图论和网络流优化概念
图论和网络流优化概念
华南理工大学数学学院 刘深泉教授
2021/4/6
1
Konigsberg 七桥问题
• 1736年Euler访问Konigsberg时，发现当地市民 正从事一项非常有趣的消遣活动。城中有一条名 叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥, 问题是能否作一次散步,走过所有七座桥的，每 座桥只能经过一次,且起点与终点是同一地点。
2021/4/6
8
Hamilton图
• 包含G每个顶点的轨叫做Hamilton轨；
• 闭的Hamilton轨叫Hamilton圈；
• 含Hamilton圈的图叫做Hamilton图。
• 直观地讲，Hamilton图就是从一顶点 出发每顶点恰通过一次能回到出发点 的那种图，即不重复地行遍所有的顶 点再回到出发点。
就是否存在欧拉回路的问题 • (2)若不要求回到出发点，能否在一次散步中，穿过所有的桥各
一次？- 就是否存在欧拉路径的问题 • A和B是通偶数座桥的地方，C和D是通奇数座桥的地方，满足欧
拉给出的判定规则（2），即如果只有两个地方通奇数座桥， 可以从这两个地方之一出发，找到欧拉路径；但不满足规则 （3），即不存在欧拉回路。
2021/4/6
12
指派问题
Assignment problem
• Typically, we have a group of n "applicants" applying for n "jobs," and the non-negative cost Cij of assigning the ith applicant to jth job is known. The objective is to assign one job to each applicant in such a way as to achieve the minimum possible total cost. Define binary variables Xij with value of either 0 or 1. When Xij = 1, it indicates that we should assign applicant i to job j. Otherwise (Xij = 0), we should not assign applicant i to job j.
图论在网络优化中的关键作用
图论在网络优化中的关键作用图论作为数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
在现代社会中，图论被广泛应用于各个领域，尤其在网络优化中发挥着关键作用。
网络优化是指在网络中寻找最优解的过程，通过图论的方法可以对网络结构进行建模，并通过算法求解最优解。
本文将探讨图论在网络优化中的关键作用，以及其在实际应用中的重要性。
一、网络结构建模在网络优化中，首先需要对网络结构进行建模，以便进行后续的优化操作。
图论提供了一种直观且有效的方法来描述网络结构，将网络中的节点和边抽象为图中的顶点和边。
通过图的表示方法，可以清晰地展现网络中各个节点之间的连接关系，为后续的优化算法提供了基础。
在图论中，常用的网络模型包括有向图、无向图、加权图等。
有向图适用于描述网络中节点之间的单向连接关系，无向图则适用于描述节点之间的双向连接关系。
而加权图则可以描述网络中各个连接的权重，这在网络优化中尤为重要。
通过对网络结构进行合理的建模，可以更好地理解网络中的关系，为后续的优化提供依据。
二、最短路径算法在网络优化中，最短路径算法是一种常用的优化方法，用于寻找网络中两个节点之间的最短路径。
最短路径算法可以帮助我们在网络中快速找到最优的通信路径，从而提高网络的传输效率。
在图论中，最短路径算法有多种实现方式，如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
以Dijkstra算法为例，它是一种用于计算图中单源最短路径的算法。
通过Dijkstra算法，我们可以找到网络中某一节点到其他所有节点的最短路径，从而优化网络中的通信路由。
这种基于图论的最短路径算法在网络优化中发挥着至关重要的作用，帮助我们快速找到最优解决方案。
三、最小生成树算法除了最短路径算法外，最小生成树算法也是图论在网络优化中的重要应用之一。
最小生成树是指在一个连通加权图中生成一棵包含图中所有节点的树，并且边的权值之和最小。
最小生成树算法可以帮助我们优化网络中的拓扑结构，减少网络中的冗余连接，提高网络的稳定性和效率。
图论在网络优化中的应用
图论在网络优化中的应用一、概述图论是数学中的一个研究领域，主要研究的对象是图。
图是由顶点和边组成的，常用来描述事物之间的关系。
在网络优化中，图论可以帮助我们分析网络结构、优化网络流量以及解决其他相关问题。
二、最短路径算法在网络中，我们经常需要找到两个节点之间最短的路径。
这时，最短路径算法可以派上用场。
最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法等，它们都是基于图论的算法。
通过这些算法，我们可以高效地找到网络中节点之间的最短路径，从而优化网络通信效率。
三、最大流问题在网络中，我们需要考虑流量的问题。
最大流问题是指在网络中的一个节点到另一个节点之间的最大流量。
图论中的最大流算法可以帮助我们解决这个问题。
通过寻找网络中的最大流，我们可以优化网络资源的利用，提高网络的吞吐量。
四、最小生成树最小生成树是一个连通图中生成树的总权值最小的生成树。
在网络优化中，最小生成树可以用于构建最优的网络拓扑结构。
通过图论中相关的算法，我们可以找到网络中的最小生成树，并且实现对网络的优化。
五、网络分析除了上述提到的算法之外，图论在网络优化中还有许多其他的应用。
例如，通过网络分析，我们可以了解网络结构的特点，找到网络中的关键节点，优化网络连接方式等。
这些都可以帮助我们改进网络的性能和效率。
六、总结综上所述，图论在网络优化中具有重要的应用价值。
通过图论算法，我们可以解决网络中的各种问题，优化网络的性能，提高网络的效率。
图论的应用不仅局限于网络领域，还可以在其他领域发挥重要作用。
希望未来可以进一步深入研究图论的应用，为网络优化和其他相关领域的发展做出更大的贡献。
图论与网络优化方法的研究与应用
图论与网络优化方法的研究与应用在当今信息时代，网络已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
从社交媒体到电子商务，从金融交易到物流配送，网络的应用无处不在。
而图论与网络优化方法的研究与应用，正是为了更好地探索和优化网络的运行和效率。
图论作为一门数学分支，研究图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点代表网络中的元素，边代表节点之间的连接关系。
图论的研究内容包括图的连通性、路径问题、最短路径、最小生成树等。
这些研究成果为网络优化提供了理论基础。
网络优化方法则是基于图论的研究成果，通过优化算法和数学模型，对网络进行改进和优化。
其中最著名的网络优化方法之一是最小生成树算法。
最小生成树算法的目标是找到一个连通图的最小生成树，即通过选择最少的边连接所有节点。
这个算法在电力网络、交通网络等领域有着广泛的应用。
另一个重要的网络优化方法是最短路径算法。
最短路径算法用于寻找两个节点之间的最短路径。
在路网规划、物流配送等领域，最短路径算法可以帮助我们找到最经济、最高效的路径。
著名的迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法就是最短路径算法的代表。
除了最小生成树算法和最短路径算法，网络优化方法还包括网络流问题、网络设计问题等。
网络流问题研究的是在网络中如何最大化或最小化流量的分配。
这个问题在通信网络、供应链管理等领域有着广泛的应用。
而网络设计问题则是研究如何在给定的网络结构中，选择合适的节点和边来实现特定的功能。
这个问题在网络规划和拓扑优化中起着重要作用。
图论与网络优化方法的研究不仅仅停留在理论层面，它们也得到了广泛的应用。
在社交网络中，图论和网络优化方法可以帮助我们分析人际关系、社群结构等。
在电力网络中，这些方法可以帮助我们优化电力传输和配送，提高能源利用效率。
在物流配送中，这些方法可以帮助我们规划最佳路线、最优配送方案，提高物流效率。
在金融交易中，这些方法可以帮助我们优化交易路径和风险控制，提高交易效率和安全性。
总之，图论与网络优化方法的研究与应用在现代社会中起着重要的作用。
图论和网络优化
v4
2
4 5
v7
3
v6
2
v5
最小树，权为13
17
v3
v1 v2 v3
v1 v2
v5
v3
v3
v3
v5
v6v1 v4
v5 v6
v4
v1
v1
v2
v2
v3
v1 v2
v5 v6
(2)破圈法：
① 在图中寻找一种圈。
若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树；
② 去掉该圈中权数最 大旳边； ③ 反复反复 ① ② 两
权数，记为：
w Tk w e e Ek
若 T T ，使
w T min Tk T
w Tk
则称 T * 为图G旳一棵最小支撑树。
14
b4
2 a
2
4
3
f5
c 5
2d 6
e
最小 树
例如，城市间交 通线旳建造等，能够 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知旳几种城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用至少，此类问 题旳处理都能够归结为最小树问题。
24
如下图所示旳单行线交通网，每个弧旁边旳
数字表达这条单行线旳长度。目前有一种人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要谋求总旅程最短
旳线路。
v2
6
v4
3
v1
14
5
1 v3
3
2
v6
6
v5
25
v2
6
v4
3
3
v1
14
5
2 6
v6
1
v3
从v1到v6旳路线是诸多旳。例如:
图论中的网络流算法优化
图论中的网络流算法优化在图论中，网络流算法是解决流网络问题的重要方法之一。
网络流算法可以用来解决一系列实际应用问题，例如最大流问题、最小割问题等等。
然而，对于大规模的网络流问题，传统的算法可能会面临效率低下的问题。
因此，优化网络流算法成为了一个热门的研究领域。
本文将介绍图论中的网络流算法优化方法，包括分层图算法、动态网络流算法和并行化算法。
1. 分层图算法分层图算法是一种基于网络分层结构的优化方法。
传统的网络流算法在每一次迭代中都需要对整个网络进行搜索，耗费大量的时间。
而分层图算法通过将网络按层次划分，将问题的规模缩小到了可控的范围。
这样一来，每一次迭代中只需要在每层之间进行搜索，大大提高了算法的效率。
2. 动态网络流算法动态网络流算法是一种针对动态网络的优化方法。
传统的网络流算法通常是在静态网络上进行操作，即网络固定不变。
然而，在实际应用中，网络常常会发生变化，例如节点的增加、删除等等。
传统算法无法处理这种动态变化，而动态网络流算法则可以自适应地调整网络结构，快速地求解网络流问题。
动态网络流算法通过维护流图的剪枝树和重映射操作，可以在动态网络上高效地进行计算。
3. 并行化算法并行化算法是一种利用计算机多核心并行计算的优化方法。
传统的网络流算法在解决大规模问题时，可能需要消耗大量的计算资源和时间。
而并行化算法可以将问题分解成多个子问题，并行地进行求解，极大地提高了计算速度。
并行化算法在网络流算法中得到了广泛的应用，例如使用并行的Ford-Fulkerson算法和Push-Relabel算法等等。
总结：图论中的网络流算法优化是解决流网络问题的重要方法。
分层图算法通过划分网络分层结构，减小了问题规模；动态网络流算法可以应对网络动态变化，快速求解网络流问题；并行化算法利用多核心并行计算，提高了算法效率。
这些优化方法在实际应用中发挥了重要作用，为解决大规模网络流问题提供了有效的解决方案。
图论算法在计算机网络优化中的应用分析
图论算法在计算机网络优化中的应用分析随着计算机技术的发展和互联网的普及，计算机网络已经成为人们日常生活和工作中不可或缺的一部分。
计算机网络的优化对于提高网络性能、降低延迟以及提升用户体验至关重要。
在计算机网络的优化过程中，图论算法发挥着重要的作用。
本文将对图论算法在计算机网络优化中的应用进行分析。
图论是一门研究图和网络的分支学科，图论算法主要研究的是图的建模、处理和优化。
在计算机网络中，网络拓扑结构可以被看作是一个图形，图论算法可以应用于网络拓扑的优化。
首先，图论算法在网络路由优化中发挥着重要的作用。
网络路由是指将数据包从源节点发送到目标节点的路径选择问题。
通过使用图论中的最短路径算法，比如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，可以寻找网络中最短路径的拓扑结构，从而减少网络传输的时间和消耗。
此外，还可以使用最小生成树算法，如Prim算法和Kruskal算法，通过选择连接最小成本的边来优化网络路由。
其次，在网络流量优化中，图论算法也发挥着重要的作用。
网络流量优化是指在网络中合理分配带宽和资源，使得网络能够更高效地传输数据。
最大流最小割算法是一类常用的图论算法，可以用于解决网络流量优化问题。
通过建立起网络拓扑的图形模型，并通过计算最大流和最小割，可以找到最优的网络流量分配方案。
这种方法在有限带宽的情况下，可以使得网络资源被充分利用，并避免网络拥塞的发生。
此外，在网络拓扑规划中，图论算法也有着广泛的应用。
网络拓扑规划是指在网络中选择合适的节点和连接方式，以最大程度地提高网络的性能和可靠性。
通过使用图论中的最小生成树算法，比如Kruskal算法和Prim算法，可以选择最佳的网络节点和连接路径，使得网络的带宽和可靠性得到优化。
另外，图论算法在网络攻击检测和防御中也有重要的应用。
在网络中，恶意攻击者可能会利用网络的漏洞进行攻击，导致网络服务的中断和数据的泄漏。
在网络安全的优化中，图论算法可以通过建立起网络拓扑结构的图形模型，来检测和防御网络攻击。
运筹学-第7章-图与网络优化
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
利用图论解决优化问题
利用图论解决优化问题
图论是一种数学领域，研究的对象是图。
图是由节点和边构成的一种数学结构，可以用来描述不同事物之间的关系。
在实际应用中，图论被广泛应用于解决各种优化问题。
一、最短路径问题
最短路径问题是图论中的经典问题之一。
通过图论的方法，可以很容易地找到两个节点之间最短路径的长度。
这在现实生活中经常用于规划交通路线、通讯网络等方面。
二、最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个连通加权图中找到一个权值最小的生成树。
利用图论的方法，可以高效解决这个问题，从而在一些应用中节省资源和成本。
三、网络流问题
网络流问题是指在网络中找到从源点到汇点的最大流量。
通过图论中流网络的模型，可以有效地解决网络流问题，这在交通调度、物流运输等领域有着重要的应用。
四、最大匹配问题
最大匹配问题是指在一个二分图中找到最大的匹配数。
图论提供了有效的算法来解决最大匹配问题，这在稳定婚姻问题、任务分配等方面有着广泛应用。
五、旅行商问题
旅行商问题是一个著名的优化问题，即求解访问所有节点一次并回到起点的最短路径。
通过图论的技术，可以找到最优解，帮助旅行商节省时间和成本。
总的来说，图论在解决优化问题方面有着重要的作用。
通过构建合适的图模型，并应用相关算法，可以高效地解决各种优化问题，为现实生活中的决策提供科学依据。
希望未来能有更多的研究和应用将图论与优化问题相结合，为人类社会的发展贡献力量。
运筹学第7章图与网络优化
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
图论与网络优化问题
图论与网络优化问题简介数学建模题目类型： B. 运筹学（公交车调度、灾情巡回路线、矿山车辆安排）一、 图的基本概念:1. 通过 Euler 七桥问题介绍2. 赋权图（网络）：二、 图论中的传统优化问题1. 最小生成树问题：应用背景：交通网的设计算法： Greedy Algorithm (贪婪算法)破圈法(Rosenstiehl 1967):i) ;)0(G G ←0←k .ii) 若)(k G 不含圈，则它就是G 的最小支撑树；若)(k G 中含圈，设C 为)(k G 中任意一个圈，取C 上最大权的边)(k e ，令)()()1(k k k e G G -=+iii) ,1+←k k 重复ii).避圈法(Rosenstiehl 1967):i) );()0(φ，V G ←0←k .ii) 若)(k G 是连通，则它就是G 的最小支撑树；若)(k G 不连通，设)(2)(1,k k G G 为)(k G 中的两个分图，在连结这两分图的边中取权最小的边)(k e ，令)()()1(k k k e G G +=+iii) ,1+←k k 重复ii).例2. 最大匹配问题实 例: 边赋权图),(E V G =可行解: G 中的边独立集M目 标：极小化M 上所有边的权和.算 法： Edmonds 19653. 中国邮路问题：管梅谷 1960一个邮递员送信时，要走遍他所负责的每条街道，完成送信任务后回到邮局. 他应按什么样的路线走，使走的总里程最短?实 例: 边赋权图),(E V G =可行解: 通过G 中所有边的圈C （未必是简单的）目 标：极小化圈C 上所有边的权和.算 法： Edmonds, Johnson 1973i) 设G 的奇点为k v v v 221,,, , 构造k 2阶完全图H ,=)(H V },,,{221k v v v , 边j i v v 上的权为G 中连结i v 与j v 的最短路的权.ii) 在H 中求权和最小的完美对集M .iii) 对k j ,,2,1 =, 设j P _是G 中连结M e j∈的两个端点的最短路. 令kj j P E E 1)(*==, 则过*E E ⋃的Euler 圈即为中国邮路问题的解.4. 货郎问题：一个推销员要到若干个城市推销货物，然后回到出发点. 他应按如何选择旅行路线，使每个城市通过一次且仅一次，并且总的里程最短?实 例: 边赋权图),(E V G =可行解: 通过G 中所有边的圈C （未必是简单的）目 标：极小化圈C 上所有边的权和.近似算法：两边交换算法、三边交换算法、 (欧氏距离下) 1.5 近似算法i) Find a MST of G . Say T .ii) Find a minimum cost perfect matching,M ,on the set of odd-degree vertices of T . AddM to T and obtain an Eulerian graph .iii) Output the tour that visit the vertices of G inthe order of their first appearance in T .例：1234561123453261→三、通讯网络中的优化问题1.经典最小Steiner树问题: 给定平面上若干个点，如何将它们连接起来使得连线长度最短？解的结构：该问题的解一定有树的结构(Steiner树)，而且可能会引入一些新的点( Steiner 点)定理（M. R. Garey et al, 1979）最小Steiner树问题是NP-难解的.定理（J. B. Kruskal, 1956; R. C. Prim, 1967）最小生成树问题是可以用贪婪算法在多项式时间内求解的.定理（D.-Z. Du et al, 1979）最小生成树与最小Steiner树权重之比不超过2。
图论中网络流算法及优化
图论中网络流算法及优化图论中的网络流算法及优化一、引言网络流算法是图论中的重要分支，它被广泛应用于解决各种实际问题，如交通流、电力传输等。
本文将介绍网络流算法的基本概念和常用的优化方法。
二、网络流算法1. 最大流问题最大流问题是网络流算法中最基本的问题之一。
其目标是在给定网络中找到从源点到汇点的最大流量。
常用的解决方法包括：（1）Ford-Fulkerson算法：该算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
（2）Edmonds-Karp算法：在Ford-Fulkerson算法的基础上，引入了BFS搜索策略来寻找增广路径，提高了算法的效率。
2. 最小割问题最小割问题与最大流问题密切相关。
最小割是指将网络划分为两个部分，并且使得网络中横跨这两个部分的边的权重之和最小。
常用的解决方法包括：（1）Ford-Fulkerson算法：该算法在求解最大流问题的同时可以得到最小割的结果。
（2）Dinic算法：通过构造分层图和阻塞流的概念，提高了算法的效率。
三、网络流算法的优化网络流算法在实际应用中可能面临大规模问题的挑战，因此需要采用一些优化方法来提高算法的效率和准确性。
1. 改进的数据结构使用合适的数据结构可以减少算法的时间和空间复杂度。
例如，使用邻接矩阵或邻接表来存储图的信息，选择合适的数据结构来表示流量、残余网络等。
2. 快速增广快速增广是一种对增广路径进行选择的策略，可以减少算法的时间复杂度。
常见的快速增广方法包括Dinic算法和HLPP算法。
3. 预流推进预流推进是一种改进的增广策略，它通过将多余的流量分配到其他边上，减少了增广路径的数量。
常用的预流推进算法包括Push-Relabel 算法和Preflow-Push算法。
4. 分阶段算法对于大规模的网络流问题，可以采用分阶段算法来解决。
分阶段算法将整个问题划分为多个子问题，并结合贪心、动态规划等方法进行求解。
四、总结网络流算法在图论中扮演着重要的角色，可以解决许多实际问题。
高考数学应试技巧之图论与网络优化
高考数学应试技巧之图论与网络优化高考数学是中学生进入大学的重要关卡，其中数学是一个必考科目，而数学中的图论和网络优化是一个比较重要的分支。
图论和网络优化是数学中的一个难点，但是如果我们能够合理利用图论和网络优化的知识，就可以在高考数学中占有绝对优势。
本文将为大家详细介绍高考数学应试技巧之图论和网络优化。
1. 图论图论是研究图及其性质和应用的一门学科。
图由点和边组成，每个点代表一个物体，每个边代表一个物体之间的关系，比如：连通性、距离、强度等等。
图的基本元素是点和边，许多数学问题都可以用图来表示和解决。
我们可以用图的染色、联通性、欧拉回路、哈密顿回路、平面图等知识来进行高考数学的解题。
1.1 染色问题染色问题是图论中的一个重要问题，其本质是将一张图的顶点分配给不同的颜色，使得相邻两个顶点的颜色不同。
如果用a、b、c、d四种颜色来染色，那么染色的方法有多少种呢？我们可以采用数学归纳法来进行求解。
首先，当图只有一个顶点时，它只有一种染色方法。
然后，当图有两个顶点时，它们有四种染色方法。
当图有三个顶点时，它们有12种染色方法。
当图有四个顶点时，它们有24种染色方法。
当图有n个顶点时，它们有n!种染色方法。
1.2 平面图问题平面图是指在平面上被画出的图形，每个边都不相交。
平面图的任何一个区域都被称为一个面，且每个面都由边界组成。
在高考数学中，我们可以利用平面图的知识来求解二维平面图的欧拉公式。
欧拉公式：一个凸多面体的面数F，顶点数V和边数E之间，有一个关系式E+2=F+V，V-E+F=2。
1.3 欧拉回路和哈密顿回路问题对于一张图来说，欧拉回路是指从一个顶点开始，经过所有的边恰好一次后回到起点的回路，而哈密顿回路是指经过一张图上所有顶点恰好一次的回路。
欧拉回路和哈密顿回路是图论中的重要问题，其可应用于公路、楼房物资搬运、旅游指南等具体问题中的寻求最优路径的问题。
2. 网络优化长期以来，网络优化是一项热门的数学领域，其应用范围涵盖了电信、交通、物流、金融等多个领域。
运筹学第十章 图论与网络优化
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得 边与边仅在顶点相交。下图就是一个平面图：
v1
e2
v3
非平面图
e3
e1
v2
e4 e5
e6
v4
环、多重边
端点重合为一点的边称为环。 连接同一对顶点的多条边称为多重边。
v1
e1
e3
e2
v2
e4
v3
e5
简单图
一个图称为简单图,如果它既没有环也没有多重边.
含有多重边的图称为多重图.
我们只讨论有限简单图，
v1
e2
v2
即顶点集与边集都是有限的图。
只有一个顶点的图称为平凡图； e5
e7
e3
边集是空集的图称为空图。
v4
e4
v3
完全图K n
完全图是每一对不同顶点都恰有一边的简单图； 具有 n 个顶点的完全图记为K n.
|
E(Kn )
|
Cn2
n
2
n(n 1) 2
连通性
图G称为连通的，如果G的任意两个顶点u 和 v 中存在一条(u,v)路。
一个连通图称为一个连通分支。 不连通图（分离图）至少有两个连通分支。
用w 表示G的连通分支数。 割边：删除掉这条边后图G不连通。 割点：删除掉这个点后图G不连通。 割集：删除掉连通图中的若干条必要的边后，使 得图不连通，则这些边的集合称为图的一个割集.
图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支， 主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。
随着电子计算机的蓬勃发展，图论不仅得到了迅速 发展，而且应用非常广泛。它直观清晰，使用方便， 易于掌握。
数学与应用数学中的图论与网络优化研究
数学与应用数学中的图论与网络优化研究图论与网络优化是数学与应用数学领域中的重要研究方向。
它们在现代社会中广泛应用于计算机科学、通信网络、运输规划、社交网络等诸多领域。
本文将从图论和网络优化的基础概念、重要原理和应用实例三个方面来探讨数学与应用数学中的图论与网络优化研究。
首先，我们来了解一下图论的基础概念。
图论是研究图的性质和图中各种关联关系的数学分支。
图由若干个节点和它们之间的边组成。
节点表示图中的对象，而边表示节点之间的关联关系。
图分为有向图和无向图两种类型。
有向图的边有方向，而无向图的边没有方向。
图还可以分为连通图和非连通图。
连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径的图，非连通图则相反。
图中最短路径和最小生成树是图论中的重要问题，对于网络优化具有重要意义。
接下来，我们将讨论图论在网络优化中的重要原理。
网络优化是一种将图论应用于实际问题的方法。
它通过对图的节点和边进行优化，以最大化或最小化某种指标。
常见的网络优化问题有最小生成树、最短路径、最大流和最小割等。
最小生成树问题是寻找连通图的一颗子图，它包含图中所有节点，并使得图中边的权值之和最小。
最短路径问题是在两个节点之间找到一条路径，使得经过的边的权值之和最小。
最大流和最小割问题是在有向图中找到一条从源节点到汇节点的路径，使得路径上的边的总流量达到最大或最小。
最后，我们将探讨图论与网络优化在实际应用中的研究。
图论和网络优化的研究成果在现代社会中广泛应用。
在计算机科学中，图论被广泛应用于图数据库、图搜索算法和社交网络分析等领域。
例如，Facebook的好友关系可以被建模为一个图，通过图论的方法可以计算出社交网络中的最短路径和最短推荐链。
在通信网络中，图论和网络优化被应用于路径规划、流量调度和网络拓扑设计等方面。
在运输规划中，图论被用于解决最优路径问题和优化交通流量分配等。
此外，图论和网络优化还在电力系统、物流管理和金融市场等领域有着重要应用。
综上所述，图论与网络优化是数学与应用数学中的重要研究方向。
基于图论的网络流量优化模型构建与应用
基于图论的网络流量优化模型构建与应用网络流量优化是指通过合理的调度和管理网络资源，最大程度地提高网络的使用效率和性能。
而图论是研究图与相关概念及其在实际问题中的应用的数学分支之一。
本文将探讨基于图论的网络流量优化模型的构建与应用，分为以下几个方面进行讨论。
一、网络流量优化模型的构建网络流量优化模型的构建是指通过建立数学模型来描述和分析网络流量的传输过程，并针对特定的问题进行优化。
在基于图论的网络流量优化模型中，常用的模型包括最小费用流模型、最大流最小割模型和多组流模型等。
下面将对这些模型进行介绍：1. 最小费用流模型最小费用流模型是在网络中找到一种最小费用的流量分配方案。
其基本思想是将网络看作一个有向图，每个节点表示一种资源或需求，边表示资源的流动路径，边上的容量表示资源的可用数量，边上的费用表示资源的成本。
通过建立目标函数和约束条件来描述问题，通过线性规划方法求解最优解。
2. 最大流最小割模型最大流最小割模型是在网络中找到一种最大流量的分配方案。
其基本思想是将网络看作一个有向图，每个节点表示一个网络节点，边表示网络连接，边上的容量表示连接的带宽限制。
通过建立目标函数和约束条件来描述问题，通过网络流算法（如Ford-Fulkerson算法）求解最优解。
3. 多组流模型多组流模型是在网络中找到多组流量分配方案，使得每组流量都满足一定的优化目标。
其基本思想是将网络看作一个有向图，每个节点表示一种资源或需求，边表示资源的流动路径，边上的容量表示资源的可用数量。
通过建立目标函数和约束条件来描述问题，通过线性规划方法求解最优解。
以上是网络流量优化模型的构建中常用的模型，在实际应用中，根据具体的问题和需求选择合适的模型进行建模。
二、网络流量优化模型的应用基于图论的网络流量优化模型可以应用于众多领域，如网络路由优化、车辆调度优化、电力系统优化等。
下面将以网络路由优化为例，介绍模型的应用过程和效果分析。
网络路由优化是指通过优化网络中各个节点之间的通信路径以及数据包的传输方式，提高网络的传输效率和减少传输延迟。
基于图论的网络流优化算法设计
基于图论的网络流优化算法设计随着网络技术的不断发展和应用的扩大，人们对网络的要求也越来越高。
而网络流优化算法作为一种重要的优化方法，在网络设计、通信网络、物流规划等领域发挥着关键作用。
本文将介绍基于图论的网络流优化算法设计。
一、网络流优化算法的基本概念网络流优化算法是指通过对网络结构和网络节点之间的联系进行优化，使得网络中的流量能够在给定限制下实现最优分配的一种算法。
在网络流优化算法中，最重要的概念是流量和容量。
流量：指网络中通过节点或边的流量大小，用于描述网络中的数据传输情况。
容量：指网络中每个节点或边所能承载的最大流量大小。
二、网络流优化算法的基本原理网络流优化算法的基本原理是通过建立网络图模型，将网络中的节点和边表示为图中的节点和边，并定义节点间的关系和边的容量。
然后，通过遍历网络图中的路径，利用路径上各边的容量和流量信息，不断调整流量大小，直至实现最优分配。
三、网络流优化算法的应用1. 路由优化在传统的网络中，数据包的传输需要经过多个路由器，路由优化的目的就是通过调整路由器之间的流量分配，使得网络中的数据包的传输时间最短。
网络流优化算法可以用来实现路由优化，通过计算网络中各条路径的容量和流量，动态调整数据包的传输路径，使得网络的整体性能得到提升。
2. 通信网络优化通信网络是信息传输的重要载体，网络流优化算法可以用来优化通信网络中的传输效率和带宽利用率。
通过建立网络图模型，对网络中的节点和边进行建模，可以分析网络中的数据传输情况，提高通信网络的整体性能。
3. 物流规划优化物流规划是指对物流运输中的路线、分配和配送进行规划和优化。
网络流优化算法可以在物流规划中发挥重要作用，通过建立物流网络图，分析物流中的节点和路径，计算各路径上的流量和容量，优化货物的配送路径和运输效率，降低物流成本。
四、网络流优化算法的设计思路1. 确定网络拓扑结构：根据具体问题，确定网络中各节点和边的关系。
2. 建立网络图模型：将网络中的节点和边表示为图中的节点和边，并定义节点间的关系和边的容量。
离散优化中的图论与网络流
离散优化中的图论与网络流离散优化是一种数学分支，旨在通过优化算法和方法找到最优解或者次优解。
在离散优化中，图论和网络流是两个重要的工具和技术。
图论是研究图和图中的节点、边以及它们之间的关系的数学理论。
网络流是研究在网络中物体、信息或者资金等的流动过程的数学理论。
一、图论在离散优化中的应用图论在离散优化中扮演着重要的角色，它可以用来建模和解决很多实际问题。
下面我们将介绍几个图论在离散优化中的应用。
1.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，在离散优化中有着广泛的应用。
最短路径算法可以用来解决路网规划、导航系统和物流路径等实际问题。
常用的最短路径算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1.2 最小生成树问题在一些具体场景中，我们需要在连通的无向图中找到一棵子图，使得该子图包含了所有的节点，并且边的权重之和最小。
这个问题被称为最小生成树问题。
最小生成树算法的应用包括电力传输、通信网络的设计和城市规划等。
1.3 最大流最小割问题最大流最小割是图论中一个重要的问题，它被广泛应用于网络设计、网络通信和运输规划等领域。
该问题可以用来找到从源节点到汇节点的最大流量，并且在满足容量限制的情况下，求取最小割。
常用的解决算法有Edmonds-Karp算法和Ford-Fulkerson算法。
二、网络流在离散优化中的应用网络流理论是研究用来描述物体、信息或者资金等在网络中流动的数学理论。
它在离散优化中有着重要的应用。
下面我们将介绍几个网络流在离散优化中的应用。
2.1 最小费用流问题最小费用流问题是求解给定网络中从源节点到汇节点的最小费用流量的问题。
在实际中，最小费用流被广泛应用于通信网络的设计、交通规划和生产调度等领域。
常用的解决算法包括成功标号算法和Zkw算法。
2.2 多源最短路径问题多源最短路径问题是求解图中所有节点对之间的最短路径的问题。
在一些具体的应用场景中，我们需要找到从一组源节点到所有其他节点的最短路径。
图论中的网络流算法及优化
图论中的网络流算法及优化网络流算法是图论中的一类重要算法，常用于解决一些实际生活中的问题，比如最大流、最小割问题等。
本文将介绍图论中的网络流算法以及一些优化方法。
1. 网络流算法介绍网络流算法主要用于解决流动问题，其中最常见的问题是最大流问题。
最大流问题可以形象地理解为水从源点流向汇点的过程，我们需要找到一种最优的流量分配方案，使得流经网络中的总流量最大化。
在网络流算法中，最典型的算法包括Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
1.1 Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早提出的网络流算法之一，通过不断寻找增广路径来增加流量。
增广路径是一条从源点到汇点的路径，它的剩余容量（即路径上所有边的最小容量）即为该增广路径的流量。
通过不断寻找增广路径，并更新每条路径上的容量，直到没有增广路径为止，即可得到最大流。
1.2 Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的改进，它使用BFS算法来寻找增广路径。
相比于Ford-Fulkerson算法中的随机选择增广路径，Edmonds-Karp算法利用BFS算法的特点，每次选择最短路径作为增广路径，从而更快地找到增广路径并更新流量。
2. 网络流算法的优化方法虽然网络流算法已经能够有效解决最大流问题，但是对于大规模的网络图而言，其计算复杂度仍然较高。
为了提高算法的效率，有一些优化方法可以被应用。
2.1 改进的Ford-Fulkerson算法在Ford-Fulkerson算法中，可以采用一些方法来减少增广路径的搜索次数，从而提高算法效率。
其中一个经典的方法是使用DFS算法来寻找增广路径，每次在DFS过程中记录一条可行路径，当抵达汇点时，将沿该路径更新容量。
这样可以极大地减少增广路径的搜索次数。
2.2 Dinic算法Dinic算法是一种高效的网络流算法，通过构建分层图和阻塞流的概念，快速寻找增广路径，并更新流量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国邮递员问题 Chinese postman problem
• 管梅谷负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一 条最短的投递路线（从邮局出发，经过每条街道至少一次， 最后返回邮局）？ • 若图中有欧拉回路，任何一个欧拉回路即为此问题的解。 • 若图中不存在欧拉回路，其中必存在有奇数个边的端点， 且这类的端点一定大于等于2个。有些边需要再重复一次， 使奇数边的端点变为偶数边的端点。
用图来模拟一个镇的街道，标示红色的路口有奇数条路通过。
旅行商问题 Traveling salesman problem
A salesperson has to visit cities 1, 2,..n, and his/her trip begins at, and must end in, Home City. Let Cij be the cost of traveling from city i to city j, which is given. The problem is to determine an optimal order for traveling the cities so that the total cost is minimized.
赛纳河问题
• 赛纳河流经巴黎的河中有两个岛，河岸与岛间架设了15座桥,问： • (1)能否从某地出发，经过这15座桥各一次后再回到出发点？就是否存在欧拉回路的问题 • (2)若不要求回到出发点，能否在一次散步中，穿过所有的桥各 一次？- 就是否存在欧拉路径的问题 • A和B是通偶数座桥的地方，C和D是通奇数座桥的地方，满足欧 拉给出的判定规则（2），即如果只有两个地方通奇数座桥， 可以从这两个地方之一出发，找到欧拉路径；但不满足规则 （3），即不存在欧拉回路。
汉密尔顿问题
• 1859年威廉·汉密尔顿爵士在给朋友的信 中谈到关于十二面体的一个数学游戏，即 能否在如图中找到一条回路，使其含有此 图中所有结点？- 周游世界问题
欧拉回路和汉密尔顿回路
• 欧拉图是每边经过一次. • 汉密尔顿图是每顶经过一次.
• /ntsbarsh/opre640a/partIII.htm
指派问题 Assignment problem
• Typically, we have a group of n "applicants" applying for n "jobs," and the non-negative cost Cij of assigning the ith applicant to jth job is known. The objective is to assign one job to each applicant in such a way as to achieve the minimum possible total cost. Define binary variables Xij with value of either 0 or 1. When Xij = 1, it indicates that we should assign applicant i to job j. Otherwise (Xij = 0), we should not assign applicant i to job j.
Hamilton图
• 包含G每个顶点的轨叫做Hamilton轨； • 闭的Hamilton轨叫Hamilton圈； • 含Hamilton圈的图叫做Hamilton图。 • 直观地讲，Hamilton图就是从一顶点 出发每顶点恰通过一次能回到出发点 的那种图，即不重复地行遍所有的顶 点再回到出发点。
图论和网络流优化概念
华南理工大学数学学院 刘深泉教授
Konigsberg 七桥问题
• 1736年Euler访问Konigsberg时，发现当地市民 正从事一项非常有趣的消遣活动。城中有一条名 叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥, 问题是能否作一次散步,走过所有七座桥的，每 座桥只能经过一次,且起点与终点是同一地点。
Euler图
• G是Euler图的充分必要条件是G连 通且每顶点皆偶次。
弗罗莱（Fleury）算法
• 任取v0∈V(G)，令P0=v0； • 设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从 中选取ei+1： • （1）ei+1与vi相关联； • （2）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为 Gi=G-{e1,e2, …, ei}中的桥（所谓桥是一条删 除后使连通图不再连通的边）； • （3）当（2）不能再进行时，算法停止。 • 可以证明,当算法停止时所得的简单回路 v0,e1,v1,e2,….em,vm=v0为G中一条欧拉回路。
Minimum Cost Flow Problem
• All the above network problems are special cases of the minimum cost flow problem. Like the maximum flow problem, it considers flows in networks with capacities. Like the shortest path problem, it considers a cost for flow through an arc. Like the transportation problem, it allows multiple sources and destinations. Therefore, all of these problems can be seen as special cases of the minimum cost flow problem. The problem is to minimize the total cost subject to availability and demand at some nodes, and upper bound on flow through each arc
欧拉数学判断原理
• 对给定的任意一个河道图与任意多座桥，判定可能不可能 每座桥恰好走过一次（不一定回到原出发点），并用数学 方法给出了3条判定的规则： • （1）如果通奇数座桥的地方不止两个，满足要求的路线 是找不到的。 • （2）如果只有两个地方通奇数座桥，可以从这两个地方 之一出发，找到所要求的路线。 • （3）如果没有一个地方是通奇数座桥的，则无论从哪里 出发，所要求的路线都能实现。 • 上述判定规则包含了任一连通无向图是否存在“欧拉路径” 和“欧拉回路”的判定条件。根据判定规则（3）可以得 出，任一连通无向图存在欧拉回路的充分必要条件是图的 所有顶点均有偶数度。
Maximum Flow Problem
• In a network with flow capacities on the arcs, the problem is to determine the maximum possible flow from the source to the sink while honoring the arc flow capacities. Consider a network with m nodes and n arcs with a single commodity flow. Denote the flow along arc (i to j) by Xij. We associate with each arc a flow capacity, kij. In such a network, we wish to find the maximum total flow in the network, F, from node l to node m.
运输问题
•
Transportation Problem
Transportation models play an important role in logistics and supply chain management for reducing cost and improving service. Therefore, the goal is to find the most cost effective way to transport the goods.A shipper having m warehouses with supply ai of goods at his ith warehouse must ship goods to n geographically dispersed retail centers, each with a given customer demand ej, which must be met. The objective is to determine the minimum possible transportation costs given the unit cost of transportation between the ith warehouse and the jth retail center is Cij.
最短路问题
shortest path problem
• In the following network various costs are assigned for the path from one node to another. For example, the cost from node 2 to node 4 is 6. The objective function considers the cost to move from each node to another from source to destination. The constraints are broken into three groups. The constraint for the origin node says that you must leave node 1 and go to node 2 or 3. The intermediate node constraints say that if you ever come into a node you must leave that node. The destination node is similar to origin node in that you must reach to this node from one of the nroblem