最新离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题

第一章习题

1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还

是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.

(1) √2是无理数.

是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1

(2) 5能被2整除.

是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0

(3)现在在开会吗?

不是命题.

(4)x+5>0.

不是命题.

(5) 这朵花真好看呀!

不是命题.

(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.

是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p↔q真值:1

(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.

是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p↔q真值:0

(8) 2008年10月1日天气晴好.

是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯

一.

(9) 太阳系以外的星球上有生物.

是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.

(10) 小李在宿舍里.

是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.

(11) 全体起立!

不是命题.

(12) 4是2的倍数或是3的倍数.

是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1

(13) 4是偶数且是奇数.

是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学.

是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.

(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.

是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1

1.3 判断下列各命题的真值.

(1)若 2+2=4,则 3+3=6.

(2)若 2+2=4,则 3+3≠6.

(3)若 2+2≠4,则 3+3=6.

(4)若 2+2≠4,则 3+3≠6.

(5)2+2=4当且仅当3+3=6.

(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.

(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.

(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.

答案:

设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.

(1)p→q,真值为1.

(2)p→┐q,真值为0.

(3)┐p→q,真值为1.

(4)┐p→┐q,真值为1.

(5)p↔q,真值为1.

(6)p↔┐q,真值为0.

(7)┐p↔q,真值为0.

(8)┐p↔┐q,真值为1.

1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。

（1）如果今天是1号，则明天是2号。

p:今天是1号。

q:明天是2号。

符号化为：p→q

真值为：1

（2）如果今天是1号，则明天是3号。

p:今天是1号。

q:明天是3号。

符号化为：p→q

真值为：0

1.5将下列命题符号化。

（1）2是偶数又是素数。

（2）小王不但聪明而且用功。

（3）虽然天气很冷，老王还是来了。

（4）他一边吃饭，一边看电视。

（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。

（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。

（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)

（8）不经一事，不长一智。

答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。符号化为：p∧q （2）设p：小王聪明，q：小王用功。符号化为：p∧q

（3）设p：天气很冷，q：老王来了。符号化为：p∧q

（4）设p：他吃饭,q：他看电视。符号化为：p∧q

（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。符号化为：p→q

（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。符号化为：q→p

（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。符号化为：q→p 或⌝q→⌝p

（8）设p：经一事，q：长一智。符号化为：⌝p→⌝q

1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)

（2）(p↔r)∧(¬p∨s)

（3）(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)

（4）¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)

1．7 判断下列命题公式的类型。（1）p→(p∨q∨r)

由真值表可知，该命题公式为重言式。

由真值知命题公式的类型是：重言式（3

(4)(p→q)→(﹁q→﹁p)

解:

其真值表为:

由真值表观察,此命题为重言式. (5)( ﹁p→q)→(q→﹁p)

解:

由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.

（7）（p∨⌝p）→((q∧⌝q)∧⌝r)

结论：此命题为矛盾式

1.7(8)

由此可以知道，上式为非重言式的可满足式. (9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)

解:

（10）（（p∨q）→r）↔s

结论：此命题为非重言式可满足式1.8 用等值演算法证明下列等值式

（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) ⇔p

证明：

（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）

⇔p∧(q∨﹁q) （排中律）

⇔p∧1 (同一律)

⇔p

（3）⌝（p ↔ q）⇔ ( ( p ∨ q ) ∧⌝ ( p ∧ q ) )

证明：⌝（p ↔ q）

⇔⌝ ( ( p → q ) ∧ (q → p ) )

⇔⌝ ( (⌝ p ∨ q ) ∧ (⌝ q ∨ p ) )

⇔⌝ (⌝ p ∨ q ) ∨⌝ ( ⌝q ∨ p )

⇔ ( p ∧⌝ q ) ∨ ( q ∧⌝ p )

⇔ ( ( p ∧⌝ q ) ∨ q ) ∧ ( (p ∧⌝ q ) ∨⌝ p )

⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ ( ⌝ q ∨ q ) ) ∧ ( ( p ∨⌝ p ) ∧ ( ⌝ q ∨⌝ p) ) ⇔ (( p ∨ q ) ∧1) ∧ (1 ∧ ( ⌝ q ∨⌝ p) )

⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( ⌝ q ∨⌝ p)

⇔ ( p ∨ q ) ∧⌝ ( p ∧ q )

1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。

（1）⌝（（p∧q）→p）.

解：（1）⌝（（p∧q）→p）

⇔⌝（⌝（p∧q）∨p）蕴含等值式

⇔⌝（⌝（p∧q））∧⌝p 德·摩根律

⇔p∧q∧⌝p 双重否定律

⇔ p∧⌝p∧q 交换律

⇔0∧q 矛盾律

⇔0 零律

即原式为矛盾式.

(2)((p→q)∧ (q→p))↔(p↔q)

解：((p→q)∧ (q→p))↔(p↔q)

⇔(p↔q) ↔(p↔q)

⇔((p↔q) → (p↔q)) ∧((p↔q) → (p↔q))