大学概率论总复习.ppt

X0
1
…
k
…n
概率
(1
p)n
C
1 n
p(1
p)n1
…
C
k n
pk
(1
p)nk …
pn
(3) 泊松分布 X ~ P( )
P(X k) k e
k!
(k 0,1, 2, )
6. 连续型随机变量的概率密度函数
x
F ( x) f (t)dt
随机变量X的概率密度函数
x
(1) 数学符号：
F(x)
第三章 基本知识点
1. 条件概率的定义
设A，B为同一随机试验中的两个随机事件 , 且 P(A) > 0， 则称已知A发生条件下B发生 的概率为B的条件概率，记为
P(B | A) P( AB)
2. 乘法定理
P( A)
P( AB) P( A)P(B | A) P(B | A) P( AB)
P( A)
2. 频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件 A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动， 随着试验次数的增加更加明显.
3. 概率的统计定义
对任意事件A，在相同的条件下重复进行 n 次试验，事件A 发生的频率随着试验次 数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动, 那么称p为事件A的概率，记为
则称事件A，B，C两两独立.
(2) 事件A，B，C相互独立：
(a) P(AB) = P(A)P(B)
如果事件A，B，C满足:
(b) P(AC) = P(A)P(C) (c) P(BC) = P(B)P(C)
(d) P(ABC) = P(A)P(B)P(C)
则称事件A，B，C相互独立.
7. 贝努利试验
P( AB) P(B)P( A | B)
P( A | B) P( AB) P(B)
3. 全概率公式
设A1 ，A2 ，...，An 构成一个完备事件组， 且P(Ai )>0 (i＝1，2，...，n)，则对任一随机 事件B，有:
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
A1 P( A1 ) P(B | A1 )
P{ X xi } P{ X xi ,Y } pi•
(i 1, 2, 3, )
(2) Y的边缘分布律为：
P{Y yi } P{ X ,Y yi } p• j
(i 1, 2, 3, )
二维离散型随机变量的边缘分布律
XY
(表格形式)
y1
yj
第i行之和
pi•
x1
p11
p1 j
p1•
7. 随机事件
仅含一个样本点的随机事件称为基本事件． 含有多个样本点的随机事件称为复合事件．
8. 必然事件Ω
一次随机试验中，必然会发生的随机事件.
9. 不可能事件Φ
一次随机试验中，不可能会发生的随机事件.
10. 事件关系和运算 概率论 事件 事件之间的关系 事件的运算
集合论 集合 集合之间的关系 集合的运算
概率 事件A的概率
频率的稳定值 P( A) p
事件A
准确的数值
当试验次数足够大时
事件A的频率
事件A的概率
近似地代替
4. 古典概型：
古典概型的基本特征：
(1) 有限性：试验的可能结果只有有限个；
样本空间Ω是个有限集
1,2, ,n
(2) 等可能性：各个可能结果出现是等可能的.
基本事件的概率均相同
7. 概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为Ω，若对任一 事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应， 满足如下公理：
(1) 非负性： 0 P( A) 1
(2) 规范性： P() 1
(3) 完全可加性：对任意一列两两互斥事件A1，
A2，…，有：P
An
P( An )
n1 n1
则称P(A)为事件A的概率
P( A1 ) P( A2 )
1 P( An ) n ,
Ai {i }
5. 概率的古典定义 对于古典概型：
(1) 设所有可能的试验结果构成的样本空间为：
1,2, ,n
(2) 事件 A k1 ,k2 , ,kr
其中k1, k2, , kr为1, 2, …, n中的r个不同的数 则定义事件A的概率为：
1
2
( x )2
2
e 2
(, 0) X ~ N(, 2 )
(4) 标准正态分布 f (x)
1 x2 e2
2
X ~ N(0, 1)
第五章 二维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量及分布函数 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 边缘分布 第五节 随机变量的独立性 第六节 条件分布
xi
pi1
pij
pi•
第j列之和
p• j
p•1
p• j
(1)
X的边缘分布：
X
概率
x1 x2
p1• p2•
xi
pi•
(2)
Y的边缘分布：
f (t)dt
随机变量X的分布函数
(2) 连续型随机变量的分布函数表示事件： (a) 事件 P( X b) F(b) (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) (c) 事件 P(a X b) F(b) F(a)
7. 事件的概率与概率密度函数的关系： b (a) 事件 P(X b) F(b) f ( x)dx (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) b 1 f ( x)dx
P( A) r n
事件A包含的基本事件r 的基本事件n
6. 几何概型
古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性
1. 基本特征：
(1) 有一个可度量的几何图形Ω
(2) 试验E看成在Ω中随机的一点ω
事件A＝“随机点落在Ω中的子区域SA中”
P( A)
SA ||
S
的几何度量
A
的几何度量
长度、面积或体积
e
1 2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(
x
1 )( y 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)2
2 1 2 1 2
6. 边缘分布函数 设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x, y)，
FX ( x) P( X x) P( X x,Y ) F ( x, )
X的边缘分布函数
FX ( x) F( x, )
FY ( y) P(Y y) P( X ,Y y) F (, y)
Y的边缘分布函数
FY ( y) F(, y)
7. 二维离散型随机变量的边缘分布律 若二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2, 3, )
则 (1) X的边缘分布律为：
为(, ) , 函数值在区间[0, 1]上的实值函数
F( x) P( X x) ( x )
为随机变量X的分布函Leabharlann Baidu.
集合论
样本空间Ω
样本点ωi
随机试验
试验结果
数量化
对应
函数论 实数集 (, ) 实数 x (, )
若干样本点构成事件A
随机变量X表示事件A
事件A的概率P(A)
随机变量X的分布函数F(x)
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
5. 事件独立的定义
P(B｜A) = P(B)
A与B相互独立的 充要条件
P( AB) P( A)P(B)
6. 事件的独立性的推广
(1) 事件A，B，C两两独立： (a) P(AB) = P(A)P(B)
如果事件A，B，C满足: (b) P(AC) = P(A)P(C) (c) P(BC) = P(B)P(C)
第五章 基本知识点
1. 二维随机变量(X, Y)的联合分布函数
F(x, y) P(X x,Y y)
2. 联合分布函数表示矩形域概率
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y2 ) F( x1, y1 )
3. 二维离散型随机变量(X, Y)的联合概率分布：
0 P( A) 1 F(x) P(X x) 0 F( x) 1
4. 离散型随机变量分布律的表示方法：
(1) 公式法：P( X xi ) pi
(2) 表格法：
X
概率
x1 x2 p1 p2
其中 0 pi 1(i 1, 2,
xi pi
) 且 pi 1
i
5. 常用离散型分布 (1) 0-1分布(二点分布 ) X 0 1 概率 1 p p (2) 二项分布 X ~ B(n, p)
在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可
能的结果：A及 A ，且A在每次试验中发生的概
率为p，则称其为n重贝努利试验，简称贝努利 试验.
8. 二项概率： 贝努利定理
设在一次试验中事件A发生的概率为 p (0<p<1) ， 则A在n次贝努利试验中恰好发生 k次的概率为
P( Ak )
C
k n
pk (1
给定一个随机试验，设Ω为其样本空间，则：
随机事件A，B，... 随机事件间的关系
Ω的子集A，B，...
各种集合间的关系
概率论与集合论之间的关系
概率论
集合论
样本空间 必然事件
不可能事件
子事件 A B 并事件 A B 交事件 A B 差事件 A B 对立事件 A
全集
全集
空集
子集 A B
并集 A B
交集 A B
差集 A B
补集
A
第二章 事件的概率
第一节 概率的概念 第二节 古典概型 第三节 几何概型 第四节 概率的公理化定义
第二章 基本知识点
1. 随机事件的频率
设随机事件A在n次随机试验中出现了r次， 则称这n次试验中事件A出现的频率为：
fn ( A)
r n
事件A出现的次数r 试验的总次数n
8. 概率的性质
性质1 P() 0 不可能事件的概率为零 性质2 P( A) 1 P( A) 逆事件的概率
性质3 性质4
互不相容事件概率的有限可加性
对任意有限个互斥事件A1，A2，… An ，
有：P
n
Ak
n
P( Ak )
k1 k1
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 加法定理
(c) 事件 P(a X b) F(b) F(a)
b
a f ( x)dx
8. 常用连续型分布：
1
(1) 均匀分布
f
(x)
b
a
0
a xb 其它
X ~ R (a, b)
(2) 指数分布
e x
f (x)
x 0 ( 0为常数） X ~ E( )
0 x 0
(3) 正态分布
f (x)
p)nk
(k 0,1, 2,
, n)
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量
第四章 基本知识点 1. 随机变量
用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化
2. 随机变量的类型 (1) 离散型随机变量 (2) 非离散型随机变量
3. 随机变量的分布函数 设X是随机试验E的一个随机变量，称定义域
性质5 若A B，则：P(B A) P(B) P( A) 且 P( A) P(B) 差事件的概率
性质6 加法定理的推广形式
P(A B C) P( A) P(B) P(C )
P( AB) P(BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率
XY
y1
yj
x1
p11
p1 j
xi
pi1
pij
4. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数
xy
F ( x, y)
f ( x, y)dydx
5. 常见的二维连续型随机变量的联合密度函数
(1)
二维均匀分布
f (x,
y)
1 , A
(x, y) D
0,
其它
(2) 二维正态分布
f (x, y)
1
A2 P( A2 ) P(B | A2 )
P(B)
A3 P( A3 ) P(B | A3 )
4. 贝叶斯公式
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且每个
P(Ai)>0，B为样本空间的任意事件且P(B) >0 ,
则有：
P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
(k 1, 2, , n)
4. 随机事件
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
5. 样本点
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为
这个试验的一个样本点，记作 i (i 1,．2, )
6. 样本空间
全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间， 记作Ω．即
1,2, ,n,
概率论 总复习
第一章 随机事件
第一节 样本空间和随机事件 第二节 事件关系和运算
第一章 基本知识点 1. 概率论
概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
2. 确定性现象与随机现象
3. 随机试验
(1) 试验在相同的条件下可重复进行 (2) 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．