广东省佛山市三水中学2019-2020学年高二数学下学期第二次统考试题[含答案]

z
1 满足 1
z z
i
，则
z
=________.
f x lnx
14．函数
x在
0, e2 上的最大值是_
___．
15．某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽 植物每株成活的概率为 p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物
10 株，设 X 为其中成活的株数，若 X 的方差 DX 2.1， P( X 3) P( X 7) ，则
X 的所有可能取值为 0 ，1， 2 ， 3 ， 4 .
（5 分）
关系？
（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过 APP 向用户随机派送每张面额为 0 元，1元， 2 元的 三 种骑行券.用户每次使用 APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，
11 获得 2 元券的概率分别是 2 ， 5 ，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了 两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 X ，求随机变量 X 的分布
0.168 （12 分）
19、（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） x 3 ， y 5 ， （2 分）
5
5
5
5
xi 15
yi 25
xi yi 62.7
xi2 55
i 1
， i1
， i1
， i1
，（4 分）
^
^
1.23 8.69
解得： b
，a
，（6 分）
所以线性回归方程为 yˆ 8.69 1.23x （7 分）
有_________个．
四、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（本小题满分
10
分）已知函数
f
(x)
x3
bx2
ax
d
的图象经过点
P 0, 2
，且在点
M 1, f 1处的切线方程为 6x y 7 0 .
（Ⅰ）求函数 y f (x) 的解析式；
~
N (0,1) ，若 P
3
p P 3 ，则
0
1 2
p
；
D．甲、乙、丙、丁 4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A “4 个人去的景
PA| B 2
点各不相同”，事件 B “甲独自去一个景点”，则
9.
12．定义在
R
wk.baidu.com
上的奇函数
f
x ，当
x
0
时，
f
x
ex
x
1
，则下列命题正确的是（
11．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．以模型 y cekx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z ln y ，将其变换后得到线
性方程 z 0.3x 4 ，则 c ， k 的值分别是 e4 和 0.3；
B．事件 A B 为必然事件，则事件 A 、 B 是互为对立事件；
C．设随机变量
广东省佛山市三水中学 2019-2020 学年高二数学下学期第二次统考试
题
本试卷总分 150 分，共 4 页；考试时间 120 分钟. 注意事项：答卷前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号写在答题卡上,所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔 和涂改液。 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求.）
型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）种．
A．90 种
B．36 种
C．150 种
D．108 种
7． 2 x3 (x a)5 的展开式的各项系数和为 243，则该展开式中 x4 的系数是（ ）．
A．5
B． 40
C． 60
D．100
f (x) 1
8．函数
x ln x 1 的图象大致是（ ）．
19．（本小题满分 12 分）为了解某地区某种产品的年产量 x （单位：吨）对价格 y （单位：
千元/吨）和利润 z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
（Ⅰ）求 y 关于 x 的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ ；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时， 年利润 z 取到最大值？（保留两位小数）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A
D
A
D
D
C
C
B
B
C ACD BCD
二、填空题
13、 1
1 14、 e
15、 0.7
16、90, 9 10n
三、解答题
17、（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）∵f(x)的图象经过 P（0，2），∴d=2，∴f(x)=x3+bx2+ a x+2，f'(x) =3x2+2bx+ a ． （2 分）
22．（本小题满分 12 分）已知函数 f x a ln x x2 ，其中 a R ．
（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）当 a
1时，证明：
f
x
x2
x
1
；
（Ⅲ）求证：对任意正整数
n，都有 1
1 2
1
1 22
1
1 2n
e
（其中
e≈2.7183
为自
然对数的底数）
一、 选择题
三水中学高二级 2019-2020 学年下学期第二次统考 数学科试题参考答案
0.2 个单位； ④对分类变量 X 与 Y ，若它们的随机变量 K 2 的观测值 k 越小，则判断
“ X 与 Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是（ ）
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
3．在曲线 y x2 ln x 上任意一点 P 点处的切线与 y x 1平行，则 P 的横坐标为（
）
A．1
2003000 12002
200 182
140 60 70130 14 6 7 13
5400 8.48 10.828
637
.
（3 分）
因此，在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关
系.（4 分）
3 （Ⅱ）由题意，可知一次骑行用户获得 0 元的概率为 10 .
∵点 M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为 6x﹣y+7=0
|x=﹣1=3x2+2bx+ a =3﹣2b+ a =6①，
∴f'（x）
还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点 M（﹣1，1）满足 f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1② （4
分）
由①、②联立得 b= a =﹣3 故所求的解析式是 f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（Ⅱ）求函数 y f (x) 的单调区间.
18．（本小题满分 12 分）2019 年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中， 中国队与韩国队相遇，中国队男子选手 A，B，C，D，E 依次出场比赛，在以往对战韩国选手 的比赛中他们五人获胜的概率分别是 0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立. 赛会釆用 5 局 3 胜制，先赢 3 局者获得胜利. （Ⅰ）在决赛中，中国队以 3∶1 获胜的概率是多少？ （Ⅱ）求比赛局数的分布列及数学期望.
18、（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设中国队以 3∶1 获胜为事件 A，若中国队以 3∶1 获胜，则前三局中赢两局输一
局，第四局比赛胜利，则 P( A) C13 0.2 0.82 0.75 0.288
（4 分）
（Ⅱ）设比赛局数为 X，则 X 的取值分别为 3，4，5，
（5 分）
则 P( X 3) 0.83 0.23 0.520 ，
9．如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证 勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每 个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ） A．360 种 B．420 种 C．480 种 D．720 种
10．已知
f
x
alnx
1 2
n
n
(xi x )( yi y)
xi yi nxy
bˆ i1 n
i1 n
(xi x )2
xi2 nx 2
参考公式和数据：
i 1
i 1
^
^
5
，a
y
b
x
，
xi
i 1
yi
62.7
20．（本小题满分 12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢
改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 APP 中设置了用
x2 (a
0)
，若对任意两个不等的正实数
x1 ，
x2 ，都有
f x1 f x2 2
x1 x2
恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
A． 0,1
1,
B．
C．1,
0,1
D．
二、多选题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分.每小题给出的四个选项中，有两项 或两项以上是符合题目要求.）
）
A．当 x 0 时， f x ex x 1
f x
B．函数
有 3 个零点
f x 0
, 1 0,1
C．
的解集为
D． x1, x2 R ，都有 f x1 f x2 2
三、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 请把答案填在对应题号后面的横 线上）
13．已知 i
为虚数单位，复数
B． 2
4．
x2
2 x
5
的展开式中
x
的系数为（
A．10
B．20
2 C． 2
） C．40
D． 2 2
D．80
z 3 i 5．复数 2 i 的共轭复数是（ ）
A． 2 i
B． 2 i
C． 1 i
D． 1 i
6．为了提高命题质量，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题
（5
分）
（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令 3x2﹣6x﹣3=0，即 x2﹣2x﹣1=0.解得 x1=1（6 分）
,x2=1+ .
当 x<1- ,或 x>1+ 时，f'（x）>0；当 1- <x<1+ 时，f'（x）<0. （8 分）
故 f（x）的单调增区间为（﹣∞,1﹣ ），（1+ ,+∞）；单调减区间为（1﹣ ,1+ ）（10 分）
P( X 4) C13 0.2 0.82 0.75 C13 0.22 0.8 0.25 0.312 ，
P( X 5) 1 P( X 3) P( X 4) 0.168 ，
则 X 的的分布列为 （10 分）
X
3
4
（8 分） 5
P
0.520
0.312
E( X ) 3 0.520 4 0.312 5 0.168 3.648 .
p ________．
16．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22 ，11， 3443 ， 94249 等，显
然 2 位回文数有 9 个：11， 22 ， 33 ， ， 99 ， 3 位回文数有 90 个：101 ，111，121，
，191， 202 ， ， 999 ．（1） 4 位回文数有______个．（ 2 ） 2n 1(n N ) 位回文数
z x 8.69 1.23x 2x 1.23x2 6.69x
（Ⅱ）依题意得年利润
所以当 x 6.69 2.72 时，年利润 z 最大. 2.46
（9 分） （12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）解：由 2 2 列联表的数据，有
n ad bc2 k a bc d a cb d
2 1．复数 1 i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
2．给出以下四个说法：
①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D．第四象限
②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数 R2 的值越大，说明拟合的效果越好；
③在回归直线方程 yˆ 0.2x 12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 yˆ 平均增加
户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出 200 条
较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的 2 2 列联表如下：
对优惠活动好评 对优惠活动不满 合计
对车辆状况好评
100
30
130
对车辆状况不满
40
30
合计
140
60
200
（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有
列和数学期望。
参考数据：
P(K 2 k)
0.150 0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2
n(ad bc)2
参考公式： (a b)(c d )(a c)(b d ) ，其中 n a b c d .
f (x) x 1
21．（本小题满分 12 分）已知函数
ex （其中 e 是自然对数的底数），
g(x) 1 ax2(a R) ．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的极值；
（Ⅱ）设 h(x)
f (x) g(x) ，若 a 满足 0 a
1 2且
a ln 2a 1 0 ，试判断方程
h(x) 0 的实数根个数,并说明理由．