等式与方程(精品教案)
等式与方程（精品教案）
教学内容：教科书第1-2页的例1、例2，试一试和练一练及练习一的1～3题。教学目标：
1．理解并掌握等式和方程的意义，体会方程与等式间的关系。会列方程表示事物之间简单的数量关系。
2．在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的活动经验。
3．有机结合地方教育资源、我国在方程史上的贡献等内容渗透健康生活方式，爱家乡、爱祖国的数学文化等积极情感，增强民族认同感。
教学重点
经历从现实问题情境中抽象出方程的过程，理解方程的本质。
教学难点
会用方程表示事物之间简单的数量关系。
教学准备：例1、例2挂图，实物投影仪
教学过程
一、认识等式
1．谈话：同学们，今天老师给大家带来了一位朋友，它叫（天平）。
（结合课件演示）小明在天平的两边放上砝码，天平（平衡了）。你能用式子表示天平左右两边物体的质量关系吗？（50＋50＝100）还可以怎样表示？
（50×2＝100）
2．揭示：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。
提问：这两个等式左边表示的是什么？右边呢？
它们之间是（相等的）关系。
3．提问：小明从天平的左边拿走了一只砝码，这时候还能用等式表示两边物体的质量关系吗？那该怎样表示左右两边物体的质量关系呢？
（50＜100，100＞50）
【设计意图：从学生熟悉的天平平衡的直观情境出发，经历从自然语言描述事件到数学语言描述的过程，体会等号左边的算式和右边的数表示两个相等的量，它们的地位是均等的，突破原有等号作为表示运算结果时出现的符号的认识。又通过对不平衡的情境的数学化表达，丰富对数量之间关系的认识。】
二、认识方程
1．用含用未知数的式子表示质量关系
猜想：为了让天平达到平衡，小芳准备在天平的左边放一个物体。如果把把这个物体放下来，可能会出现哪些情况呢？
怎样用式子表示这里（指其中平衡的情况）左右两边物体的质量关系呢？
学生尝试用含有字母的式子表示。
指出：真不简单！同学们能想到用字母来表示这个物体的质量。这些字母表示的数咱们事先不知道，这样的数我们把它叫做未知数。
感悟：人类能够将未知数用一定的字母表示，并且让未知数平等地参与运算经历了漫长的过程。
【课件演示，播放录音：700多年前，我国数学家李冶发明了“天元术”，他用“天元”表示未知数。后来数学家们又用各种符号表示未知数。1637年，法国数学家笛卡尔最早用x表示未知数。这种表示方法逐渐成为人们的习惯。】交流：三幅图中，天平两边物体的质量关系就可以怎样表示？另外两幅图呢？
（X +50＝100 X +50＜100 X +50＞100）
到底是怎样的一种情况呢？眼见为实！
这时候，咱们该用哪个式子表示天平两边物体的质量关系？（X +50＞100）表达：（放下物体后）为了使天平继续达到平衡，小芳利用砝码进行了各种调整，请你也用关系式表示天平两边物体的质量关系。
（X+50＜200、X+50＝150、2X＝200）
【设计意图：用字母和符号表示数及其运算或关系是代数的基本特征。以天平情境为导线，把情境中的数量关系用数学语言表达，逐步符号化，引入用含有未知数的式子表达等式和不等式，为建构方程概念提供基础，并初步体会符号化思想发展的历程及用含有未知数的式子描述数量关系的方程思想。】2．分类、比较，揭示方程的意义
⑴讨论分类依据
现在黑板上8个式子（50＋50＝100，50×2＝100，50＜100，100＞50，X +50＞100，X+50＜200、X+50＝150、2X＝200），你能将这些式子分分类吗？先自己想一想分类的标准，再和同桌讨论一下。
⑵动手操作
讨论结束后，从信封里拿出8张写着式子的纸条，按照你们的标准分一分。
⑶交流反馈
哪个小组愿意到黑板上来展示你的分法？告诉大家，你们是按照什么标准分类的？
展示学生的三种分法：
a．按是不是等式分成两类；b．按有没有未知数分成两类c．同时按是不是等式和有没有未知数分成四类。
根据分类的标准咱们来看一看每一组式子有什么特征？
①没有未知数也不是等式；
②有未知数但不是等式；
③没有未知数但是等式；
④含有未知数而且是等式。
⑷揭示概念
揭示：像50〈100、100〉50 、50+50=100、50×2=100这些式子大家都比较熟悉，而X +50>100、X+50﹤200这类式子比较复杂，我们到初中会更深入地了解它。像X+50=150、2X=200这样含有未知数的等式叫做方程。
提问：黑板上另外三类是方程吗？为什么？
3．判断深化理解
出示“练一练”第1题。
哪些是等式，哪些是方程？
6＋x=14 36-7=29 60+23>70 8＋x
50÷2=25 x+4<14 y-28=35 5y=40
讨论：等式和方程有什么关系呢？
【设计意图：学生从生活情境中抽象出数学表达是横向数学化，在数学世界里需要通过纵向数学化认识概念的本质特征。描述现实世界中数量关系的式子有多种，让学生从常见的关系式中通过观察、比较、分类、抽象、概括逐步分化出方程的概念，明确概念的内涵与外延，自主建构起对概念本质特征的认识。】4．描述生活
⑴说饮食（以图的形式呈现）（看图列方程）
① 萝卜——“如皋萝卜赛雪梨”。
【图示：三只萝卜各x克，共重450克。（台秤）
列方程：__________________ 】
② 三香斋茶干——“只此一家”。
【图示：每袋x元，共 4袋。一共24元。
列方程：__________________ 】
③白蒲黄酒——“液体长寿面包”。
【图示：一只杯子200毫升，另一只杯子x毫升，共500毫升的黄酒。
列方程：__________________ 】（先不出现数字）
提问：从图中，你获得了什么数学信息？
大杯的容量、小杯的容量与这瓶酒的净含量有怎样的关系呢？
给出信息后，提问：根据给出的信息，你会列方程吗？
提问：如果把已知量和未知量变一变，你还会列方程吗？（300＋y=500）如果再变一变呢？（z+1.5z=500）
追问：刚才，同学们都是根据什么来列方程的？
⑵话运动
用方程表示数量关系（录音配合图片文字）
①播放录音（配图）：“饭后百步走，活到九十九。”张大爷每天早饭后忙完家务，就去休闲广场散步。他每分走x米，经过5分，正好走完400米。
屏幕显示文字：每分钟走x米，经过5分钟，正好走完400米。
列方程：___________________
②散完步，张大爷就去打太极拳。老人们排着整齐的队伍，每排x人，共6排。前面还有两名教练示范，一共有62人。
屏幕显示文字：每排x人，共6排，前面有两名教练示范，共62人。
列方程：___________________
⑶赏美景
用方程表示数量关系（图文结合的形式呈现）
① 护城河边，有两个著名的景点，它们的历史可悠久了！
【显示文字：水绘园有x年的历史，定慧寺比水绘园的历史长1000年，已有1400年历史。
列方程：___________________ 】
②古城如皋有内、外两条城河环绕，沿着护城河走，你会发现一座座各具特色的桥。
【显示文字：内城河上有x座桥，外城河上有x+5座。一共有29座桥。
列方程：___________________ 】
③ 如皋的盆景久负盛名，屡获大奖。
左边这一盆叫（层云叠翠），右边这一盆叫（蛟龙穿云）。它们都是名贵的盆景。
【显示：“层云叠翠”盆景的价格是x元，“蛟龙穿云”的价格是它的2倍，一共360000元。
列方程：___________________ 】
④再带你去一览“天下第一大寿星”的风采。很高是吧！小明也正在这里游玩呢！你找到他了吗？跟寿星像比怎么样？
【显示：小明高x米，寿星像总高度是小明身高的30倍还多1米，寿星像高49米。
列方程：___________________】
【设计意图：精心选取如皋长寿文化素材为载体，通过对多个现实情境中等量关系复杂程度层层递进的方程描述，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，其思想核心是用数学符号表达两件事情的等价。另一方面，丰富对家乡“江苏历史文化名城”、“中国花木盆景之都”、“世界长寿养生福地”的认识，增强作为现代公民对家乡、祖国的认同感，同时有机地渗透健康生活方式的教育。】三、拓展应用
【课件播放达能佳钙饼干广告视频】
提问：为了创意的需要，广告中固然有夸张的成分。但据调查，关于饼干本身的一个重要信息却是可靠的。你捕捉到了这条信息了吗？（1包佳钙饼干的钙含量＝3杯牛奶的钙含量）
咱们消费者可得明明白白消费！关于这条模糊的信息，同学们还想进一步了解哪些更为详细的信息？（根据学生提问揭示相关信息。）
根据提供的信息，你能提出什么问题？
你能用方程表示三个数量之间的相等关系吗？（结合课件演示）
估计一下，每片饼含钙多少毫克？（18毫克！）
小结：咱们同学还真有数学眼光！把生活中的问题转化成数学问题；又用含用字母的式子表示数量；再进一步用方程表示数量间的相等关系。而方程正是我们解决问题的一个有力的工具！
【设计意图：在较复杂的问题情境中，让学生体会算术方法解决起来比较复杂的问题，可以比较容易地通过方程表示其中的数量关系，体会方程思想的魅力。在生活问题数学化、数学问题代数化、代数问题方程求解的过程中，经历方程建模的全过程，真正让学生理解方程的含义，体验方程思想，引领学生走进方程世界。】
四、总结提升
【课件演示：笛卡儿曾经提出了一种解决一切问题的“万能方法”：
第一步，把任何问题转化为数学问题；
第二步，把任何数学问题转化为代数问题；
第三步，把任何代数问题归结为方程求解。】
虽然这种方法现在看来并不是万能的，但很多问题的确是通过方程架起了已知量和未知量之间的桥梁，从而顺利得到解决。同学们将在今后的学习中逐步体会到从算术到方程是人类在数学上的进步！
【设计意图：笛卡尔的话是对方程思想的高度概括，充分展现了方程的巨大作用。这与学生在本课学习中所获得的初步体验相一致，因此必能引起学生思想上的共鸣，也指明了今后学习的方向。】
五、作业布置
A练习一第3题
B下面哪些是等式哪些是方程？
20+30 x+70=100 40>y 10+50=60 x+y=70
六、板书设计
等式与方程
等式：50＋50＝100
X＋50=100
2 X =100
像X＋50=150、2X=200这样含有未知数的等式是方程
【新教材】新人教A版必修一 均值不等式及其应用 教案
均值不等式及其应用 课程目标 知识提要 均值不等式及其应用 均值不等式及其应用的知识主要包含：均值不等式的含义和均值不等式的应用及实际应用.均值不等式是指:若a,b >0，则 2 1a +1b ?√ab ?a +√ab +b ?a +b ?2(a 2+ab +b 2)?√a 2+b 2?a 2+b 2 . 其中21a + 1b 称为调和平均数，√ab 称为几何平均数， a+√ab+b 3 称为希罗平均数， a+b 2 称为代数平均数， 2(a 2+ab+b 2)3(a+b) 称为形心平均数,√ a 2+ b 2 2 称为平方平均数， a 2+ b 2a+b 称为反调和平均数． 其中常用的是： 2 1a +1b ?√ab ?a +b 2?√a 2+b 2 2.
想要利用均值不等式求代数式的最值，就必须构造出积为定值的若干式子的和的形式或者和为定值的若干式子的积的形式．在利用均值不等式的时候，还需要注意考虑等号取到的条件，对式子进行系数的调整． 均值不等式的含义 ?均值定理如果a，b∈R+，那么a+b 2 ?√ab．当且仅当a=b时，等号成立．对任意两个正 实数a，b，数a+b 2 叫做a，b的算术平均值，数√ab叫做a，b的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 均值不等式的应用 基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可． 均值不等式的实际应用 ?利用基本不等式解决实际问题的一般步骤: ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案． 精选例题 均值不等式及其应用 1. 已知x>0，则f(x)=x+2 x 的最小值为． 【答案】2√2 【分析】因为x>0，所以x+2 x ?2√x?2 x =2√2,当且仅当x=√2时取等号．
【新教材】 新人教A版必修一 函数与方程 教案
2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f（x)(x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f(x）（x∈D）的零点．（2）三个等价关系 方程f(x）＝0有实数根?函数y＝f(x）的图象与x轴有交点?函数y＝f(x）有零点．(3）函数零点的判定（零点存在性定理) 如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f（b)〈0，那么,函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系 Δ>0Δ＝0Δ〈0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c（a〉0)的图象 与x轴的交点（x1，0),(x2，0）(x1,0）无交点 零点个数210 概念方法微思考 函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f（x)只有一个零点? 提示不能． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”） （1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×） （2）函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点(函数图象连续不断），则f（a)·f（b）<0.（×） （3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．（√） （4）f(x）＝x2,g(x）＝2x，h（x)＝log2x，当x∈(4，＋∞）时，恒有h(x)〈f（x) 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 必修5 第三章 不等式 3.2 均值不等式（新授课） 一、教学目标确立依据 1.课程标准要求 (,0)2 a b a b +≤ ≥ ①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 2.课程标准解读 对上述①的解读：首先给学生创设探索的平台得到基本不等式，同时给学生机会让学生用所学方法证明基本不等式； 对上述②的解读：首先教师用问题的方式搭建平台让学生发现基本不等式的限制条件，同时教师由浅入深给学生探究最值的平台，由理论到实践操作将最值问题与实际问题挂钩，让学生在探究和实践过程中学会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 3.学情分析与教材分析 学生已经学习“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．知晓不等式证明以及函数求最值的某些方法. “均值不等式” 是必修5的重点内容，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了分类讨论、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 为了帮助学生构建知识体系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的不等式证明入手，在降低难度的基础上让学生体会基本不等式在证明不等式总中的作用；第二层面，通过应用题，体现基本不等式在实际问题的应用，以及让学生体会简单的基本不等式的应用；第三层面，通过分母是一次函数，分子是二次函数的分式形式，循序渐进的增加难度，让学生学会判断条件学会拼凑或者添项转化为公式所需要的条件.本课正处于第一、第二个层面以及第三层面的初级阶段. 本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化与化归、数形结 日历中的方程 《》说课稿 一、理论依据 1、自主探索，合作学习的理论； 2、赏识教育的理论； 3、分层教学，使每一个学生都得到发展的理论； 4、学数学，用数学的理论； 5、视学生如伙伴，把教材当范本的理论； 6、学生是主体，教师是教学活动中“平等中的首席”的理论； 二、教学背景分析 本节课的内容是一元一次方程在现实生活中的应用，是关于日历数规律的再探索，本节为学生学习其他数字排列问题提供了思想与方法。在日常生活和第三章以及本章前两节课的学习中，学生已具备了运用日历规律解决简单问题的能力，初步形成了利用“方程”这一数学模型解决实际问题的数学思想，并且感知了列一元一次方程的关键是寻找等量关系。与小学学习的算术方法相比，代数方法还未能完全让学生接受并应用，而且对于刚刚接触方程解决实际问题，经历把实际问题转化为数学问题的转换过程，即建立方程模型的过程，学生理解有一定难度，而得到方程的解之后又要回到实际问题中检验其合理性，这些都给学生的学习带来一定的困难,教学中应作为重点处理。 三、关于教学目标的确定 根据数学课程标准关于日历中的方程的教学要求，结合学生的认知规律与已有的认知水平，本节课通过创设贴近学生生活的问题情境和设置有趣的师生互动、生生互动的小游戏让学生在民主、和谐的课堂氛围中，自主探究日历中的方程模型、列一元一次方程解决实际问题的一般方法及检验方程解的合理性；通过自主合作的互动探究及自编问题自己解决的过程，激发学生的参与意识与强烈的求知欲望，培养学生的问题意识与创新思维；同时，在探索解决一系列富有挑战性问题的过程中，发展学生的抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。由此我将本节课的知识与能力,过程与方法, 《方程的根与函数的零点》教学案例 肃南一中程斌斌 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。 总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 二学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。 知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。 三、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生 教学方法：启发诱导式 四、教学目标 专题五 一元一次方程 复习目的： 1、了解等式的概念，掌握等式的基本性质。 2、了解方程、方程的解及解方程的概念。 3、了解一元一次方程，二元一次方程组及其标准形式、最简形式。 4、会列一元一次方程解应用题，并根据应用题的实际意义检验求值是否合理。 5、能正确地列二元一次方程组解应用题。 考点透视 1、方程的相关概念 例1如果2x =是方程 1 12 x a +=-的根，那么a 的值是（ ）A 、0 B 、2C 、2- D 、6- 变式训练：已知关于x 的方程223=+a x 的解是1-=a x ,则=a 。 2、一元一次方程的解法 1）等式的性质：①等式两边同时加上（减去）同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。 2）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 例2、1）（2008自贡）方程063=+x 的解的相反数是（ ） A 、2 B 、－２ C 、3 D 、－3 2）（2008武汉）如果05.205.2002005-=-x ，那么x 等于（ ） A 、1814.55 B 、1824.55 C 、1774.55 D 、1784.45 3）解方程：①12223x x x -+-=-；②2 (1) 0.4(1)3430.24 x x -+-=- 3、一元一次方程的应用 1）列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出相等关系；④列出方程； ⑤解方程；⑥检验作答。 2）列一元一次方程解应用题的常见题型：①等积变形问题，注意变形前后的面积（体积）关系；②比例问题，通常设每份数为未知数；③利润率问题，数量关系复杂，要特别注意，常用的相等关系是利润的两种不同表示方法，即利润=售价-进价=进价×利润率；④数字问题，注意数的表示方法；⑤工程问题，注意单位“1”的确定；⑥行程问题，分为相遇、追击、水流问题；⑦年龄问题等。 1、二元一次方程（组）及解的概念 二元一次方程：含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为1，化成标准形式 )0,0(0≠≠=++b a c by ax 的整式方程。二元一次方程的解具有不定性。 例1、1）( 2008杭州) 已知?? ?-==1 1 y x 是方程32=-ay x 的解, 则a 的值是( ) A 、1 B 、3 C 、3- D 、1- 2）（2009桂林市）已知21x y =??=?是二元一次方程组7 1ax by ax by +=??-=? 的解，则a b -的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ． 2 D ．3 2、解二元一次方程组 例2、1）解方程组 ①? ??=-=+13234 2y x y x ②312523-=+=+x y y x 2）若方程1,3=-=+y x y x 和02=-my x 有公共解，则m 的取值为 。 3、二元一次方程组的应用 某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。 ①求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷； ②学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？ 基本不等式 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab ∴a ＋b ≥2ab 即a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时， a ＋ b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数， 而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . 【课题】5.3日历中的方程 【教材】义务教育课程标准实验教科书（北师大版）七年级上册5.3 【授课教师】 【教学目标】 ?知识与技能 1、知道日历中相邻各数之间的排列规律, 会设未知数，找出已知数与 未知数之间的相等关系； 2、能正确列出方程、解方程，求出问题的解，并学会根据实际意义检 验解的合理性. ?过程与方法 经历探索日历中数字排列规律，运用方程解决实际问题的过程，提高抽象、概括、分析问题和解决问题的能力. ?情感态度价值观 体验数学学习的乐趣，体会数学的应用价值. 【教学重点】把握问题中的“等量关系”，用一元一次方程解决实际问题. 【教学难点】寻找等量关系，把实际问题转化成方程，根据实际问题检验解的合理性. 【教学方法】自主探究 【教具准备】 教师：多媒体课件 学生：一张挂历或日历彩笔 【教学过程】 教学环节教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 （一）、趣味引入 （约3分钟） 师生小游戏（师生互动）： 游戏：请同学们在自己准备的日历上按竖列任 意圈出相邻的三个日期，并告诉老师这三个数的和， 老师便能很快的告诉你这三天分别是几号。（2分 钟） 引出课题： 通过本节课的学习，相信同学们也能像老师一样顺 利完成这个游戏！（展示课题及学习目标）（1分钟） 教师根 据学生 的提问 快速回 答。 学生利 用手中 的日历 给教师 提问 题。 吸引学生注意 力，激发学生 的学习兴趣； 营造轻松愉悦 的课堂氛围。 （二）、观察思考、自主探究 （约8分钟） 我能行！ 请同学们仔细观察日历，思考以下问题（课件 展示）： 1、观察日历，找出每一行及每一列中数字的排 列各有什么规律？ 2、如果将日历中一个横行上相邻的3个数中的 一个数设为x，其他两个数怎样表示？你是怎样设 未知数的？ 3、如果换成一个竖列上相邻的3个数呢？ 4、如果告诉你日历中一个竖列上相邻3个数的 和是60，请根据你所设的未知数x，列出方程，求 出这3天分别是几号？ 5、问题4中，和为75，你认为可能吗？为什 么？和为21呢？ 教师 巡视 观察 进行 个别 辅导 学生独 立思考 做题 层层递进的一 组问题设计， 紧扣学习目 标，让学生通 过观察，找到 日历中数字的 排列规律，体 验设未知数、 列方程解决实 际问题的过 程，培养学生 自主学习能 力。 三、讲解归纳（约10分钟） 问题1-4，逐一抽学生回答，教师总结归纳、 板书解答过程；问题5，先由学生分析，再课件展 示完整的分析解答过程。 刚才同学们说出日历中一个竖列上相邻3个数 的和，老师能很快求出这3天的日期，你知道其中 的奥秘了吗？（学生分析，教师归纳） 根据学 生回 答，讲 解、归 纳 学生回 答问题 通过教师引 导，师生共同 总结、归纳， 教师板书规范 的解答过程， 充分发挥教师 的主导作用。 四、强化训练（约16分钟） 牛刀小试： 1、游戏1：现在由老师来说出日历中一个竖列 上相邻4个数的和，看谁能最快求出这4天分别是 几号？（和分别为54、46）（学生举手抢答，简述 解答过程） 2、游戏2：临时抽“生2”在自己的日历上用 正方形圈出4个数，把它们的和告诉大家，由其他 同学求出这4个数。（时间允许可做2至3次） 课件展示未知数的不同设法： x+7 x+8 x+1 x x+6 x+7 x x-1 x x+1 x-6 x-7 x-1 x x-7 x-8 组织学 生完成 游戏或 练习， 充分发 挥组织 者的作 用。 学生积 极参与 游戏， 认真完 成练 习。 本组问题与上 一组问题紧密 联系，但又有 所提升，强化 所学知识的同 时，培养学生 解决问题的能 力。 本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学3中算法内容的学习做了铺垫。 2.学情分析学生在学习了上小节的内容后，对方程的根的存在性有了一定的了解。在使用计算器上也不会有任何问题。主要的困难在于对这种算法的理解以及对教材中归纳的使用二分法求方程近似解一般步骤和精确度的理解。因此在教学上可设置生动的情境（比如价格竞猜）引入，来帮助学生理解二分法的实质。同时应放慢教学速度，用3课时把这些内容讲清楚。具体课时分布如下： 中学课堂教学设计表 教学手段通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用． 教学过程设计（详细过程）【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标 教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用 3.1.1方程的根与函数的零点 教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就 要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此， 我们还要做一些基本的知识储备。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我 们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节 课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。 教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。 【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想 教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？ （1）；（2）. 学生活动：回答，思考解法。 教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决 第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打 破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假 如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？ 学生活动：思考作答。 教师活动：用屏幕显示函数的图象。 学生活动：观察图像，思考作答。 教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写的实数 根和函数图象与x轴的交点。 学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。 教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点． 【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系 教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。 教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？ 学生活动：对比定义，思考作答。 新课标中考复习教案：方程与不等式 一、方程 【知识梳理】 1、知识结构 方程???? ? ???? ????????? ???????????? ?? ??? ?????????????分式方程的应用分式方程的解法 分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程 2、知识扫描 (1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。 (2)含有 2 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 次，这样的方程叫二元一次方程. (3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. (4)二元一次方程组的解法有 法和 法. (5)只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 )0(02 ≠=++a c bx ax 。 (6)解一元二次方程的方法有： ① 直接开平方法；②配方法；③ 公式法；④ 因式分解法 例：（1）042 =-x （2）0342 =--x x （3）4722 =+x x （4）0232 =+-x x (7)一元二次方程的根的判别式： ac b 42-=?叫做一元二次方程的根的判别式。 对于一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根； 反之也成立。 (8)一元二次方程的根与系数的关系： 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么 a b x x - =+21， a c x x =?21 课题：算术平均数与几何平均数 教学目标：1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 2.利用不等式求最值时要注意到“一正” “二定”“三相等”． 教学重点：均值不等式的灵活应用。 （一） 主要知识： 1.两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则 2 a b +（等号仅当a b =时成立） 三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） 2.几个重要的不等式： ① ab ≤22a b +?? ???≤222a b + ②abc ≤33a b c ++?? ???； ③如果,a b R ∈≥2a b +≥211a b + 3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和 有最小值。 （二）主要方法： 1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等. 2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）. （三）典例分析： 问题1．求下列函数的最值： ()113y x x = +-()3x <；()2121y x x =+-()1x >；()3241y x x =+()0x >； ()323 y x x =+()0x >；()4 ()21y x x =-()01x <<；()5 ()21y x x =-()01x << ()6y =()7 已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y +=，求x y +的最小值 问题2．已知0x >，0y >，且1x y +=，求. 问题3．求最小值()1231()1x x f x x -+=+()1x >-；()2 223sin sin y x x =+ 问题4．()1设0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则 .A 2x y +≤.B 2x y +≥ .C )21x y +≤ .D )2 1x y +≥ ()2已知x ≥0，y ≥0，且22 12y x +=，求证：≤4 ()3若0a b >>, 求216() a b a b + -的最小值 （四）课后作业： 1.已知1>a 那么1 1-+a a 的最小值是 .A 12-a a .B 15+ .C 3 .D 2 第三章 函数的应用 一、课程要求 本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系. 2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想. 3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 . 4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识. 二、 编写意图和教学建议 1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）. 2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配 方法、待定分数法等数学思想方法. 3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率. 4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养. 5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 . 三、教学内容与课时的安排建议 全章教学时间约需9课时. 3.1 函数与方程 3课时 3.2函数模型及其应用 4课时 实习作业 1课时 基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2. 【说课稿】： 日历中的方程 宁夏灵武市回民中学刘明雄 一、说教学内容 北师大版七年级数学上册第五章第3节日历中的方程。本节内容是承继第三章第6节探索规律的基础进行的，它又是学生系统地学习用一元一次方程解应用题的开始，具有承前启后的作用，务必使学生掌握。同时也是学生了解分析应用题，解答应用题一般方法的起始课，是学生开始学习求多个未知量的示范性课程，也是数学思维中的一题多解和多题一解的好材料。所以本节课的成与败关系到学生今后一段时间的学习，直接影响着应用题的学习的兴趣和成败。 二、说学生 学生在第三章学习的过程中接触过关于日历中日期的数字问题，学生对日历中同一横行或者同一竖列上几个数字之间的关系较为熟悉，在本章一元一次方程概念及解法的学习过程中，一直有列方程解应用题问题的渗透，对此方面的问题相对也比较熟悉. 学生在学习本章前几节的内容过程中，在观察、归纳、转化等数学思想的运用方面，有一定的训练、体验，在小组合作学习方面，协作精神、互助学习能力有很大提高.学生已经历了应用方程解决简单的实际问题的过程，对方程这一“数学化”实际问题的数学模型的作用已有所体会.所以学习本节内容应该问题不大，只要老师引导得法，组织好学生的合作与讨论工作，同时展示学生的习作，充分暴露学生的数学思考方式就行了。 三、说教学目标 1、知识与技能目标：知道日历中相邻日期之间的数量关系（横行、竖列、斜行、方框、以及字母套数等），了解方程是解决实 际问题的关键建立相等关系。 2、过程与方法目标：让学生经历运用方程解决实际问题的过程，发展学生抽象、概括、分析问题、解决问题的能力。 3、情感、态度和价值观目标：采用游戏的形式激发学生的学习兴趣，使学生积极参与到课堂学习活动中来，初步认识到解决实 《13.3一次函数与一次方程、一次不等式》（第一课时）安徽省合肥市庐阳中学陈光宇 教 具 安 排 学生课堂自主探究材料、多媒体课件。课 时安排 这节内容安排两个课时，本节课是第一课时，主要通过探究活动领悟一次函数与一元一次方程、一次不等式之间的联系。 教学过程设计 问题与情境师生活动设计意图 复习旧知、学前热身 小明的爸爸应邀来到合肥投资， 在庐阳工业园投资300万元成本建成 一个小型家电生产工厂。建成投产后, 不考虑材料费等其他因素，每年盈利 75万元。回答下面两个问题， 1:该工厂投产几年刚好收回成本？ 2:该工厂从哪一年后盈利开始超过 300万元以上? 师：从小学到现在我们学过 哪些解决问题的方法？ 生：小学的算术法和初中学 过的方程、不等式。 师：怎样利用函数图象解决 上面的问题呢？ 贴切的生活情境可以让大多数同 学想到解决问题的方法，除了能激发学 生的求知欲，也让学生初步感受一次方 程和一元一次不等式与一次函数是有 联系的，引入课题。 合作交流、探究新知活动一：探究一次函数与一元一次方 程之间的联系。 1．解方程 3x+6=0。 2．直线y=3x+6与x轴交点的坐标是 什么？ 3．讨论:图象与方程的解之间的关系。 4.不解方程：你能说出方程3x+6=6的 解吗？ 学生口答三个问题。 师：课前让大家准备了任意 的一次函数的图象，观察你 的图象，在图象中也有类似 的联系吗？ 学生举例说明。 师：将刚才的思考概括为一 般形式呢？ 归纳：一次函数y=kx+b（k、 b为常数，k≠0）与x轴交 点的横坐标就是方程kx+b=0 的解。 一元一次方程kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的解就是一 次函数y=kx+b(k0 )与x轴 交点的横坐标。 引题分解难度，给学生提供了思考 的角度和方向。 通过学生反复实践和教师引导，学 生从“形”到“数”，或者从“数”到 “形”，自己探究一次函数的图象与一 元一次方程解的关系，体验知识生成的 过程。 《日历中的方程》教案 《日历中的方程》：七年级（上）第五章第三节 一、教案背景： 《日历中的方程》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）七年级上册。本节课是初中阶段首次运用一元一次方程解决实际问题。主要教学目标是以生动、有趣的日历问题为载体，激发学生的兴趣，让学生认识并学会运用一元一次方程解决实际问题。 二、教材分析： 本节以日历中的方程为主要的研究对象，用生动活泼的多种形式呈现给学生，让学生经历观察、实验、猜测验证、推理交流、对比等活动，在活动中培养学生解决问题、分析问题的能力。本节课的内容是第三章中《探索规律》的延续与应用，又是激发学生运用方程解决实际问题的兴趣的亮点。为后续列方程解应用题的学习奠定了知识基础，体现了课程标准中“重要的数学概念和思想方法的学习遵循逐级递增，螺旋上升的原则。”这节课以学生最为熟悉的日历为背景，充分激发学生的求知欲，也是培养学生勇于探索的创新和协作精神的最佳契机。 三、教学方法： 启发式接受教学法为主，合作学习自主探究为辅 四、教学过程： （一）创设情景，引入课题： 多媒体播放一张日历图片。 师：这是一张日历图片，图片中蕴含了很多的数学知识。下面咱们来做一个“我来猜”的游戏，游戏规则是：请你在日历上圈出一竖列上相邻的三个日期，只要你把他们的和告诉我，我能很快猜出这三天分别是几号。 学生说一说，老师猜一猜。 教师导入：你想知道这个游戏的奥秘吗？其实老师是用列方程的方法求出这三天的日期的，那么怎么列方程呢？学完这节《日历中的方程》你们就知道了。 板书课题：日历中的方程 （二）讲授新课： 1、想一想： （1）日历中的数是一些什么数？最小是多少？最大是多少？ （2）日历中同一横行上相邻的两个数有什么关系？任意圈出日历中同一横行上相邻的三个数，如果设中间的一个数为X，那么其余的两个数如何表示？它们的和是多少？如果设第一个数为X呢？设第三个数为X又如何呢？你觉得哪一个代数式化简起来更简单？ ①X-1+X+X+1=3X ②X+X+1+X+2=3X+3 ③X+X-1+X-2=3X-3 学生回答，对照比较后，发现设中间的数为X比较简单。 由此归纳：日历中同一横行上相邻两数相差1，用字母表示相邻三个数时，有多种表示方法，一般设中间的一个数为X，则其余的两个数可以表示为X-1和X+1，利用相反数的性质，可求得它们的和为3X。 师：由此可知横行上相邻的三个数的和一定是3的倍数。 例：小颖圈出日历中横行上相邻的三个数的和是42，你能求出这三天分别是几号吗？ 解：设中间的数为X，则其余两个数分别是X+1，X-1， 根据题意，得：（X－1）＋X＋（X＋1）＝42 3X=42 X=14 答：这三天分别是13号，14号，15号。 师：那么，如果小颖说出的和是93，你认为可能吗？为什么？ 学生说一说，讨论日期的合理性。 做一做（一）： 1、某个月的日历，一个横行上相邻3个数的和为27，则这3天分别是＿＿＿号、＿＿＿号、＿＿＿号。 年级八年级课题一次函数与一元一次方程课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．用一次函数观点认识一元一次方程。 2．用一次函数的方法求解一元一次方程。 3．加深理解数形结合思想。 过程 方法 学习用函数的观点看待方程的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思 想。 情感 态度 经历了方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩 证思想。 教学重点一次函数与一元一次方程关系的理解 教学难点一次函数与一元一次方程关系的理解 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、情境引入 问题1：解方程2x+20=0 问题2：当x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 问题3：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点 思考：问题1、2有什么关系？ 问题1、3有什么关系？ 二、自主探究 1．针对以上思考、讨论后，师生归纳 2．问题拓展，形成规律 （1）方程ax+b=0(a，b为常数，a≠b的解是_____ （2）当x_____时，一次函数y=ax+b( a≠0)的值为0？（3）直线y=ax+b与x轴的交点坐标是______ 3．知识点归纳 4．归纳结论 任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0(ab为常数a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应自变量的值。 从图象上看，求直线y=ax+b与x轴的交互的横坐标 三、课堂训练 1．根据表格填空 序号一元一次方程的一次函数问题 学生独立思考问题 完成画图，相互交 流结果 问题1解方程x=– 10 问题2可以通过解 方程2x+20=0得 x=-10 因此问题1、2是同 一个问题的两种不 同表达方式 从“数”角度看问题 1议程的解为x=-10 从“形”角度看直线 y=2x+20与x的交点 (-10,0)也就是方程 2x+20=0的解是 x=-10 学生在此活动中，体 会一次函数与一元 一次方程在数和形 两方面联系 教师引导学生从特 殊事例中寻找一般 规律，进而总结出 一次函数与一元一 次方程的内在联 系，学生通过自主 合作分析思考，归 纳，概括出定理的 关系 直接出示问题， 便于学生快速 思考，减少干扰 通过活动逐步 学会从特殊到 一般的归纳概 括能力，进一步 认识函数与一 元一次方程的 内在联系 通过这一活动，高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计
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