高考数学函数与不等式综合问题测试
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专题六 函数与不等式综合问题
1．
已知实数a 、b 满足：关于x 的不等式22|||2416|x ax b x x ++≤--对一切x R ∈均成立．
⑴ 请验证2a =-，8b =-满足题意；
⑵ 求出所有满足题意的实数a 、b ，并说明理由；
⑶ 若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立，求实数m 的取值范围．
函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：
① 对任意x R ∈，有()0f x >；
② 对任意x ，y R ∈，有[]()()y
f xy f x =； ③ 113f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭．
⑴ 求(0)f 的值；
⑵ 求证：()f x 在R 上是单调增函数；
⑶ 若0a b c >>>，且2b ac =，求证：
()()2()f a f c f b +>．
已知函数x
11)x (f -=(0)x >． ⑴ 当0a b <<，且()()f a f b =时，求证：1ab >；
⑵ 是否存在实数a 、b ()a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是
[,]a b ，若存在，则求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由．
⑶ 若存在实数数a 、b ()a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为[,]ma mb (0)m ≠，求m 的取值范围．
解：（I ）当有时,8,2-=-=b a
.|1642||82|2|82|||2222--=--≤--=++x x x x x x b ax x
（II ）在2,4|1642|||2
2-==--≤++x x x x b ax x 中取 .8,2,024,0416,0|24|,0|416|-=-=⎩
⎨⎧=+-=++⎩⎨⎧≤+-≤++b a b a b a b a b a 所以所以得 因此满足题意的实数a ，b 只能是a =－2, b =－8.
（III ）,15)2(82),2(15)2(22--+≥-->--+≥++m x m x x x m x m b ax x 所以由 )1(742-≥+-x m x x 即.
).
3(2214
)1(2214
)1(17
4.17
4,222时等号成立当而成立均有不等式对一切==--⨯-≥--+-=-+-≥-+->∴x x x x x x x x m x x x x
∴实数m 的取值范围是]2,(-∞.
解法一：（1）令2,0==y x ，得：2
)]0([)0(f f =
1)0(0)0(=∴>f f Θ
（2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,3
1,312211p x p x ==则21p p < 21)]3
1([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=- )()()(,1)3
1(2121x f x f x f p p f ∴<∴<>Θ在R 上是单调增函数 （3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>∴b f b a b f b c b f a f )]([)()(=⋅=Θ b c
b f b
c b f c f )]([)()(=⋅= b c a b c b a
b f b f b f
c f a f +>+=+∴)]([2)]([)]([)()( 而)(2)]([2)]([222222b f b f b f b b ac c a b b
b c
a =>∴==>++
)(2)()(b f c f a f >+∴……………………14分
解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有y x f xy f )]([)(=
x f x f x f )]1([)1()(=⋅=∴ ∴当0=x 时0)]1([)0(f f =
∵任意x ∈R ， 0)(>x f 1)0(=∴f
（2）1)]3
1([)313()1(,1)31(3>=⨯=∴>f f f f Θ x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数 即)(x f 是R 上单调增函数；
（3）c a c a f b f f c f a f +>+=+)]1([2)]([)]1([)()( 而)(2)]1([2)]1([222222b f f f b
b a
c c a b c a =>∴==>++
)(2)()(b f c f a f >+∴
解：（I ） ∵x>0，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-= 1.x 0,1x
1,1x ,x 11)x (f ∴f(x)在（0，1）上为减函数，在(1,)+∞上是增函数．