一元二次函数方程和不等式教学设计(陈开懋)
数学《一元二次不等式》教学设计(优秀3篇)
数学《一元二次不等式》教学设计（优秀3篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《一元二次函数、方程和不等式复习》教学设计
《一元二次函数、方程和不等式复习》教学设计表七、教学板书评价方案设计课前检测：【测评内容】1.课前梳理章节内容，制作整个章节的思维导图。
2.下发知识清单，易错题在线推送（12学），经典题型再次回眸。
3.根据知识点整理整个章节的题型，总结整章内容的解题方法。
【评价方式】1.通过课堂授课前投影展示部分学生的预习作业进行评价。
2.通过提问，掌握学生对本节的初步认知情况。
3.通过12学平台，精确掌握易错题的正确率，结合知识清单进行评价反馈。
课堂练测【练习内容1】常见题型专题总结（九个题型）：（一）利用不等式性质，判断其它不等式是否成立1. 设a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则( )A. ac >bcB. a −c >b −cC. a 2>b 2D. 1a <1b （二）比较大小2. 设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( )A. a <b <√ab <a+b 2 B. a <√ab <b <a+b 2 C. a <√ab <a+b 2<b D. √ab <a <a+b 2<b（三）利用不等式性质判断P 是Q 的充分条件和必要条件3. 不等式2x 2−5x −3≥0成立的一个必要不充分条件是( )A. x ≥0B. x <0或x >2C. x <−12D. x ≤−12或x ≥3 （四）不等式恒成立k 分类讨论4. 已知关于x 的不等式kx 2-6kx +k +8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A. 0≤k ≤1B. 0<k ≤1C. k <0或k >1D. k ≤0或k ≥1（五）没有限定条件的基本不等式最值问题5. 已知x >0,则x +12x 的最小值为( ) A. 12 B. 1 C. √22 D. √2（六）有限定条件的基本不等式的最值问题（数式互换）6. 设x 、y ∈R, x+y=5，则3x +3y 的最小值是（ ）A 、10B 、36C 、64D 、318（七）解一元二次不等式7.设集合A ={x|x 2−4x +3<0},B ={x|2x −3>0},则A ∩B =( )A. (−3,−32)B. (−3,32)C. (1,32)D. (32,3) （八）利用二次函数求一元二次不等式的最值问题8.已知关于x 的不等式ax 2−x +b ≥0的解集为[−2,1]，则关于x 的不等式bx 2−x +a ≤0的解集为（ ）A. [−1,2] B. [−1,12] C. [−12,1] D. [−1,−12]（九）恒成立问题（一元二次不等式含参数的恒成立、基本不等式含参数的恒成立）9.已知x >0,y >0,若2y x +8x y >m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A. m ≥4或m ≤−2B. m ≥2或m ≤−4C. −2<m <4D. −4<m <2【练习内容2】（2019年高考理数第23题第1问）已知a,b,c 为正数，且abc=1,求证222111c b a cb a ++≤++ （变式训练）已知a 、b 、c 为不全相等的正数，且abc=1,求证：cb ac b a 111++<++【评价方式】 1.12学精准掌握每题的正确率，挑选错误率较高的题目进行讲解。
二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。
教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。
通过定义辨析，引导学生熟练掌握一元二次不等式特征，提高学生数学抽象的核心素养.】(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.当x ＜2 或x ＞10时，图像在x 轴上方，y ＞０，即x 2-12x+20>0；当2<x ＜10时，y <０，即x 2-12x+20<0；故一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0的解集是{x|2＜x ＜10}.求解一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a <0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．一元二次不等式的解法】先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.21225600.2 3.56x x x x y x x -+=∆>===-+解：对于方程，因为，所以它有两个实数根解得，画出二次函数的图象，如下图，256{|}023.x x x x x -+><>结合图象得不等式的解集为，或2122961001.3961x x x x y x x -+=∆====-+解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得画出二次函数的图象，如下图，29610{|}1.3x x x x -+>≠结合图象得不等式的解集为22230.80230.x x x x -+<∆=-<∴-+=解：不等式可化为，方程无实数根223y x x =-+∅画出二次函数因此，原不等式的解集为。
《二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）》教学设计◆教学目标1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．◆课前准备PPT课件◆教学过程一、知识回顾★资源名称：【知识点解析】一元二次不等式的解法★使用说明：本资源为一元二次不等式的解法讲解视频，通过具体例子，引导学生理解并归纳出一元二次不等式求解的一般步骤．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究 利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：x x y 2200202+-=．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.3二次函数与一元二次方程不等式第1课时教案第一册
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3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法（重点)。
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能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养。
1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0）．（2)ax2＋bx＋c≥0（a≠0)．（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0）．(4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0）．思考1:不等式x2－y2〉0是一元二次不等式吗？提示:此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1｝,解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2〉1的解集及其含义是什么?提示：不等式x2>1的解集为｛x|x〈－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c（a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y ＜0的步求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－错误!没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象骤得等的集不式解y＞0｛x|x＜x1_或x＞x2｝错误!R y＜0{x|x1＜x＜x2｝∅∅思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1〉0的解集为R,则错误!解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1〉0的解集为R。
一元二次函数方程和不等式教学设计(陈开懋)
课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）华中师范大学第一附属中学陈开懋一、教案设计1.教案内容解读在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好.本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解读几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.根据以上分析，本节课的教案重点确定为教案重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.教案难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.3.教案目标设置(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4.教案策略分析本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。
高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》
教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。
2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。
难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。
提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。
这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。
明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。
2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。
一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。
一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。
强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教案——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计教材内容：本节课研究的是一元二次不等式的解法和应用，一元二次不等式是在学习了一元二次方程、一元二次函数的进一步探索。
一元二次不等式的学习，是对方程思想、不等式思想、函数思想的进一步深入探讨学习，同时一元二次不等式在现实生活中有着较为广泛的应用。
本节课便是从现实生活的相关模型入手，展开对一元二次不等式的学习。
教学目标：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.数学核心素养.教学重点与难点：1.重点：一元二次不等式的解法.2.难点：一元二次不等式的实际应用.教学过程设计：1、新课导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题，对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？这节课我们就来学习一下二次函数与一元二次方程、不等式.2、探索新知知识点1 一元二次不等式的概念一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是20ax bx c ++>或20ax bx c ++<，其中a ，b ，c 均为常数，0a ≠.知识点2 一元二次不等式的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.知识点3 一元二次不等式的解法求一般的一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>和20(0)ax bx c a ++<>的解集. 因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表：例题点拨例1 求不等式2560x x -+>的解集.分析：因为方程2560x x -+=的根是函数256y x x =-+的零点，所以先求出2560x x -+=的根，再根据函数图象得到2560x x -+>的解集.解：对于方程2560x x -+=，因为0∆>，所以它有两个实数根.解得12x =，23x =.画出二次函数256y x x =-+的图象，如下图，结合图象得不等式2560x x -+>的解集为{|23}x x x <>或.例2 求不等式29610x x -+>的解集.解：对于方程29610x x -+=，因为0∆=，所以它有两个相等的实数根，解得1213x x ==.画出二次函数2961y x x =-+的图象，如下图，结合图象得不等式29610x x -+>的解集为1{|}3x x ≠.例3 求不等式2230x x -+->的解集. 解：不等式可化为2230x x -+<.因为80∆=-<，所以方程2230x x -+=无实数根.画出二次函数223y x x =-+的图象，如下图，结合图象得不等式2230x x -+<的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.求解一元二次不等式的过程用框图表示如下：知识点4 一元二次不等式的应用接下来通过两道例题来学习一下一元二次不等式在实际问题中的应用例 4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：2202200y x x =-+.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x 辆摩托车，根据题意，得220220060000x x -+>. 移项整理，得211030000x x -+<.对于方程211030000x x -+=，1000∆=>，方程有两个实数解150x =，260x =.画出二次函数21103000y x x =-+的图象如图，结合图象得不等式211030000x x -+<的解集为{|5060}x x <<，从而原不等式的解集为{|5060}x x <<.因为x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得60000元以上的收益.例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km/h ）之间有如下关系：21120180s v v =+. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到 1 km/h ）？解：根据题意，得21139.520180v v +>.移项整理，得2971100v v +->.对于方程2971100v v +-=，0∆>，方程有两个实数根1928521v --=，2928521v -+.画出二次函数297110s v v =+-的图象如图，结合图象得不等式的解集为12{|}v v v v v <>或. 因为车速0v >，所以2v v >，而279.980v <<，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h. 3、课堂练习1.关于x 的一元二次不等式2560x x -->的解集为( )A.{|1x x <-或6}x >B.{|16}x x -<<C.{|2x x <-或3}x >D.{|23}x x -<<答案：A解析：由2560x x -->得(6)(1)0x x -+>，解得6x >或1x <-，∴原不等式的解集为{|1x x <-或6}x >.故选A.2.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是( )A.90100a <<B.90110a <<C.100110a <<D.80100a <<答案：A解析：设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则90a x =+，2(10)(40020)1040020200y x x x x =+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010x <<，9090100x ∴<+<，a ∴的取值范围为90100a <<.故选A.3.（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为2x <-或3x >，则( )A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{|6}x x <-C.0a b c ++>D.不等式20cx bx a -+<的解集为1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭ 答案：ABD解析：关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为2x <-或3x >，0a ∴>，故A正确；易知-2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩，则6b a c a =-⎧⎨=-⎩，则60a b c a ++=-<，故C 错误；不等式0bx c +>即60ax a -->，即60x +<，解得6x <-，故B 正确；不等式20cx bx a -+<即260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或12x >，故D 正确.故选ABD.4.若不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为_________________.答案：{|84}λλ-≤≤解析：因为228()a b b a b λ+≥+对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以228()0a b b a b λ+-+≥对任意的的a ，b ∈R 恒成立，即22(8)0a ba b λλ--≥+对任意的的a ，b ∈R 恒成立，将其看作关于a 的一元二次不等式，可得222224(8(0))432b b b λλλλ∆=+-=+-≤，所以24320λλ+-≤，解得84λ-≤≤.4、小结作业小结：本节课学习了一元二次不等式的解法及实际应用. 作业：完成本节课课后习题.四、板书设计2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式：一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是20ax bx c ++>或20ax bx c ++<，其中a ，b ，c 均为常数，0a ≠.2.一元二次不等式的零点：一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表：。
一元二次函数、方程和不等式,2.2,基本不等式,2.2.1,基本不等式教案
一元二次函数、方程和不等式,2.2,基本不等式,2.2.1,基本不等式教案第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式（共2课时）2.2.1基本不等式（第1课时）1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算) 1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式等号成立条件；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？（二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为,（）, 那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数,，我们有，当且仅当时，等号成立。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为，当且仅当时等号成立4．（1）基本不等式：如果,,我们用、分别代替、，可得，通常我们把上式写作：基本不等式（,)（当且仅当时，取等号）5.基本不等式：（1）在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。
教学建议第二章一元二次函数方程和不等式教学建议
教学建议本章要在回顾、梳理初中的一些重要知识、提炼其中的思想方法的基础上，以不等式的相关内容为载体，提升学生对数学学习的认识水平，为高中的数学学习作好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，所以对本章的教学，要重点关注与初中内容的衔接，以及在衔接基础上的提升，具体说来，有以下四个方面的建议.1.类比方程研究不等式，渗透研究一个数学对象的基本路径在初中的代数学习中，学生对如何研究一个代数对象已经有了初步感受，本章教学要注意引导学生借助已有经验构建研究不等式的基本路径，包括研究对象的抽象、研究内容的确定、研究过程的安排、研究方法的获得等.不等式的类比对象是等式，等式的研究路径大致是“现实背景一一相等关系与等式一一式性质一一方程及其解法一一应用”，这个过程实际是“获取代数对象一一，性质一一运算一一应用”，据此，可以在学习本章内容之前，先让学生在回顾和总结初中等式学习过程的基础上，提出研究不等式的研究路径.又如，本章要学习不等式的基本性质，除了让学生掌握不等式的基本性质外,还应该让他们理解为什么这些性质是不等式的“基本性质”.为此，可以让学生梳理等式的基本性质，认识其中蕴含的数学思想方法，即等式的基本性质既反映了相等关系自身的特性，又反映了等式在四则运算中的不变性，而“式的大小关系”的本质属性就表现在这两个方面一一自身的特性、相对于运算的不变性，不等式的基本性质也应该体现在这些方面，因此，学生可以从上述角度去猜想不等式的基本性质.2.抓住关键点，让学生充分经历研究过程如前所述，本章的重点内容是不等式基本性质的发现过程及性质本身，以及二次函数与一元二次方程、不等式的联系.对这两个内容的教学都要注意在初高中内容之间建立连接，并提升对已学内容的认识，在此基础上进行拓展，也就是“回顾、梳理一一提炼一一迁移”的过程，其中“提炼”是关键.具体说来，对于不等式的基本性质的教学，可以先引导学生梳理出等式的性质（教科书上的性质1~5）,再引导学生发现其中的性质1和性质2是所谓的“对称性”和“传递性”，它们反映了相等关系自身的特性，而性质3~5反映了等式在四则运算中的不变性；再告诉学生，“式的大小关系”的本质属性就集中反映在“自身的特性”和“对于运算的不变性”这两个方面，不等式也不例外；最后，启发学生在“式的大小关系”的本质属性的指引下探究不等式的基本性质，在探究的过程中，可以继续与等式类比，如从“对称性”和“传递性”两个角度去考察“不等关系自身的特性”等，也可以借助特例验证、修正猜想的性质，再证明.对于二次函数与一元二次方程、不等式的联系的教学，可以先让学生回顾从一次函数的观点看一元一次方程和一元一次不等式的含义，体会三者的联系中蕴含的一般规律：函数图象与X轴的交点的横坐标即是相关方程的根，在X轴上方或下方的点的横坐标的取值范围就是相应不等式的解集，再引导学生借助这个规律，探究二次函数与一元二次方程、不等式的关系，学生将不难从二次函数图象的关键点上去寻找解决问题的“突破口”.3.处理好不等式证明的教学，为后续学习打下基础用不等式的性质证明一些简单命题不是本章的重点内容，但是因为学生在今后的学习中难免遇到代数证明的问题，而他们在初中又缺少代数证明的经验，所以本章有必要借助不等式的证明为学生打下这方面的基础.对于不等式证明的教学，一方面，要注意控制难度，教科书只介绍了三种不等式的证明方法一作差法（教科书第38页例1）、两头夹逼法（只限思路）（教科书第42页例2）和分析法（教科书第44页对基本不等式的证明），而且每种方法都是蕴含在具体例子里的，教科书对方法本身都没有特别说明.这样编排主要是为了不冲淡本章的主题.因此教学中也没有必要补充过多的方法和过难的问题.另一方面，教学中可以结合更多的典型例子，对这三种证明方法或思路多做一些介绍，例如“作差法”依据的是实数大小比较的基本事实，是最基本、最重要的不等式证明方法，用这种方法进行证明时需要对代数式进行正确的恒等变形，把两个式比大小的问题转化为判断代数式的符号问题；而“两头夹逼法”的证明思路适用于不容易从要求证的不等式看出应该对给定的不等式做什么样的变形的情况，通过结合已知条件，寻求使结论成立的充分条件，再利用不等式的性质，由已知条件推出这个充分条件，这实际上是分析法与综合法的综合应用：“分析法”的证明过程是“执果素因”，即寻求使当前命题成立的充分条件，直至明显成立的条件为止4.重视不等式实际应用的教学，充分发挥不等式的工具价值和等式一样，不等式也是重要的数学工具，它在解决包含不等关系的问题中发挥着重要作用，而现实中存在大量的不等关系，因此教师应该重视不等式实际应用的教学，以使学生更好地应用不等式解决实际问题.本章对不等式实际应用的编排主要体现在用两种具体的不等式一基本不等式和一元二次不等式解决实际问题.应用基本不等式解决实际问题是本章的一个难点，教学中可以结合基本题（如教科书第46页例3等）和变式题（如教科书第47页例4等），引导学生对实际问题进行简化，用基本不等式的数学模型去理解和识别实际问题中的数量关系，看它们是否符合模型中的条件，再示范如何用基本不等式解决问题；还可以比较基本不等式模型与方程模型在解决实际问题中的异同，使学生加深对前者的理解，而对一元二次不等式解决实际问题，本章的2.3节把重点放在了解一元二次不等式上，教学中可以结合一些问题，让学生经历用一元二次不等式模型解决问题的全过程.。
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
新教材】人教统编版高中数学必修一A 版第二章教案教学设计2.1 《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义. 同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1. 数学抽象：不等式的基本性质；2. 逻辑推理：不等式的证明；3. 数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4. 数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘. （将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5. 数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等. 举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察. 研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42 页，思考并完成以下问题1. 不等式的基本性质是？2. 比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3. 重要不等式是？4. 等式的基本性质？5. 类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题三、新知探究1、两个实数比较大小的方法??-??>0???>??作差法{??-??=0???=?? ??-??<0???<?? ??>1???>????作商法????=1???=?? ??{ ??<1???<??2. 不等式的基本性质3. 重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例 1 判断下列命题是否正确解题技巧：（不等式性质应用） 可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证 跟踪训练一1、用不等号“ >”或“ <”填空：1）如果 a>b ， c<d ，那么 a-c ___ b-d ； 2）如果 a>b>0， c<d<0，那么 ac __ bd ； 13）如果 a>b>0，那么 a 12ac4）如果 a>b>c>0，那么 ca题型二 比较大小 例 2 (1). 比较 (x+2)(x+3) 和(x+1)(x+4) 的大小cc（2）. 已知a> b > 0,c> 0,求c> c 。
二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)参考教学方案
《二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）》教学设计1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．GEOGEBRA 、PPT 课件．一、情境引入问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m ，围成的矩形区域的面积要大于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来． 预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x ，另一边为y ，可以得到⎩⎨⎧>=+.20,12xy y x 此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．2．部分学生用一个未知数x 即可表示问题中的不等式20)-12>x x （，但学生容易忘记自变量x 的取值范围．追问：不等式20)-12>x x （即020122<+-x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：0022<++>++c bx ax c bx ax 或，并且强调二次项的系数a ≠0．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数20122+-=x x y 为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问1：教师用信息技术画出函数20122+-=x x y 的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P （x ，y ）．当点P 在抛物线上移动时，请你观察：随着点P 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？师生活动：学生观察思考后回答．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2}{x |x ≠－b 2a} Rax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．3．应用举例例1 求下列不等式的解集：（1）0652>+-x x （2）01692>+-x x （3）03-2-2>+x x追问：求解不等式的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何异同？能否转化为（1）（2）题．师生活动：学生独立完成后展示交流，师生总结求解思路．对于二次项系数是负数（即0<a )的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解．预设的答案：（1）解：对于方程0652=+-x x ，因为∆＞0， 所以它有两个实数根，解得3,221==x x ， 画出二次函数652+-=x x y 的图象（图2.3-2）结合图象得不等式0652>+-x x 的解集为}{3,2><x x x 或．（2）解：对于方程01692=+-x x ，因为∆=0，所以它有两个相等的实数根，解得3121==x x ，画出二次函数169y 2+-=x x 的图象（图2.3-3），结合图象得不等式01692>+-x x 的解集为}31|{≠x x ．（3）解：不等式可化为032-2<+x x ，因为∆=-8＜0，所以方程032-2=+x x 无实数根，画出二次函数32y 2+-=x x 的图象（图2.3-4），结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为∅．因此原不等式的解集为∅．追问：通过这三道题的学习，请你试着总结一下：解一元二次不等式的一般步骤是什么？师生活动：学生总结，教师完善．预设的答案：步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的三个二次函数的图象分别与x 轴有两个交点、有一个交点和没有交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．例 2 已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53-><x x x ，或，则图2-3-502<+-c bx ax 的解集为________．追问：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？ 师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出a ，b ，c 之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac a b解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ． 对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2-3-5），结合图象得不等式15-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或．设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．三、归纳小结，布置作业问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？师生活动：师生共同总结，教师强调关键点是从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结合、化归及函数思想．。
二次函数与方程不等式教学设计
二次函数与方程不等式教学设计教学设计：二次函数与方程、不等式一、教学目标：1.知识与技能：学生能够掌握二次函数的定义、性质及图像，并能够解二次方程和不等式。
2.过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察问题、发现问题的能力。
3.情感与态度：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的欲望，培养学生积极思维、主动学习的态度。
二、教学重难点：1.重点：二次函数的定义、性质及图像、解二次方程和不等式。
2.难点：二次函数的性质如何应用于解题。
三、教学过程：1.导入活动(15分钟)：通过展示一些实际生活中的问题，引导学生思考与二次函数相关的问题，如汽车行驶的距离与时间、抛物线的形状等。
2.探究活动(45分钟)：向学生介绍二次函数的定义，并通过实例让学生体会二次函数的性质。
（1）定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数。
（2）性质：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴为x=-b/2a；顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
通过画出不同参数a的二次函数图像，体会a对图像形状的影响，以及顶点坐标的关联。
3.讲解与示范(40分钟)：（1）解二次方程：将二次方程转化为标准形式，其中a,b,c为已知数，然后应用求根公式或配方法等来解方程。
（2）解二次不等式：将二次不等式转化为标准形式，然后应用图像法或因式法求解。
4.练习与巩固(30分钟)：让学生自主完成一些练习题：（1）解二次方程：a)x²-4x+3=0;b)4x²-9=0;（2）解二次不等式：a)x²-5x+6>0;b)x²+4x-5<0。
通过解题巩固所学知识。
5.拓展与应用(20分钟)：利用二次函数的性质解决一些实际问题，如汽车行驶路径最远点的确定、物体抛出的最高点的求解等。
6.总结与归纳(10分钟)：让学生总结二次函数的定义、性质及解二次方程和不等式的方法，梳理知识点，为下一步的巩固复习做准备。
《一元二次函数方程和不等式》教学设计
一元二次函数、方程和不等式（衔接课）一、教学设计1.教学内容解析在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、基本方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求，为高中的教学带来了不小的障碍.初高中衔接主要有以下三块内容：①一元二次不等式的解法，②二次函数在闭区间上的最值问题，③二次方程根的分布问题.这三部分内容是研究函数、方程、不等式问题的基础，也是解决直线与二次曲线位置关系问题的重要手段，同时又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材.对于一元二次不等式的解法现行教材安排在必修5，我认为调整到必修1之前，或是安排在《集合》之后，《函数》之前比较好. 对于“二次函数在闭区间上的最值问题”和“二次方程根的分布问题”可以安排在函数性质讲完之后讲解.本节课是在学生掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法及一次函数图象的基础上，通过类比，提出一元二次不等式的解法，通过例1，让学生直观了解三个“二次”的联系，再通过例2，例3对三个“二次”的内在联系进行整合，三个例题，由浅入深，层层递进，既学会解题方法，又总结了规律，同时又渗透了数学思想.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：一元二次函数、二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断这是一节初、高中数学衔接课，本课前学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质（如开口方向、对称轴、顶点、单调性等），以及简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决较简单的方程和不等式问题，但对一类高中常见的含参的一元二次不等式、一元二次方程根的分布，以及一类恒成立问题往往缺少办法，学生的问题主要出现在题意的理解以及合理的等价转化上，他们往往会孤立地看待问题，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式.根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：一元二次函数、二次方程与一元二次不等式三者之间的关系的应用.3.教学标准设置(1)掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；(2)经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法；(3)通过用方程、不等式、函数表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识；(4)培养学生的识图、绘图、用图能力，提升学生图形直观想象的核心素养，体会数形结合思想及普遍联系的辩证观.4.教学策略分析在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采用探究式教学方法，即“问题驱动——启发诱导——探索结果——拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合. 引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣，主动参与，积极体验，自主探究，总结提高的学习方式，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的学习积极性，为学生提供自主探究，自主学习的时间和空间.教法：（1）启发式教学，始终以问题驱动，引导学生在不断思考中获取知识.（2）互动式教学，体现在提问，例题教学，课堂练习，学生板演，小结等方面，引导学生积极参与.课堂教学突出以下三个方面：①导——教师引导，循序渐进；②动——师生互动，共同探索；③归——归纳总结，拓展提高.教学流程：二、课堂实录环节一：回顾回顾初中利用一次函数的图象解决过一次方程的根和一次不等式的解的问题.【设计意图】回顾初中三个“一次”问题，类比引出课题.环节二：整合【例1】已知二次函数322--=x x y ，（1）画出二次函数的草图；（2）方程0322=--x x 的解为 ； （3）不等式0322>--x x 的解集为 ；（4）不等式0322<--x x 的解集为 . 【设计意图】类比三个“一次”，让学生理解三个“二次”之间的内在联系.【例2】已知关于x 的不等式02<--a bx x 的解集为)3,1(-，求关于x 的不等式012>--bx ax 的解集.【设计意图】逆向变式，进一步实现一元二次函数、方程和不等式的整合.解法1：依题意，3,1是对应一元二次方程02=--a bx x 的两根，将1-=x 和3=x 代入方程得，⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅-=--⋅--0330)1()1(22a b a b ，即⎩⎨⎧=-+=+-09301b a b a ， 解得⎩⎨⎧==23b a ，将它代入不等式012>--bx ax ，得01232>--x x ，又因为一元二次方程01232=--x x 的根为31-=x 或1=x ，所以01232>--x x 的解集为}131|{>-<x x x 或. 解法2：依题意，3,1是对应一元二次方程02=--a bx x 的两根，由韦达定理有⎩⎨⎧-=⨯-=+-a b 3131，解得⎩⎨⎧==23b a ， 将它代入不等式012>--bx ax ，得01232>--x x ，又因为一元二次方程01232=--x x 的根为31-=x 或。
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习本文没有明显的格式错误和问题段落。
以下是小幅度改写后的文章：本教案旨在帮助学生掌握高中数学中重要的等式性质与不等式性质，这是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。
同时，等式性质与不等式性质也为学生以后顺利研究基本不等式起到重要的铺垫。
教学目标包括掌握等式性质与不等式性质及其推论，能够运用其解决简单的问题，进一步掌握比较法比较实数的大小，以及通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
教学重点是掌握不等式性质及其应用，难点则是不等式性质的应用。
为此，我们采用以学生为主体的诱思探究式教学，精讲多练的教学方法，借助多媒体等教学工具，引导学生独立思考、小组讨论，充分发挥学生的主动性和创造性。
在教学过程中，我们通过情景导入，引导学生观察和思考现实生活中的相等关系和不等关系；通过预课本，引入新课，让学生自主思考和探究不等式的基本性质、比较多项式大小的方法以及重要不等式等内容；通过典例分析和举一反三，帮助学生更好地应用不等式性质解决实际问题。
最后，我们希望通过本教案的教学，能够培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等方面的素养，提高学生的数学思维水平和解决实际问题的能力。
已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范围。
首先，可以将2a+b拆开，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界为4.然后，将2a+b拆开，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界为3.因此，2a+b的取值范围为3<2a+b<4.基本不等式”是必修1的重要内容。
它是在研究不等关系和不等式性质，掌握不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时，它也是为了以后研究选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
【教案】2.3二次函数与一元二次方程、不等式 教案
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计教学目标：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；2.了解一元二次不等式的概念与二次函数的零点；3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性；4.能够借助二次函数，求解一元二次不等式；5.通过一元二次函数、一元二次方程、不等式三者关系的探究过程，提升学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.教学重点、难点重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图象与x 轴位置关系的联系，数形结合思想的运用． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.教学过程一．问题引入园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20ｍ²，则这个矩形的边长为多少米？解：设这个矩形的一条边长为m x ，则另一条边长为12)m.x -（由题意，得12)20,x x ->（其中{012}.x x x ∈<<整理得 212200,{012}.x x x x x -+<∈<< ①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．设计意图：由问题引入，引发学生思考，得到一元二次不等式，引入课题并出示本节教学目标 .二．新知探究问题：什么是一元二次不等式？学生总结回答，说出定义.定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一般形式是0022<++>++c bx ax c bx ax 或其中,,a b c 均为常数，0.a ≠教师引导学生解读定义，强调关键词,目的加深学生对定义的理解.在初中，我们学习了一元一次不等式的解法，以30,30x x ->-<两个不等式为例，求出3=0x -的根，进而画出函数3y x =-的图象，通过图象写出不等式的解.类比这种解法，我们能否借助二次函数的图象求解一元二次不等式呢？设计意图：教师引导学生回顾一元一次不等式的解法，体会求解步骤，通过类比，有助于探究一元二次不等式的解法.探究一：一元二次不等式212200x x -+< 的解法（1）求一元二次方程21220=0x x -+的_____ ，12____,_____.x x == （2）画一元二次函数2=1220y x x -+的图象；（3）当210x <<时，函数图象位于x 轴___方，此时0y <，即212200x x -+<. 所以，一元二次不等式的解集为{210}x x <<.从而解决了引例的问题.设计意图：通过以上三个步骤的设置，让学生自主探究具体的一元二次不等式的解法，进而推广到一般情况.问题：2和10是方程的根，是二次函数与x 轴交点的横坐标，也叫做函数的零点.引出零点的定义.一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使2=0ax bx c ++的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.注：一元二次函数的零点不是点，是实数.教师强调上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 和)0(02><++a c bx ax 的解集．探究二：二次函数与一元二次方程、不等式的解对应关系下面我们以表格的形式探究三者之间的关系（学生分组谈论，合作交流）讨论结束，教师提问学生，完成表格.三．典例分析、举一反三一元二次不等式的解法 例1 求不等式2560x x -+>的解集．分析：因为方程256=0x x -+的根是函数256y x x =-+的零点，所以先求出256=0x x -+的根，再根据函数图象得到2560x x -+>的解集.解：对于方程256=0x x -+，因为0,∆>所以它有两个实数根，解得12=2 3.x x =， 画出二次函数256y x x =-+的图象，结合图象得不等式2560x x -+>的解集为{2,3}.x x x <>或设计意图：教师板书步骤，规范学生作答，强调关键语句.判别式2=4b ac ∆- 0∆> =0∆ 0∆< 2,0y ax bx c a =++> 的图象2=0,0ax bx c a ++>的根 有两相异实根 1212,x x x x <，有两相等实根 没有实数根 20,0ax bx c a ++>> 的解集12{}x x x x x <>或 {}2b x x a ≠-R 20,0ax bx c a ++<>的解集12{}x x x x << φ φ例2 求不等式01692>+-x x 的解集.解：对于方程2961=0x x -+，因为=0,∆所以它有两个相等实数根，解得121=.3x x =画出二次函数2961y x x =-+的图象，结合图象得不等式01692>+-x x 的解集为1{}.3x x ≠ 教师直接利用课件展示做题步骤，比较与例1的区别与联系.例3 求不等式03-2-2>+x x 的解集.解：不等式可化为0322<+-x x .因为=-8<0,∆所以方程无实数根.画出二次函数322+-=x x y 的图象，结合图象得不等式0322<+-x x 的解集为∅ 方法总结：如何用图解法解一元二次不等式？(1)化标：将原不等式化为系数为正的标准形式(2)求根：依据2=4b ac ∆-，判定方程根的情况；（3）画图；（4）写解集.巩固练习：求不等式 2.580.2)200.1x x --⨯≥（ 的解集. 设计意图：强化学生对一元二次不等式标准形式转化能力与求解能力 .四、课堂小结1.学到了哪些知识？（1）一元二次不等式的定义与二次函数的零点定义；（2）“三个二次”的关系（3）一元二次不等式解法步骤：化标、求根、画图、写解集2.运用了哪些数学思想方法？函数与方程 数形结合 类比法 特殊到一般3.提升了哪些数学素养？数学抽象 数学运算 直观想象五、板书设计六、作业布置分层训练 2.3二次函数与一元二次不等式七．教学反思本节通过画图，看图，分析图，小组讨论完善表格，深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法.。
名师教学设计《一元二次不等式及其解法》示范教学教案
一元二次不等式定义例题
分类
解题步骤总结
学生自主研讨一元二次方程、二次函数及一元二次不等式的相关性
六、例题精讲
根据根的情况理解、发问
通过例题解决一元二次不等式求解集问题
六、归纳总结解一元二次不等式三步曲
（1）转化为不等式的“标准”形式;
（2）算△,解相应一元二次方程的根；
（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，写出不等式的解集，大于取两边，小于取中间.
四、学情分析
教学背景：本课是高一年级必修五的一堂数学基础课程，本节课主要学习通过图象来研究一元二次不等式的有关解法。学生逻辑思维能力欠缺，需要及时引导学生进行归纳、总结。在通过二次函数图像、一元二次方程的求解，运用不等式及函数及方程的关系，让学生分小组讨论，总结和概括它们的共同点，从而求解。
学生背景：学生逻辑思维能力欠缺，需要及时引导学生进行归纳、总结。因此，本课遵循“以教师为主导，学生为主体”，“数学教学是数学活动的教学”等教学思想，把提问题作为教学出发点，指导尝试，总结反思。
三、教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）
（一）知识与技能正确理解二次方程、二次不等式和二次函数三者的关系，通过二次函数函数图象研究对应不等式解集的方法；
（二）过程与方法培养学生运用数形结合、等价转化及分类讨论等数学思想方法。
（三）情感、态度与价值观培养学生从形到数的转换能力，从特殊到一般的归纳概括能力。
(1)若该同学去A网吧，试写出所需费用的表达式？
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第二章 一元二次函数、方程和不等式教学设计(全章)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质一、内容和内容解析1．内容本单元主要学习用不等式表示现实问题、数学问题，为了解不等式，要探究不等式性质，而不等式性质的探究要先学习证明不等关系的“根本大法”，即“两个实数大小关系的基本事实”还要梳理等式基本性质及蕴含的思想方法，然后通过类比的方法猜想并证明不等式的性质，最后要会运用不等式的性质证明其它的一些不等关系．2．内容解析现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．重要不等式222a b ab ≥是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般性与特殊性获得“=”成立的条件．证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解決不等式问题中的应用价值．等式性质可从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”．“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征．从运算角度看，“加法”、“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不変；也有其派生出来的在“乘方”、“开方”等运算中的不变性．不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类．不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种．“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现．“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现．运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”、“乘法”等运算，得出新的不等关系．由于“正数乘正数大于0”，“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异．实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位．利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质．结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式基本性质，探究不等式的基本性质．二、目标和目标解析1．目标（1）会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．（2）理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系．（3）运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质．（4）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能够在生活问题、数学问题等情境中，发现其中所蕴含的不等关系，并将其符号化，从而用不等式表达．（2）学生能够在比较大小的问题情境中，发现并运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系，体会这个基本事实能够使实数的运算参与到实数的大小比较中．（3）学生能够运用类比的方法，猜想并证明不等式的基本性质，并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异．（4）学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系．三、教学问题诊断分析学生在用不等式表示实际问题时，对没有符号化的问题不知从何入手，学生能够抽象不等关系，但不能用符号语言表达．教学中教师应引导学生将问题符号化，体会符号语言在数学中的作用．两个实数大小关系的基本事实及其应用对学生来说较为容易，但理解这个基本事实使运算参与比较之中存在困难．教学中要让学生动起来，在比较大小的过程中体会运算的作用．不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的．学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理．高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理，因此学生会有一定的的困难．对于等式的基本性质学生是熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难．教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性．学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质存在困难，由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质．因此，教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据．学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难．教学中，要帮助学生进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路．本节课的教学难点是从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质．四、教学过程设计2.1等式性质与不等式性质（一）从不等关系中抽象不等式问题1：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等．你能举例说明生活中的相等关系和不等关系？师生活动：教师根据学生列举的例子，从严谨性的角度帮助学生梳理语言的表述．追问：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km h；（2）某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，用不等式表示不等关系的关键是确定问题在涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示．设计意图：创设运用不等式表示问题的情景，使学生意识到不等式在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础，引导学生将抽象出不等关系用符号语言表达．（二）探究两个实数大小关系的基本事实问题2：你能用不等式表示并解決下面的问题吗？某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生分析数量关系，并用不等式表达．设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为 2.580.20.1x x --⨯()万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 2.580.2200.1x x --⨯()≥，但不会解不等式．与解方程要用等式性质一样，解不等式要用到不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．实际上，在初中阶段学生已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．追问：那么，这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师指出回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式子或两个实数的大小关系．追问：大家来思考如何比较两个式子或实数的大小关系呢？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．思路一：利用实数的几何意义，由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，如图2.1-2，思路二：利用两个式子或实数作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论．这个基本事实可以表示为：0a b a b ⇔-＞＞；==0a b a b ⇔-；0a b a b ⇔-＜＜．设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础．（三）两个实数大小关系的基本事实的简单应用例1：比较23x x ++()()和14x x ++()()的大小．师生活动：学生能够比较顺利利用两个实数大小关系的基本事实比较出两数大小．因为2314x x x x ++-++()()()()22=5654x x x x ++-++()()=20＞，所以2314x x x x ++++＞)()()()(．设计意图：此题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法，让学生再次体会此方法在比较大小中的应用．问题3：阅读教科书第39页“探究”，你能在图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师指出这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是个小正方形．由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即222a b ab +＞（设直角三角形的两条直角边的长为a ，b a b (≠)）．而当直角三角形変为等腰直角三角形，即=a b 时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系22=2a b ab +．这样，就引出了基本不等式的一种变形形式222a b ab +≥．追问：你能总结一下22a b +与2ab 的大小关系吗？此不等关系中a b ，的取值范围如何？如果a b ∈R ，，此结论是否仍成立？师生活动：学生总结出222a b ab +≥，其中a b ，是边长，所以+a b ∈R ，．当a b ∈R ，时，上述结论是否成立的可題，只需比较22a b +与2ab 的大小关系，即2222=0a b ab a b +--()≥，由两个实数大小关系的基本事实，得222a b ab +≥，当且仅当=a b时等号成立．教师强调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式．设计意图：此探究问题的设计，作为相等关系和不等关系的总结，也为引出基本不等式做了铺垫．在推导过程中通过教师引导，学生从独立想象，并能够由“形”到“数”的逐步提炼出不等关系，通过再次追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．（四）复习等式性质，梳理思想方法关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么不等式到底有哪些性质呢?要研究不等式的性质，我们可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发．问题4：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一些发现等式基本性质的方法吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流并给出答案．教师进行总结、归纳、补充并板书出等式的性质．这其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对于性质1，2只有很少学生能回答出来，教师指出性质1，2反映了相等关系自身的特性，由于它们太明显了，是相等关系本身蕴含的性质，反而容易被忽略．学生在教师引导下可以归纳出性质3，4，5是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立．教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不変性的特点．设计意图：通过以上问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向．（五）通过类比，探究不等式的性质问题5：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流后得出：不等式的基本性质可从不等式的自身特性和运算两个角度来研究，教师进行总结、归纳、补充并板书出不等式的基本性质1，2，3，4．学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即a b b a＞＜，⇒＜＞；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即⇒b a a b，．不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的．在对不等式进行论证＞＜＜a b c ac bc⇒时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数．（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数．（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明．例如，性质2的证明可由0a b a b ⇒-＞＞，0b c b c ⇒-＞＞，继而得到+0a b b c --())＞(． 性质3的证明中学生能够分析出要证明a c b c ++＞，只需证明a c b c +-+()()与0的大小关系，也就是a b -与0的大小关系，得出如下证明：由a b ＞，得0a b -＞，所以0a c b c +-+())＞(，即a c b c ++＞．追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向．通过教师课件展示a c +，b c +的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c 的正负．教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题．设计意图：对同一个概念从不同的角度来表述，有利于揭示概念的本质．不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解．追问：利用以上不等式的基本性质，我们还可以推导出不等式的其它一些性质吗？师生活动：由性质3学生得到猜想“大数加大数大于小数加小数”，即“如果a b ＞，c d ＞，那么a c b d ++＞”．学生分析证明方法，若要证a c b d ++＞只需证0a c b d +-+())＞(，由已知0a b -＞，0c d -＞，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证． 教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时起到重要作用．追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同实数．如果同乘不同的实数，你有何结论？ 师生活动：学生独立思考、讨论交流得出：两边同乘负数不等号要変方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”．同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．教师指出此性质为不等式性质6，即“如果0a b ＞＞，0c d ＞＞，那么ac bd ＞”．追问：如果性质6中=a c ，=b d ，你有何新的结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出“如果0a b ＞＞，那么22a b ＞”，并能推广到“如果0a b ＞＞，那么n n a b ＞2n n N (，≥)”．教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例．设计意图：证明以上性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用，通过不等式性质的推导，让学生经历“猜想—证明—修正再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程．（六）不等式性质的简单应用例2 已知00a b c ＞＞，＜，求证c c a b＞． 师生活动：学生独立思考得出分析：要证明c c a b ＞，因为0c ＜，所以可以先证明11a b＜．利用已知0a b ＞＞和性质3，即可证明c c a b＞． 设计意图：通过本题向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路．对于有些不等式的证明，要在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”．此外，通过本例引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路．（七）单元小结教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：（1）本单元我们研究了两个实数大小关系的基本事实，这个基本事实在研究不等式时有什么作用？（2）本单元我们还重点学习了不等式的性质，我们采取什么样的方法进行研究？能否梳理并总结出探究的过程？师生活动：问题（1）学生总结并回答，研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，从而解决解不等式的问题．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．问题（2）学生总结并回答，通过梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质，再由不等式的基本性质推理得到不等式另外一些常用性质．教师帮助整理：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明—理解表达—应用反思”的过程．设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．（八） 布置作业教科书习题2.1第1，2，3，4，5，6题．五、目标检测设计1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h （单位：m ）从地面起不超过4 m ；（2）a 与b 的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于2350m 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建 成绿地，仓库的长L (单位：m )大于宽W (单位：m )的4倍．设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．2．比较37x x ++()()和46x x ++()()的大小． 设计意图：利用两个实数大小关系的基本事实比较大小．3．用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a b c d ＞，＜，那么_____a c b d --；（2）如果00a b c d ＞＞＜＜，，那么_____ac bd ；（3）如果0a b ＞＞，那么2211_____a b ； （4）如果0a b c ＞＞＞，那么_____c c a b ． 设计意图：考查学生对不等式性质的简单应用能力．4．已知a b ＞，0ab ＞，求证11a b＜． 设计意图：考查学生对不等式证明方法的探究水平，以及综合运用不等式性质的能力．六、教学反思2．2基本不等式一、内容和内容解析1．内容本单元主要学习基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用．2．内容解析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容． 基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关．从数与运算的角度，2a b 是两个正数a ，b 的“算术平均数”a ，b 的“几何平均数”．因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算．从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解．基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源．利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等．这些方法也是代数证明和推导的典型方法．基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n 个正数的几何平均值不大于算术平均值．基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值．同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法．因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养．基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题．二、目标和目标解析1．目标（1）理解基本不等式，发展逻辑推理素养．（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义．（2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养．三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点．基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点．在进行基本不等式的集合解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解．此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点．四、培养数学学科素养（1）数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程．（2）逻辑推理：基本不等式的证明．（3）数学运算：利用基本不等式求最值．（4）数据分析：利用基本不等式解決实际问题．（5）数学建模：利用函数的思想和基本不等式解決实际问题，提升学生的逻辑推理能力．五、教学过程设计2.2基本不等式（一）基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题．问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？师生活动：学生回忆、表述，对于任意实数a b ，，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．。
高中数学《一元二次函数、方程和不等式》单元教学设计
等式
《单元教学》教学设计
一 单元内容分析 二 学科素养解读 三 单元教学建议
一 单元内容分析
本章知识结构
单元内容
1.重点： （1）不等式的基本性质的发现过程及性质本身； （2）用函数观点理解方程、不等式是数学的基本思想方法。 2.难点： （1）类比等式的基本性质，发现不等式的基本性质： （2）用不等式的基本性质证明一些简单命题（包括用分析法证明基本不等式）； （3）用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题； （4）从二次函数观点看一元二次方程、不等式。
教学建议
二、从不同角度阐释不等式，揭示不等式的本质
回顾从一次函数的观点看一元一次方程和一元一次不等式的含义，体会三者的联系中蕴 含的一般规律：函数图像与x轴的交点的横坐标即是相关方程的根，在x轴上方或下方的 点横坐标的取值范围就是相应不等式的解集。 借助这个规律，探究二次函数与一元二次方程、不等式的关系，学生将不难从二次函数 图像的关键点上去寻找解决问题的“突破口”。
二 学科素养解读
学科素养
在课标中“一元二次函数、方程和不等式”属于必修主题一“预备知识”．它们的定位 是为高中数学课程做好知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡．
本章是多种数学素养培养的载体，具体可以用下表表示：
核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
载体 不等关系，基本不等式的应用，一元二次不等式 重要不等式，基本不等式，二次函数与一元二次方程、不等式 实数大小的基本事实，重要不等式，不等式的性质，基本不等式 基本不等式的应用，一元二次不等式的解法及其应用
思想方法
数形结合 分类讨论 函数、模型
在探索发现重要不等式，在用几何方法解释实数的基 本事实、不等式的性质和基本不等式，在研究二次函数 与一元二次方程、不等式的解的情况时，都充分应用了 数与形结合的方法．
第二章一元二次函数方程不等式大单元设计
第二章一元二次函数方程不等式大单元设计一、设计目标和教学目标：1.设计目标：通过本大单元的学习，使学生掌握一元二次函数方程和不等式的基本概念，能够灵活运用一元二次函数方程和不等式解题问题，并培养学生的数学建模能力。
2.教学目标：a.理解一元二次函数的定义和基本特征，能够确定一元二次函数的图形；b.掌握解一元二次方程和不等式的方法，能够利用这些方法解题；c.能够运用一元二次函数建模解决实际问题；d.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容和教学方法：1.教学内容：a.一元二次函数的定义和基本特征；b.一元二次方程的解法；c.一元二次不等式的解法；d.一元二次函数的应用。
2.教学方法：a.探究教学法：通过引导学生观察实例，总结规律，发现问题的解决方法；b.解题演算法：通过教师示范和学生练习，培养学生解题的能力；c.数学建模：引导学生运用所学知识解决实际问题；d.合作学习：通过小组合作和讨论，培养学生合作解题的能力。
三、教学过程：1.导入：通过介绍一元二次函数的定义和基本特征，激发学生的学习兴趣。
2.探究一元二次函数图像：a.带领学生观察实例，总结一元二次函数的图像特征；b.利用在线绘图工具，引导学生绘制一元二次函数的图像；c.练习题：给出一元二次函数的表达式，要求学生绘制函数图像。
3.解一元二次方程：a.通过引导学生观察实例，总结解一元二次方程的方法；b.通过教师示范和学生练习，培养学生解一元二次方程的能力；c.练习题：给出一元二次方程，要求学生求解方程并验证解的正确性。
4.解一元二次不等式：a.通过引导学生观察实例，总结解一元二次不等式的方法；b.通过教师示范和学生练习，培养学生解一元二次不等式的能力；c.练习题：给出一元二次不等式，要求学生求解不等式并绘制解集的图形。
5.一元二次函数的应用：a.通过引导学生观察实例，总结一元二次函数的应用场景；b.引导学生运用一元二次函数建模解决实际问题；c.练习题：给出实际问题，要求学生建立数学模型并求解问题。
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课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）华中师范大学第一附属中学陈开懋一、教学设计1.教学内容解析在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好.本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.3.教学目标设置(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4.教学策略分析本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。
这种课的关键是整合和提升，形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。
这些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。
5 师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式023>-x 的解集是多少啊？生：32>x . 师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？生：把2移到右边去，再不等式左右两边同时除以3.师：你的解题依据是什么呢？生：不等式的性质.师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了，还有其它的解法吗？生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集.师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？生：找两个点.师：找那两个点比较好？生：与坐标轴的交点.师：与x 轴的交点是多少?生：)0,32(. 师：这32是怎么出来的啊？ 生：令0=y . 即023=-x ，这个方程的根.师：很好，与x 轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根. 与y 轴的交点是多少？ 生：令0=x . 得2-=y ，交点)2,0(-. 师：所以这个不等式的解集就是？生：32>x ，即图象在x 轴上方时所对应的x 的范围. 师：很好，请坐，由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？生：一次方程的根就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标（即一次函数的零点）， 一次不等式的解集就是一次函数图象在x 轴上方时所对应的x 的范围， 一次方程的根也是一次不等式解集的端点师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？生：……师：我们从代数表达式来看一看， 一次方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什么共同点？^……，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系.【评析】回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式. 由三个“一次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路.环节二：整合师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系. 我们再来看一下一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 、一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax ，)0(02≠<++a c bx ax .师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图象. （板书课题） 画出二次函数322--=x x y 的图象.观看几何画板动画，随着动点C 横坐标x 的变化，纵坐标y 的变化情况.（1） 当x 取哪些值时，0=y ？ （2）方程0322=--x x 的根为 ； 当x 取哪些值时，0>y ？ 不等式0322>--x x 的解集为 ； 当x 取哪些值时，0<y ？ 不等式0322<--x x 的解集为 . 问题2：一元二次方程0322=--x x ，一元二次不等式0322>--x x 和一元二次函数322--=x x y ，三者之间有什么关系？动画展示：问题3：对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么关系？小组合作探究： 画一画看一看说一说变一变师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题.【评析】以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例，让学生通过类比三个“一次”，理解三个“二次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。
并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教学中，鼓励学生自主探索、合作研究. 师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题：【例1】已知关于x 的不等式02<++c bx x 的解集为)3,1(-，求实数c b ,的值.【评析】逆向变式，强化一元二次函数、方程和不等式的内在联系.生1：依题意，3,1-是对应一元二次方程02=++c bx x 的两根，将1-=x 和3=x 代入方程得，⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+=+-⋅+-0330)1()1(22c b c b ，即⎩⎨⎧=++=++-09301c b c b ， 解得⎩⎨⎧-=-=32c b . 生2：依题意，3,1-是对应一元二次方程02=++c bx x 的两根，由韦达定理有⎩⎨⎧=⨯--=+-c b 3131，解得⎩⎨⎧-=-=32c b . 师：很好，请坐. 根据三个“二次”之间的关系，不等式的解集就是函数图象在x 轴下方时，所对应的x 的取值范围，所以3,1-正好是图象与x 轴交点的横坐标，也就是方程02=++c bx x 的两个根，从而根据韦达定理，可以求出c b ,的值. （画图分析） 环节三：提升辩证唯物主义告诉我们，任何事物都是运动、变化、发展的，当我们将方程和不等式中常系数改为字母时, 随着字母取值的不同，方程的根和不等式的解会发生相应的变化，这类方程和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问题.师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同0 y1x一元二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 图象学们思考这样的一个问题：【例2】已知关于x 的方程0322=+-ax x ，一根小于1，另一根大于1，求实数a 的取值范围.【评析】含参二次方程问题，继续对二次方程和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理方程问题.生1：设32)(2+-=ax x x f ，则0)1(<f ，解之得2>a .师：有不同意见吗？生2：不对，应该还要0>∆.师：诶，生2好像说得很有道理呢？还有其它观点吗？生3：我觉得生1是对的，因为0>∆的作用是控制图象与x 轴有两个交点，而这是开口向上的抛物线，0)1(<f 也能保证与x 轴有两个交点.师，同学们同意哪位同学的说法？生：曾子轩.师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于1，一个大于1，根据函数与方程的关系，方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标，我们可以通过控制二次函数的图象来控制方程的根，也就是要保证函数图象与x 轴的交点，一个在1的左侧，一个在1的右侧. 只需要0)1(<f ，就可以控制住这个二次函数的图象了，当然如果把0>∆加进去，可不可以？也是可以的. 我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？法1：202-4)1(>⇒<=a a f法2：2330124202-4)1(2>⇒⎩⎨⎧>-<⇒>-=∆>⇒<=a a a a a a f 或. 师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理. 师：我们再把前面那个具体的不等式也变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：【例3】若不等式0322>+-ax x 对任意]3,1[-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【评析】含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理不等式问题.组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分析.学生分析：只需二次函数32)(2+-=ax x x f ，在]3,1[-∈x 这一段的图象位于x 轴上方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右边.师：非常不错啊，刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题，只需要函数图象在]3,1[-∈x 这一段的图象位于x 轴上方即可. 如何保证图象在x 轴上方呢？我们边看动画一起来分析.动画展示：随着a 的取值变化，函数图象与x 轴的位置关系. 师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在x 轴上方？生：只需要0)1(>-f ，师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在]3,1[-∈x 这一段的图象是上升的，即y 随着x 的增大而增大，只需要最小值0)1(>-f 即可.师：当对称轴在区间的里面时，怎么样就能保证图象在x 轴上方？生：0<∆.师：还可以通过什么来控制？生：0)(>a f .师：就是函数的最小值大于零即可.师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在x 轴上方？ 生：只需要0)3(>f ，师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在]3,1[-∈x 这一段的图象是下降的，即y 随着x 的增大而减小，只需要最小值0)3(>f 即可.下面同学们把具体的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程：生：记32)(2+-=ax x x f ，这个函数的对称轴为a x =，则当1-<a 时，只需要024)1(>+=-a f ，解得2->a , 又1-≤a ，所以12-≤<-a ；当31<<-a 时，只需要01242<-=∆a ，解得33<<-a ，又31<<-a ， 所以31<<-a ；当3>a 时，只需要0612)3(>-=a f ，解得2<a ,与3≥a 矛盾.综上：32<<-a .师：找个同学来点评一下.生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论1-=a 和3=a 的情况.师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较好.生：加在中间.师：很好，对于含参问题，我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类讨论还应做到不重不漏..师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将它转化为一个函数问题来处理.环节四：展望师：同学们，今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾，大家想不想见一下？生：想.师：掌声有请.嘉宾：学弟，学妹们好，首先自我介绍一下，我是现在高三（15）班的刘今欣同学，很高兴走进学弟学妹们的课堂，和大家一起交流、学习.嘉宾：大家都知道一元二次函数是中考的压轴题，那么，我们今天学习的二次函数、二次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢？课前，陈老师给我布置了一个任务，让我归纳整理一下. 二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应用. 其实三个“二次”及其相关问题的处理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块：如数列、三角函数、立体几何、解析几何、导数等.下面重点以三个“二次”在解析几何中的应用为例，让同学们对三个“二次”在以后学习中的地位和作用有所了解.【案例1】直线1:+=kx y l 与双曲线1222=-y x C ：的右支交于不同的两点B A 、，求实数k 的取值范围.解：联立方程22121y kx x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到x 的一元二次方程.022)2(22=++-kx x k ……①直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，等价于方程①有两个不相等的正实数根. 即对应二次函数图象与x 轴有两个交点，且交点在y 轴右侧. 我们可以通过以下几个条件控制二次函数的图象.2222220,(2)8(2)0,20220.2k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩ 解得k 的取值范围是22k -<<【案例2】（2016年江苏高考第19题）试题和答案如下：已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．⑴ 设2a =，12b =① 求方程()2f x =的根； ② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 略．解：⑴ ① ()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=， 则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =； ② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立， 令122x x t =+，则由20x >可得1222x x t ⨯=≥，原问题等价于不等式2+4t mt -≥0，对任意的t 在),2[+∞上恒成立，记2()+4f t t mt =-，当对称轴02≤m ，即0≤m 时，显然成立； 当对称轴220≤<m ，即40≤<m 时，只需(2)820f m =-≥，即40≤<m ； 当对称轴22>m ，即4>m 时，只需216044m m ∆=-≤⇒-≤≤，与4>m 矛盾； 综上，40≤<m ，所以实数m 的最大值为4． 【案例3】（2016年全国Ⅱ卷文科高考第11题）试题和答案如下：函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 解：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5， 以上是最终可以转化为二次函数、二次方程和二次不等式的题目，其实还有更多的考题是考其他类型的方程、不等式问题，也可以用函数的观点，数形结合的思想来处理，如 【案例4】（2016年山东卷文理高考第15题，填空压轴）试题和答案如下：已知函数=)(x f 2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中0>m ．若存在实数b ，使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根，则m 的取值范围是_______．解：画出函数图像如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >时间关系，我暂时只讲这么多，欢迎同学们以后常来找我交流，预祝学弟学妹们早日适应华师一的学习. 也预祝大家在这个顶尖中学度过愉快而又成功的三年高中生活！【评析】结课：从高中数学的核心问题中回望基础，让学生加深对三个“二次”作用的理解，并试图产生对进一步学习的期待.师：很好，谢谢这位学长. 高中数学中的许多问题，都与三个“二次”直接有关或间接有关. 二次函数、二次方程和二次不等式的研究方法为研究其它函数、方程和不等式提供了套路. 以后，对于其它类型的方程和不等式问题，我们仍然可以用函数的观点来处理.师：这里其实还蕴含着一种重要的数学思想方法，同学们说说，是什么？生：数形结合，师：著名数学家华罗庚专为数形结合思想写了一首诗，我们一起来朗诵一下.二、教学反思 本课力图尝试在解决问题的过程中，让学生经过自主探究、合作学习和教师动态演示，完成知识的回顾、整合、提升、展望．通过教学实践，认识到多一点精心预设，就 数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，能融一份动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，注意到由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”．可取之处：教学设计打破常规，不走寻常路，利用问题驱动完成本节课的教学目标，突出了以生为本，探索了衔接课的一种新模式．改进之处：本课在基本运算，用直观支持运算，以及通过展示未来课题让学生感悟运算价值等，都做了力所能及的工作. 但如何真正驱动学生在运算方面自觉探索、自觉积累、自觉训练，如何提高学生的运算素养，还有待于教学的创新.。