中国石油大学 概率论总复习
概率论与数理统计总复习
pi
1 1 1 5 5
5 1 5 1 5
1
1 65 EXY xi y j Pij COV ( X , Y ) EXY EX EY 8 8 i j
COV ( X , Y ) 3 20 320 DX DY
6. 设随机变量X ~N (1,3 ), Y ~ N (0, 4 ),已知
X z M z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
例1 设 X 具有概率密度f X ( x ), 求 Y=X2 的概率密度.
解 设Y 和 X 的分布函数分别为 FY ( y)和 FX ( x)，
2
注意到Y X 0, 故当y 0时有，FY ( y) P(Y y) 0
当 y>0 时,
2 P ( X y) FY ( y ) P(Y y )
P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
FY y P Y y
求导可得
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
若
1 fX ( x) 2
2、解：设 X 表示电子管寿命，
Y 表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数。则
Y ~ b(5, p),其中p P( X 1000 ) x 1 e 1000 , x 0 f ( x) 1000 0, 其他
中国石油大学概率1-6含单元总结【考试须看】
1. 考试安排 考试时间：第10周周日（11月10日） 下午 2:00-4:00 考试地点：1-2 班 东廊 201； 3-4 班 东廊 202。
2.考试范围：《线性代数》第1章至第5章。
第1页
设 x 为n 维列向量，xT x 1, 令 H E 2xxT , 求证：
H 是对称的正交矩阵。
B1 B2 … Bn
系统 2
A1 A2
An
…
B1 B2
Bn
第22页
解：设如图所示，事件Ai、Bi 分别表示“第 i 个元件正常工作”，事件C1、C2 分别表示“系 统 1、系统 2 正常工作”。则
A1 A2 … An 系统 1
B1 B2 … Bn
P(C1 ) P( A1 A2 An B1B2 Bn )
A A1 A2 A3 A4 , 由于 A1，A2，A3，A4 相互独立，所以
P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) p2 p2 p4 p2(2 p2 )
第21页
例 4 一个元件能正常工作的概率叫做元件的可靠
第10页
（3）在(2)问的基础上，进一步求出 f 的规范形，并写出相 应的可逆变换。
解(3) 作变换 Y=CZ，
y1 z1
y2
z2
y3
z3
y4
即 1 3 z4
y1 y2 y3 y4
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0 1 3
z1 z2 z3 z4
( 1)( 2) 0
故 1, 或 =2.
■
第4页
2 0 1
中国石油大学090107概率论与数理统计期末复习题及参考答案
《概率论与数理统计》课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为()。
a∙ Φ3Φ7B. ⅛φ3×(∣)7C∙ c ioψ7×(∣)3d∙ ⅛3答案：B2.设X∣, X2, . X〃为来自总体X的一个样本，区为样本均值，EX未知，则总体方差OX的无偏估计量为()。
A.--∑(X∕-X)2“Ti=I1n _ o8. 1 X(X z-X)2 n i=∖1 «0C∙ -∑(X，•一EX)1 〃oD∙ --∑(X i-EX)2〃-答案：A3.设X” X2,…，X〃为来自总体N(〃，/)的一个样本，区为样本均值，已知，记S12=-∑(X z-X)2, 5^=1 X(X z-X)2,则服从自由度为〃-1的f分布统计量是()。
〃一IT n i=∖MT=Sl/3S2 / 4nS) ∕√n答案：D4.设总体X〜/HO),O为未知参数，X1, X2,. -, X“为*的一个样本,0(X1, X2,--,.X n), 0(X1, X2,∙∙∙, X ZJ)为两个统计量,包力为。
的置信度为的置信区间, 则应有()。
A.P{Θ <Θ} = aB.P{Θ<Θ} = ∖-aC.P[Θ<Θ<Θ] = aD.P[Θ<Θ<Θ} = ∖-a答案：D5.某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率()。
A. ⅛36,设X和Y均服从正态分布X〜N(μ工),Y ~ N(μ32),记P] = P{X <μ-2], p2=P{Y≥μ + 3}f则OoA.对任何实数〃都有p∣ >〃2B.对任何实数〃都有p∣ <〃2C.仅对〃的个别值有Pl =p2D.对任何实数〃都有p∣二〃2答案：D7.设A和B为任意两个事件，且Au3, P(B)>0,则必有()。
A.P(A)<P(A∖B)B.P(A)NP(AIB)C.P(A)>P(A∖B)D.P(A)≤P(A∖B)答案：D8.已知事件48相互独立，P(B) >0,则下列说法不正确的是()。
石油大学概率论第6章
观 测 到 的 数 据 是 ys,其 中 是 随 机 误
差 （ 测 量 误 差 ） 。 y s a b t （ 6 - 1 ） 其 中 t是 非 随 机 的 ， 是 随 机 的 ， 通 常 认 为 E 0 ， 显 然 y也 是 随 机 的 。
（ 6 - 7 ）
i 1
i 1
我 们 取 使 Q达 最 小 的 a 、 b 作 为 未 知 参 数 a、 b
的 估 计 ,这 种 方 法 称 为 最 小 二 乘 估 计 法 ,所 得 的 估
计 称 为 最 小 二 乘 估 计 ， Q称 为 残 差 平 方 和 。
对 Q 求 关 于 a 、 b 的 偏 导 数 ， 得 如 下 方 程
yabx
（6-6）
由 上 分 析 看 出 ,y ia b xi反 映 了 yi 中 受 x影 响
的 那 一 部 分 ； 而 yi yi 则反映了 yi 中扣除 x 的影
响后其它种种因素影响的部分，故称为残差。
F S 残 2/ S ( 回 2 n 2 )～ F ( 1 ,n 2 )( H 0成 立 时 ) ( 6 - 1 6 )
四 ． 回 归 方 程 的 应 用 预 测
当回归方程有意义时，则可用 x0 处的回归值 y0 来作为 y0 的估计值，或称为预测值。
所 谓 区 间 预 测 ， 是 指 构 造 两 个 统 计 量， 使
对 于 给 定 的 01,满 足 P{}1， 则 称
随 机 区 间 （ ,） 是 的 置 信 度 为 1的 预 测 区 间 。
i 1
i 1
b 2i n 1(xix)2(llx xy x)2lxxb lxy
在 回 归 方 程 无 意 义 时 ， 有 如 下 几 种 可 能 ： （ 1 ） x 对 y 确 实 无 影 响 ； （ 2 ） x 对 y 有 影 响 ， 但 无 线 性 影 响 ； （ 3 ） 除 x外 ， 还 有 另 外 不 可 忽 略 的 因 素 y 对 有 影 响 ， 这 时 需 作 进 一 步 研 究 。
中国石油大学《概率论与数理统计》复习题及答案
A）、f(x)单调不减B）、F(x)dx1C）、F()0D）、Fx()fx()xd
5.（见教材第95到第98页）设随机变量X与Y相互独立，且
1
X~B16,，Y服从于
2
参数为9的泊松分布，则D(X2Y1)（）。
A）、–14B）、–13C）、40D）、41
12．（见教材91页期望的性质）设随机变量X的数学期望存在，则E(E(E(X)))（）。
2
A）、0B）、D(X)C）、E(X)D）、E(X)
2
16.（见教材126页）设X1，X2，⋯，Xn来自正态总体N(,)的样本，则样本均值X的
分布为（）。
2
22
A）、N(,)B）、(,)
NC）、N(0,1)D）、N(n,n)n
17.（见教材125页）设总体X~N(0,0.25)，从总体中取一个容量为6的样本X1,⋯,X6，设
X~B(n,p),且EX3,p1/5,则n.
3x
e,x0
11(见教材P42)连续型随机变量X的概率密度为fx
则
0,x0
．
12.(见教材P11-P12）盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品．现从盒中任取３
只，设３只中所含次品数为X，则PX1．
2.(见教材P73-P74)已知二维随机变量
22
(X,Y)~N(,;,;)，且X与Y相互
24/91/9
六、（第八章假设检验165页，单个正态总体期望的检验）设某次考试的考生成绩服从正态
分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,样本标准差为15分,问
在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过
程.（t(35)2.0301）。
概率论与数理统计期末总复习资料
古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球，再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球。
解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a A C r ，则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。
例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240，则 P (B )=120/1001=0.048 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}.解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。
故样本点总数为：N n(1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，事件A 包含的样本点数：n!，则 n Nn A P !)(=(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点，且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数： n NnN A C n =!，则n nNNA B P =)((3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：mn C m n N --)1(, 则mn m m n nm n mn N N N C N N C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。
石油大学_概率论第5章
mk E( X ) k
P k
顺序统计量 Order Statistic
设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本，将样 本观测值 x1 , x2 ,, xn 按大小递增的顺序排序：
x(1) x( 2) x(n)
Observed value
率应近似于（依概率收敛） X 落入第 i 个小区间 （ t i 1 ，t i ]的概率。
即应有（若 X 是连续型随机变量）
fi P{ti 1 X ti }
ti
ti 1
f ( x)dx
其中 f (x) 为X 的密度函数，从而 f i f ( i )ti ， f i / t i f ( i )
(5)在直角坐标系内，以各个小区间为底，画 一排长方形，使第 i 个小长方形的面积为 f i ，通常 称这样的图为频率直方图， 简称为直方图。 如图 5-1 所示。
fi
t i
o
t0 t t 1 2
t iti1
图 5-1 直方图
x
tr
由大数定律知， f i 作为总体 X 的观测值
x1 , x2 ,, xn 中落入第 i 个小区间（ t i 1 ，t i ]内的频
( 2 ) 将样本值 x1 ，x 2 ， ，x n 依大小顺序重新排 列成：
* * * x1 x 2 x n
* b a x* 取略小于x1 的数 及略大于 n 的数
以确定适当
的作图区间[ a，b ]；
( 3 ) 在区间[ a， b ] 中插入若干个分点，
a t 0 t1 t r 1 t r b
当 X 1 , X 2 ,, X n 取 值 为 x1 , x2 ,, xn 时 ， 定 义
概率论与数理统计总复习
随
机 试 验
可能结果
基 本 事 件
Ai
只有两个
不含任何ω Φ
Ai Aj 完
不可能 i j 备 Ai任何组合事件A p(Ai ) 0事
Ai
i
必然
Ωi
Ai
件 组
Ai
等
1 P(A i) n
概 完
i 1,2, n 备
事
件
可能结果
条件：
组
贝努利试验
n次重复
定义 随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）
称X 为离散型随机变量。
分布律（分布列） 表示法
公式法
PX xk pk
k 1,2,
列表法 X x1 x2
xk
xn
pk p1 p2
pk
pn
性质
1. PX xk 0 k 1,2,
n
2. pk 1
7 7
k 1
2、连续性随机变量 定义 对于随机变量X，若存在非负函数
将 F( y) 用 F[h( y)] 及有关函数表述出来。
利用 F '( y) f ( y) 求出Y的密度函数。
f
(
y)
F
(h(
y))'
h(
y)
h'
(
y)
0
y
其他
14
14
三、二维随机变量及其分布
（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数
定义 对于任意实数 x, y 二元函数
F(x, y) P{X x,Y y}
X为离散型其分布列为 PX xk pk
k 1,2,, n.
X为连续型其密度函数为 f (x).
概率论总复习知识总结
contents
目录
• 概率论概述 • 随机变量及其分布 • 随机变量的数字特征 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验 • 贝叶斯统计推断 • 概率论的应用
01 概率论概述
概率论的基本概念
01
02
03
04
概率
描述随机事件发生的可能性大 小。
随机试验
具有随机性结果的试验。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为$E(X) = int x f(x) dx$，其中$f(x)$是随机变量$X$的概率 密度函数。
方差与协方差
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的量，计算公式为 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$。
方差的性质
方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质。
在贝叶斯决策理论中，决策者需要先对各种可能的结果赋予主观概率，然后根据 这些结果的价值和发生的概率计算期望值，最后选择期望值最大的方案作为最优 决策。
贝叶斯网络与推理
贝叶斯网络是一种基于概率的图形模型，用于表示随机变量 之间的条件独立关系。它由一组节点和有向边组成，节点代 表随机变量，边代表变量之间的概率依赖关系。
协方差的定义
协方差是用来衡量两个随机变量同时取值的分散程度和它 们之间的相关程度的量，计算公式为$Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y - E(Y))]$。
协方差的性质
协方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质 。
矩与特征函数
矩的定义
矩是用来描述随机变量取值分布特征 的量，包括数学期望、方差、偏度和 峰度等。
样本空间
随机试验所有可能结果的集合 。
事件
概率论与数理统计总复习知识点归纳
1 dy 2
同理 E(X2 )=1/6, E(XY )=1/12. 从而DX=E(X2 )- (EX )2=1/18 由对称性有 E(Y )= E(X )=1/3, DY= DX = 1/18. 于是 Cov (X, Y) = E(XY )- E(X) E(Y ) = 1/12-(1/3)2 = -1/36
P( D) P( ABC AB C A BC) P( ABC ) P( AB C) P( A BC)
0.3 0.2 0.9 0.3 0.8 0.1 0.7 0.2 0.1 =0.092 P(C D) P( ABC ) 0.3 0.2 0.9 0.587 P(C / D) 0.092 P( D ) P( D)
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9; P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
0.1 C 0.3*0.8+0.7*0.2
0.9
C
0.3*0.2 D
P( D / C ) 0.3* 0.2.
于是有
P(C ) P( D / C ) P(C / D) P(C ) P( D / C ) P(C ) P( D / C ) 0.9 * 0.3 * 0.2 0.1* (0.3 * 0.8 0.7 * 0.2) 0.9 * 0.3 * 0.2
例5 设C.R.V.(X, Y)在三角形区域G: 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x上 服从均匀分布，求Cov (X, Y)和ρXY.
解
1 / S 2 , ( x, y ) G SG dx f ( x, y ) 0 0 ( x, y ) G 0 , 1 1 x 1 EX xf ( x, y )dxdy dx 2 xdy 0 0 3 R2
概率论与数理统计期末复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为2()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
大学概率论总复习-
为(,), 函数值在区间[0, 1]上的实值函数
F ( x ) P ( X x ) ( x )
为随机变量X的分布函数.
2021/5/9
24
集合论
样本空间Ω
样本点ωi
随机试验
试验结果
数量化
对应
函数论 实数集 (,) 实数 x(,)
若干样本点构成事件A
随机变量X表示事件A
事件A的概率P(A)
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
2021/5/9
3
4. 随机事件
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
5. 样本点
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为
这个试验的一个样本点，记作 i(i1,．2, )
2021/5/9
15
性质6 加法定理的推广形式
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)
A
B
C
2021/5/9
16
第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率
2021/5/9
17
第三章 基本知识点
1. 条件概率的定义
设A，B为同一随机试验中的两个随机事件 , 且 P(A) > 0， 则称已知A发生条件下B发生 的概率为B的条件概率，记为
P(B| A) P(AB)
2. 乘法定理
P(A)
P (A B ) P (A )P (B |A ) P(B| A) P(AB)
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BAAB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）BA AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）（4）0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4．分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。