CBT
A B
R
B C
0
R
A B
R
P B CORG
1
P A BORG
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2.变换矩阵的合成
(1)最初，两个坐标系{A}和{B}重合，所以齐次变换矩阵是 单位阵;
转换为任意姿态。
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等效轴角坐标系表示法
任意姿态也可通过关于适当选择的旋转 轴旋转适当的角度得到如图所示,
首先将坐标系B 和一个已知参考坐标系 A重合，然后将B以矢量 AKˆ [kx , ky , kz ]T
为轴旋转角度，则等效旋转矩阵为：
RK
(2) 若物体坐标系{B}绕参考坐标系{A}的任意矢量轴旋转， 并平移一段以{A}坐标表达的距离，则在原变换矩阵上 “左乘”相应的基本变换矩阵。
(3) 若物体坐标系{B}绕自己的的任意矢量轴旋转，并平移一 段以{B}坐标表达的距离，则在原变换矩阵上“右乘”相 应的基本变换矩阵。
(4) 矩阵相乘一定按变换的先后次序进行。
旋转矩阵 主轴单位矢量Fra bibliotek在物体上固连一个坐标系来 描述物体的位姿.
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BAR A Xˆ B AYˆB AZˆB
Xˆ B Xˆ B
Xˆ A YˆA
Xˆ
B
Zˆ
A
YˆB Xˆ A YˆB YˆA YˆB ZˆA
ZˆB ZˆB
Xˆ A YˆA
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关节描述
关节的作用是控制相邻两 个连杆间的相对位置和姿 态，可用两个参数描述：
连杆偏距(连杆间距离)di 关节角(连杆间夹角) i
显然，如果关节 i 是平移关节，则 di 是变量，i 是常数；如果关 节 i 是旋转关节，则 di 是常数，i 是变量。
P A BORG
AP ABT BP
AP
1
0
BAR 0
0
A
PBORG 1
BP
1
齐次坐标 齐次变换矩阵
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混合变换情形
如图, 已知{C}在{B}中位姿,{B}在{A}中 位姿及,CP,求AP.
解:CP BP: BP CBT C P
BP
B
Xˆ
T A
BYˆAT
BP
A pz
Zˆ
A
P
B
Zˆ
A
B
P
BZˆ
T A
A Xˆ B
AYˆB
AZˆB
BP
A B
R
B
P
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一般情形
取中间坐标系{C}: 姿态与{A}的姿态相同, 原点与{B}的原点重合.
AP
A B
R
B
P