中国石油大学概率论2011-2012期末试卷答案及评分标准
中国石油大学2011-2012(2) 概率论与随机过程A
2011—2012学年第二学期《概率论与随机过程》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年6月 15日注意事项：1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效；2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；3．本试卷正文共5页，共九道大题，满分100分；4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。
一.填空题（每题3分，共15分）1.设A B 、为随机事件，()0.6P A =，()0.3P A B -=，()_________P AB =则.2.设随机变量~(2)X N ，1，~(3)Y N ，1，且,X Y 相互独立，32Z X Y =-，则~___________Z .3.已知随机变量~(2)X P （泊松分布），则31Z X =-的期望________EZ =.4.设随机变量X 的数学期望EX μ=，方差2DX σ=， 则由切比雪夫不等式， 有{||2}________P X μσ-≥<.5. 设随机过程()cos sin X t A t B t =+，(,)t T ∈=-∞+∞,其中A,B 是相互独立且都服从标准正态分布的随机变量，则该随机过程的自相关函数为__________.二.选择题(每题3分，共15分)：1.设事件,A B 满足，()0(|)1P B P B A >=，, 则必有________. (A ) ()()P A P A B < (B ) ()()P B P A B < (C ) ()()P A P A B = (D ) ()()P B P A B =2.设随机变量X ,Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ，记12{4},{5}p P X p P Y μμ=>+=≤-，则_________.(A ) 对任意实数μ都有12p p = (B ) 对任意实数μ都有12p p < (C ) 仅对μ的个别值都有12p p = (D ) 对任意实数μ都有12p p >3.设由来自总体2~(,0.9)X N μ的长度为9的样本得样本均值5X =，在水平0.05α=下，则_________.(A ) 0=3H μ 接受假设：(B ) 0=4H μ 接受假设： (C ) 0=5H μ 接受假设：(D ) 0=6H μ 接受假设：4.设总体~(,)X f x θ，θ为未知参数，1X ，… ，n X 为来自X 的一个样本，1121(,,)(,,)n n X X X X θθ 、为两个统计量，若12(,)θθ为θ的置信度为1α-的置信区间，则应有__________.(A ) 12{}P θθθα<<= (B ) 2{}1P θθα<=- (C ) 12{}1P θθθα<<=- (D ) 1{}P θθα<=5. 设一齐次马氏链的状态空间为{1,2}I =，其一步转移矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8/38/54/14/3P , 则其平稳分布为________.(A ) (3/4,1/4) (B ) (5/8,3/8) (C ) (2/7,5/7) (D ) (5/7,2/7)三.（10分）某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%.现从待出厂的产品中随机地取一件，求:(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率.四.(10分）假设测量的随机误差2~(0,10)X N，求:(1)测量误差的绝对值大于19.6的概率p；(2)如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值大于19.6的概率 .五.(15分）设(,)X Y 的分布密度为(2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧ >>=⎨ ⎩其他求:(1)常数A ；(2)关于X ,Y 的边缘分布密度，并判断X ,Y 是否独立； (3)2Z X Y =+的概率分布.六.(10分）一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2,3.现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X和Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字.求:(1)X和Y的联合概率分布；(2)X和Y的相关系数.七.(10分）设X,Y相互独立，且概率分布分别为2211/2,02 ()(),()0,x xyf x x yϕ-+-≤≤⎧= -∞<<+∞ =⎨⎩其他求:(1)()E X Y+； (2)(2)D X Y+； (3) 2(23)E X Y-.八.(8分）设总体X 的分布密度为22,0()0,xxe x f x λλ-⎧⎪>=⎨⎪⎩其他，)0(>λ， 且1X ，… ，n X 是来自总体的简单随机样本，求:(1)参数λ的极大似然估计量； (2)参数λ的矩估计量.九.(7分）设马氏链{,0}n X n ≥的状态空间为{1,2,3}I =，初始分布为123111(0),(0),(0),424p p p ===其一步转移概率矩阵为1/43/401/31/31/301/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求：(1) 012{1,2,2};P X X X === (2) 22(2){2}.p P X ==。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(2)
A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。
中国石油大学(华东)概率论2011-2012期末考试卷问题详解及评分实用标准化
2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年1月3号页 码 一 二 三 四 五 六 七 总 分 满 分 20 15 10 20 12 13 10 100 得 分阅卷人备注：1．本试卷正文共7页；2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4．最后附页不得私自撕下，否则作废.5．可能用到的数值(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=Ａ卷一、填空题（每空1分，共10分）1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B =0.5 .2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___.3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 .4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max(,)2}P X Y ≤= 4/9 .5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均值，则EX = λ ，DX =nλ. 二、选择题(每题2分，共10分)1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 等于( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a 有( B ).(A)0()1()aF a f x dx -=-⎰ (B)01()()2aF a f x dx -=-⎰(C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=-3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ).(A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 44.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 25.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).(A)连续型随机过程 (B)连续型随机序列 (C)离散型随机过程 (D)离散型随机序列三、计算题(共6个题目，共45分) 1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从 中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？ 解：设12;A A 分为来自甲乙箱；B 为正品（1）14113()()25220P B =+=（5分） （2）11251()2/77/20P A B ⨯== （10分） 2.(5分)已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？解：110001110001000{1000}x P X e dx e +∞--≥==⎰ （4分）于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为5e - （5分）3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数数器,()N t表示在[0,]t到达计数器的粒子个数,试求：(1)()N t的均值、方差、自相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.解：()4;()4;()()164min{,}EN t t DN t t EN s N t st s t===+（各一分，共三分）（2）平均间隔为1/4分钟（5分）4.(5分)设总体2~(,)X Nμσ的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求μ的置信度为0.95的置信区间(写出过程).解：由题知~(0,1)N（2分）于是由0.9751.96U=知置信区间为（4.804,5.196）（5分）5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、 3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是 等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0n X n ≥表示第n个时刻质点所处的位置，初始分布为()1(0),1,2,33P X i i ===.求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵； (2){}(0)1,(1)2,(2)3P X X X ===； (3){}(2)2P X =.解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （4分）（2）原式=1133119⨯⨯=（7分） （3）原式=7111339313()27++= （10分）6.(10分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=，其他，02)(bx a x x f ，且12=EX .求：(1)b a ,的值；(2)}1{<X P .解：由2212b axdx b a ==-⎰；23441212()baEX x dx b a ===-⎰解得a b ==（6分）（2）原式=11/2xdx = （10分）四、（12分）设随机向量(,)X Y 的概率密度为 (2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他求: (1)常数A ；(2)关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立； (3)2Z X Y =+的概率密度.解：（1）(2)01/2;2x y Ae A A +∞+∞-+==∴=⎰⎰（2分）（2）(2)2(2)00()20020()200x x y X yx y Y e x f x e dy x e y f y e dx y -+∞-+-+∞-+⎧≥==⎨<⎩⎧≥==⎨<⎩⎰⎰ （7分）显然，独立 （8分）（3）(2)210()2000()0z zx y Z x y zzZ e ze z F z edxdy z zez f z z ---++≤-⎧--≥==⎨<⎩⎧≥=⎨<⎩⎰⎰（12分）五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度22(),0,0,()0,0.xxf xxαα-⎧>>=≤⎩123,,,,nX X X X为X的简单随机样本,求：(1)未知参数α的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.解：（1）23()xEX dx Xα+∞-===⎰ˆ2Xα∴=（5分）21211232()(,)(4)niiXn ni iL f x x eαααπα=---∑=∏=∏2211ln3ln ln(^^^niiL n Xααα==--+∑不含）23132ln/0niind L d Xααα==-+=∑ˆMLEα= (10分)（2）ˆE E X αα=== 无偏 （13分）六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数.求X 的分布律、分布函数、 数学期望和方差.解：由题知，25~(3,)X B 分布律332355{}()();;;;0,1,2,3k k kP X k C k -=== （4分） 分布函数2712581125117125001()122313x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤⎪⎩ （6分）6/5;18/25EX np DX npq ==== （10分）。
2011-2012-1概率统计试题及答案(A)
2011/2012 1 概率论与数理统计（A 卷 ）数理学院 全校（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率是_______. 2.A 与B 是两个事件，若()0.2,()0.6,P B A P B -==则概率()P AB =_______.3．从次品率为p 的产品中有放回地取出三件产品，若已知三件产品中至少有一件次品的概率为19/27，则p =_______. 4.设二维随机向量(,)X Y 的分布律为{(,)(0,1)}{(,)(0,1)}P X Y P X Y =-==1{(,)(1,1)}3P X Y ===，则概率{1}P X Y +≤=_______.5.设12,X X 是总体X 的样本，若12(21)aX a X +-是()E X 的无偏估计量，则a =________. 二、选择题（每小题3分，共15分）1．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买一张，则前三个购买者中恰有一人中奖的概率为（ ）.A ．32100.70.3C ⨯⨯； B ．0.3； C ．740； D .2140. 2.下述函数中可以作为某一随机变量的分布函数的是（ ）. A ．21(),1F x x x =-∞<<∞+； B ．11()arctan ,2F x x x π=+-∞<<∞；C ．1(1),0()20,0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩； D . 2arctan ,.F x x x π-∞<<∞()=.3. 设随机变量X 与Y 相互独立，且22~(1,2),~(1,3),X N Y N 则()23X YVar -=（ ）. A ．2； B ．0； C ．5； D . 2- .4.设随机变量X 和Y 都服从泊松分布，且()5,()3Var X Var Y ==，则(2)EX Y -=（ ）. A ．-1； B ．-7； C ．11； D . 17.5.设12,,,n X X X 是总体2~(0,)X N σ的样本，,X S 分别为样本均值和样本标准差，则有课程考试试题 学期学年拟题学院（系）: 适 用 专 业:（ ）.A ．2~(0,)X N σ； B ．2~(0,)nX N σ； C ．22211~()nii Xn χσ=∑；D ．/~(1)X S t n -.三、计算下列各题（每小题12分，共24分）1.口袋中装有3个白球与2个红球，先从中任取一个球，观察球的颜色后不放回，同时放入另一种颜色的2个球，再从中任取1个球.（1）求第二次取到白球的概率；（2）若已知第二次取得了白球，求第一次取到的是白球的概率。
中国石油大学高等数学期末试题
A卷2011—2012学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷答案专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年月日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。
一．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 1．，，若与垂直，则=.2．设，则3．设由方程所确定，则4．设，而，其中，则______________.5．已知是长方形,,,则=2.6．设曲线为圆周,则=二．选择题（共4小题，每小题3分，共计12分） 1．下列级数中，绝对收敛的级数是（ C ）.(A)(B) (C) (D)2．设是正项级数，则下列结论中错误的是（D ）.(A) 若收敛，则也收敛 (B) 若收敛，则(C) 若收敛，则部分和有界 (D) 若收敛,则3．设曲线型构件的密度函数为,则构件对ｚ轴的转动惯量为 ( B ).(A)(B)(C)(D)4．设有直线L ：及平面，则直线L （B ）.(A) 平行于平面 (B) 与平面的夹角为 (C) 与平面垂直 (D) 与平面的夹角为)5,4,1(=a )2,1,1(=b b a λ+b a λ-λ7±)ln()1)(1(arctan y x y x xy z +--+==)1,1(|dz )(41dy dx +),(y x z 0=++xy ze yz xe =∂∂y z x ye y xe z +--()1(0)f x x x π=+≤≤01()cos ,2n n a s x a nx x ∞==+-∞<<+∞∑02()cos n a f x nxdx ππ=⎰()2s π-=12π+D a x b ≤≤01y ≤≤()1D yf x dxdy =⎰⎰⎰badx x f )(C222R y x =+ds x y x C ⎰+）—（3223R 2π∑∞=+-1)1()1(n nnn n ∑∞=--11)1(n n n ∑∞=-1)12(n nn∑∞=11n n∑∞=1n na∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=1n nalim =∞→n n a ∑∞=1n nan S ∑∞=1n na 1lim 1<=+∞→ρnn n a a Γ),,(z y x ρ⎰Γdsz y x ),,(ρdsz y x y x ⎰Γ+),,()(22ρ⎰Γdsz z y x 2),,(ρ⎰Γzdz z y x ),,(ρ⎩⎨⎧=+=-+08-205z x y x 03-2:=++∏z y x ∏∏6π∏∏3π三．解答题（共8小题，每小题8分，共计64分）1． 计算二重积分其中积分区域D 为区域.解： 作极坐标变换：，有------3分==------5分2．设为曲面在点(1,1,1)处指向外側的法向量，求 （1）函数在点(1,1,1)的梯度；（2）函数在点处沿方向的方向导数；解：=------1分------1分 ------1分 ------1分（1）函数在点(1,1,1)的梯度------2分(2)函数在点处沿方向的方向导数------2分.)(dxdy y x I D ⎰⎰-=}0,0),({222≥≥≤+=y x R y x y x D ，θθsin ,cos r y r x ===-=⎰⎰dxdy y x I D)(⎰⎰-20)sin cos (πθθθrdrr r d R⎰⎰-2020)sin (cos πθθθdrr d R0n 632:222=++∑z y x P z y x e u xy 2)ln(22+++=P z y x e u xy 2)ln(22+++=P n n ）（2,6,4141cos ,143cos ,142cos ===γβα1-e |2|1,1,12221,1,1+=++-=∂∂）（）（y x x x y e x u xy1e |211,1,122+=++=∂∂）（y x y x e y u x y1|1|1,1,11,1,1==∂∂）（）（z z u z y x e u xy 2)ln(22+++=P )1,1,1(++-=e e gradu z y x e u xy 2)ln(22+++=P n 1461131e -2141|n 1,1,1+=++++=∂∂e e u ））（（（）（3．计算三次积分的值.解：利用球面坐标系，积分化为--------4分----4分或利用柱面坐标系------4----4分4．设有幂级数，（1）求该幂级数的收敛半径 （２）求该幂级数的收敛域是 （３）求该幂级数的和解： (1) ==1收敛半径R=1 ------2分(2) 由于，收敛，所以收敛域为[-1,1]. ------2分(3)------3分由于级数在x=-1,x=1处收敛，且------1分12I dx dz=⎰222240cos sin I d d r drππθϕϕϕ=⋅⎰⎰222400cos sin 2d r dr ππϕϕϕ=⋅⋅⎰115π=122rI d rdr dzπθ=⎰⎰102r π=⎰115π=∑∞=++11)1(n n n n x nn n a a 1lim+∞→=ρ)2)(1()1(lim+++∞→n n n n n ∑∞=++-11)1()1(n n n n ∑∞=+1)1(1n n n ∑∞=++=11)1()(n n n n x x S ∑∞=++-=11))1(11n n x n n （∑∑∞=∞=+++-=1111)1(n n n n n x n x ∑∑∞=∞=++-=111)1(n n n n n x n x x ∑∑⎰⎰∞=∞=--=111n n xnxn dx x dx x x dxx dx xx x n n x n n ⎰∑⎰∑∞=∞=--=0111dx x x dx x x xx⎰⎰---=00111)1,1()1ln()1(-∈+--=x xx x =+---→x x x x )1ln()1(lim 11)1(1)1ln(lim 1=+---→x x x x ⎩⎨⎧=<≤-+--=∴1111)1ln()1()(x x xx x x S5．设∑ 为曲面 上侧为曲面正侧,计算解：法1：补辅助面，下侧为正侧， = ------1分------1分== ------1分=+ ------2分=+ =+------1分 =-----2分 法2：合一投影，=,222y x z --=⎰⎰∑+++=2222d d d d z yx y x z z y x I 0:1=∑z 2:),(22≤+∈y x D y x y x ⎰⎰∑+++=2222d d d d z y x yx z z y x I 2d d d d 2y x z z y x +⎰⎰∑=I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11⎰⎰⎰Ω+=z y x z d d d )21(21⎰⎰∑-12121⎰⎰⎰Ω+V z d )21(21⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+V z dV d π232⎰πθ20d ⎰20d πϕ⎰203sin cos dr r ϕϕπ232drr d ⎰⎰2320sin cos 2πϕϕϕππ232=⋅⋅1212ππ232π+⎰⎰∑-10)(21=-⎰⎰∑dxdy z =I π232π+,222y x z --=∑：2:22≤+y x D xy ,,222y x x z x ---='2d d d d I 2y x z z y x +=⎰⎰∑dxdy y x x x ))2()z ((2122D --+'-=⎰⎰dxdy y x y x x ))2(2(2122222D --+--=⎰⎰π232π+6.设有函数，问(1) 函数在点是否连续？说明理由.(2) 求函数 对的偏导函数解：(1) 取 y=kx,则函数极限与k 有关，极限不存在，由函数连续性定义， 函数在(0,0)点不连续. ------3分(2) 时，------5分7.设有力场， 求变力沿曲线L ：从(1,0)到(0,1)的一段所做的功.解： 功 ,------2分，故积分路径无关 ------2分= ------4分8．求函数在由直线及 坐标轴所围成的有界闭域D 上的最大值、最小值.解：令 =0=0，得驻点（0,0），（1,2）-----3⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f ),(y x f )0,0(),(y x f x ),(y x f x '=→),(lim)0,0(),(y x f y x 222201)1(lim k kx k kx x +=+→)0,0(),(≠y x 2222222222)()()()2()(),(y x x y y y x x xy y x y y x f x +-=+-+='0)0(00lim )0,0()0,(lim )0,0(200=∆+∆-∆=∆-∆='→∆→∆x x x x f x f f x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-='∴)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222y x y x y x x y y y x f x j x y i y y x F )12()1(),(2+++=21x y -=⎰+++=L dyx y dx y )12()1(w 2)12(,12+=+=x y Q y P x Q y y P ∂∂==∂∂2=w ⎰⎰+01132ydy dx 21-)4(),(2y x xy y x f --=6=+y x ---=')4(),(2y x y y x f x 2xy )24(2y x y --=)328(),(y x xy y x f y --='分在边界上，； 在边界上，在边界上，令=0，解得驻点 -----3分， .. 故，函数的极大值也是最大值是4，最小值是-64. ------2分四．证明题（本题6分）设且连续，试证， 其中积分区域D=证：因为积分区域D 关于直线对称，所以------1分于是------2分------3分)60(0≤≤=y x 0),(=y x f )60(0≤≤=x y 0),(=y x f 6=+y x 2)6(2)6,(x x x x f z --=-=)60(≤≤x )2)(6(6--=x x dx dz6,2==x x 64)4(22)4,2(|22-=⨯-===f z x 0)0,6(|6===f z x 4)2,1(=f 0)0,0(=f ,0)(>x f 21)()()(D=+⎰⎰dxdy y f x f x f {}21,21|),(≤≤≤≤y x y x x y =dxdyx f y f y f dxdy y f x f x f ⎰⎰⎰⎰+=+D D)()()()()()(）（dxdy x f y f y f dxdy y f x f x f dxdy y f x f x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+D D D)()()()()()(21)()()(dxdy x f y f y f y f x f x f ）（⎰⎰+++=D )()()()()()(2121121D==⎰⎰dxdy。
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π. 2. 函数22y xz +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分22()f x y dv+⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz.5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的(D)37 .10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ).(A) 流速场iz v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场kz F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A )(A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分6分）设()x y z x y z e -++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz e dx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540xy z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-；法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=. 15.（本题满分8分）求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，0(21)nn n x ∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑nn x ，10122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx ，则10011(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰xxn nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x即20222()(1)∞===-∑nn x nx xA x x ，0(21)∞=∴+∑n n n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x x x x x x .16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分.解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS（∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS05∑=+⎰⎰dS 222552+≤=⎰⎰x y dxdy 52251252π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI xxy dx x y dy，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q P x x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径，其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰ACx xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy 24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y xz dzdx xydxdy，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧.解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）2224200032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(0z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c， 切平面方程为0)()()(02020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即1202020=++czz b y y a x x ，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b cV x y z=⋅， 令)1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y ax c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，3c z=，故切点坐标为)3,3,3(c b a .20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]bbaaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则22[()][()]bba af x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D关于y x=对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=; （C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）.2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）.（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域2:11,01D x y x -≤≤≤≤-，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）21122()x dx f x y dy-+⎰⎰; （B ）211220()y dy f x y dx-+⎰⎰;（C ）12()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n∞=--∑（ B ）.（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y zu x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n naa +→∞=，级数211n n n a x ∞-=∑的收敛半径为2.25. 设221()x y f x e dy-=⎰，则111()(1).4xf x dx e -=-⎰6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩， 则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，(y z f =，求2z z x y x y ∂∂+∂∂. 解题过程是：令yu =，则()y zf u x ∂'=∂，()2zf u y x y∂'=∂，20.z zxy x y∂∂∴+=∂∂2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxy dxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥.解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，221Dxy dxdy x y∴=++⎰⎰，故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221Ddxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz .解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，zF x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y zM n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x zF z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y zF zx y F '∂=-=-'∂，0(1,2)5.M M z z dzdx dy dx dy x y ∂∂∴=+=--∂∂ 4. （本小题6分） 计算三重积分22x y dxdydzΩ+，其中Ω是由柱面21y x =-0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域. 解题过程是：利用柱面坐标变换，22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰14(cos sin )2000r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ 12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332r d rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-=6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数.解题过程是：因为1lim nn n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-，211()n n n S x x n ∞=+=∑1n n nx ∞==∑1nn x n∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dxn ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈--7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS∑=+⎰⎰，∑为立体221x y z +≤≤的边界. 解题过程是： 设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面22,01z x y z =+≤≤，2∑为221,1z xy =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.22112z z dS dxdy dxdyx y ⎛⎫∂∂⎛⎫=++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，2dS dxdy=，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()xy dS ∑+⎰⎰22()2Dx y dxdy =+⎰⎰22()Dx y dxdy++⎰⎰22(21)()Dx y dxdy =+⎰⎰2130(21)(21).2d r dr ππθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y+-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x yf xy Q x y y -=，;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂P Q y x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关.（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]cda ccbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰ ()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则132.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x=，求2.z z x y zx y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：2221212201(,)(,)(,).y xx y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nnn nx ∞=∑(3,3).-6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数32.3bπ=二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A )(A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y-=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n nan n ∞=⎛ ⎝∑（ B ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)xf '和(0,0)yf '. (7分) 解：令422442,lim (,)lim 1y y ky k x ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同，00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--'===∆∆， 00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→+∆--'===∆∆.2. 计算222I x y z dxdydzΩ=++其中Ω是由上半球面222z x y =--和锥面22z x y =+所围成的立体 . (7分) 解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=， :02,0,02.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤222I x y z dxdydz Ω=++2234000sin (22).d d d ππθϕϕρπ==-⎰⎰⎰3. 求锥面22z x y =+被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面∑：22,(,)xy z x y x y D =+∈=22{2}.x y x +≤22xz x y'=+22yz x y '=+ 22122.xyxyx y D D S dS z z dxdy dxdy ∑''∴==++==⎰⎰4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221xy +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式，222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()xy z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdzθ=，2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤ 2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim0,n n n nn nn→∞→∞⋅==312ln n nn ∞=∴∑收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n xn -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分）解：设级数的和函数为()S x ，则 121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞即111111()sin sin sin cos cos sin2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑2201(1)sin (1)2(2)!2nnnn x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑四、 设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数，证明：()2()Lxdy y x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式， ()()()LDxdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称）1(())()Dx dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D Dx dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y⎰⎰11 0),(=)1cos 1(21-.3．设函数21cos ,0()1,0xx f x xx x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= 212π+ .4．设曲线C 为圆周222R y x =+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则222x y z dvΩ++等于（ B ）.(A) 432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C) nn e n -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n n nn4. 设∑∞=1n na 是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A ） 若∑∞=1n na 收敛，则∑∞=12n na 也收敛 （B ）若∑∞=1n na 收敛，则11+∞=∑n n na a 也收敛（C ）若∑∞=1n na 收敛，则部分和nS 有界 （D ）若∑∞=1n na 收敛，则1lim 1<=+∞→ρnn n a a 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y xf u +=，求yx u ∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂221221131)2(22f f x xy yf x xf++++=2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(51=T52cos ,51cos ==βα13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yzy x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T 方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y xy x D .解dxdy xy dxdy y xdxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(223000d r dr πθ=+⎰⎰ =π84. 设立体Ω由锥面22z x y =+及半球面2211z x y =+--围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ 法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ：质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk =drr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰ 76kπ= . 法2：222222:1,:11D x y x y z x y ⎧+≤⎪Ω⎨+≤≤--⎪⎩(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydzρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111076r rkk d dr ππθ+-==⎰⎰⎰.法3：1222017||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰5．计算曲线积分⎰+++-=Cyx dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=Cdyx y dx y x I 1)()(dxdy y Px Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x .6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydzz y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222.154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d 7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 .解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x nn x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x==----⎰0=x 时，0)0(=S ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰Dx y dxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y x y x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=DDyxxy dxdy e edxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy e e 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy ee dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y xx y 221(21）五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--= （1）设),(0y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(0y x g ，试写出),(0y x g 的表达式。
2011-2012年--中国石油大学(北京)--采油工程--期末试卷含详细答案
中国石油大学（北京）2011—2012学年第二学期《采油工程》期末考试试卷（闭卷考试）班级：姓名：学号：分数：(试题和试卷一同交回)一、填空题（共20分，未标注每小题1分）1、油井流入动态曲线是指在一定地层压力下，油井产量与井底流压的关系曲线。
2、持液率是描述气液两相管流的重要参数，存在滑脱时的当地持液率大于无滑脱持液率，即滑脱使得气液混合物密度增大，从而造成重力损失增加。
3、气举阀可分为油压操作阀和套压操作阀。
对于套压操作气举阀，油管效应系数越大，打开阀所需的套压越小，而关闭阀所需的套压不变。
4、游梁式抽油机的机械平衡方式分为游动平衡、曲柄平衡和复合平衡。
（2分）5、扭矩因素的物理含义是单位悬点载荷在曲柄轴上产生的扭矩，其量纲为长度（单位m）。
6、抽油机示功图表示悬点载荷与悬点位移之间的关系曲线。
7、无杆泵主要有ESP、HP、JP、PCP，它与有杆泵采油的主要区别是不需要抽油杆传递地面动力，而是用电缆或高压液体将地面能量传输到井下，带动井下机组把原油抽至地面。
8、水质指标必须与实际地层相适应，水质标准不同，则处理工艺不同。
一般的水质处理措施有沉淀、过滤、杀菌、除油、脱气和曝晒。
9、吸水剖面对注水井配注和调剖都十分重要，常用同位素载体法方法进行测定。
吸水剖面可形象地反映出注水井不同吸水层吸水能力的大小。
10、节点系统分析方法中，节点类型有普通节点和函数节点。
11、获得地应力的主要方法有矿场测量或水力压裂法、实验室分析（ASR或DSCR）、测井曲线解释和有限元模拟法等。
12、水基冻胶压裂液配方组成包括稠化剂、交联剂法、破胶剂、表面活性剂或粘土稳定剂、破乳剂或PH调节剂等化学剂。
(2分)13、支撑剂在裂缝中的沉降速度由自由沉降速度经浓度校正、壁面校正和剪切校正获得。
14、实验确定的酸－岩反应动力学参数包括_反应速度常数、反应级数、反应活化能等。
15、酸化按工艺不同分为酸洗、基质酸化、酸压三种。
16、砂岩深部酸化工艺主要包括氟硼酸酸化和地下自生HF酸化等。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(3) (1)
A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。
一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
08091概率基础试卷
中国石油大学（北京）2008—2009学年第I 学期《概率统计基础》期末考试试卷A(闭卷考试)班级：姓名：学号：题号 一二三四五六七八九 总分得分一．判断题（共10分，每题2分） 请将各题正确答案填入相应方框内： 题号 12345得分答案1．设事件A 和B 构成全集S ，那么，事件A 与B 的并和事件A 与B 的交之间的交集是空集。
（ ） 2．从概率的定义我们知道：1)(0≤≤x F X 且1)(0≤≤x f X 。
( )3．如果随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为,),(xyke y x f =其中10<<x 且10<<y ，那么X 和Y 不是相互独立的. （ ）4．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f X ,定义H 为)(X h H =,则⎰⎰∞∞-∞∞->dh h hf dx x f x h H X )()()(.( )5．用矩估计法计算出的估计量是无偏的.( ) 二．填空题（共15分，每题3分） 请将各题正确答案填入相应方框内： 题号 12345得分答案1．设A 与B 为两个事件，且()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()________.P AB = 2．设随机变量X 的分布列为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛03.01.06512.043.02.03215.01.010~X ， 则._______)3(______,)52(______,)4(=≠=≤≤=≤X P X P X P3．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则.______=λ4．设总体X 服从正态分布(), 1N μ,n X X X ,,,21 为一样本,则()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i X X E 12______.5．设总体X 服从参数为λ的指数分布，其中0>λ未知，n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，则λ的矩估计为____________. 三．选择题（共15分，每题3分） 请将各题正确答案填入相应方框内： 题号 12345得分答案1．设2~(2,),(04)0.5,X N P X σ<<=且则[](0).P X <=(A) 0.65 (B) 0.45 (C) 0.95 (D) 0.252. 设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数)(y G 为 [ ] (A) ⎪⎭⎫⎝⎛-3131y F (B) ()13+y F (C) ()13+y F (D) ()3131-y F 3．设随机变量),2,1( =k X k 相互独立，具有同一分布，,,02σ==k k DX EX 且4k EX 存在，,2,1=k ，对任意0>ε，正确地为 [ ](A) 2211lim 1n k n k P X n σε→∞=⎛⎫->= ⎪⎝⎭∑ (B) 2211lim 1n k n k P X n σε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑(C) 211lim 1n k n k P X n σε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ (D) 211lim 0n k n k P X n σε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑4．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=elsewhere y x y x a y x f ,020,10),(),(，则常数[].=a(A)31 (B) 3 (C) 2 (D) 215．样本容量为n 时，样本方差2S 是总体方差2σ的无偏估计量，这是因为 [ ] (A) ()nSE 22σ=(B) ()22σ=SE (C) 22σ=S (D) 22σ≈S四．（12分）某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么 （1）一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？（2）已知一客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么，他属于那一类型的人？五．（14分）设总体),1(~p B X ,其中p 是未知参数.()54321,,,,X X X X X 是总体X 的样本,求(1) 样本的联合分布列；(2)若样本观测值为0，1， 0，1，1，求样本均值和样本方差； (3)求p 的最大似然估计量.六．（14分）设随机变量(,)X Y 的联合密度函数求 (1)⎪⎭⎫⎝⎛<<21,41Y X P ；(2)求Y X Z +=的概率密度)(z f Z ；(3)()Y X E -. 七．（7分）离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=33111117.04.00)(x x x x x F ，求X 的分布列。
中国石油大学《概率论与数理统计》复习试题与答案
概率论与数理统计》期末复习题一、填空题1. (公式见教材第10页P10) 设A,B为随机事件，已知P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P( B-A)= _______ 。
2. __________________________________________ (见教材P11-P12 )设有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，今从中任取3个，则至少有一个是一等品的概率是.3. (见教材P44-P45)设X~N3, 4 ,且c 满足PX.C=PX 空C ，则C =O4. (见教材P96)设随机变量X服从二项分布，即X~B(n, p),且EX =3, p=1/7,则n= 厶5. (见教材P126 ) 设总体X服从正态分布N(2,9) , X,,X^ X9是来自总体的样本，—1 9X X i 则P(X_2)= _____________ 。
9 i 46. (见教材P6-7 )设A,B是随机事件，满足P(AB) = P(AB),P(A) = p,则P(B) = _.7. (见教材P7)代B事件，则AB -• AB =___________ 。
8. (见教材P100-P104 ) 设随机变量X,Y相互独立，且X ~ N(1,5),Y ~ N(1,16),Z =2X -Y -1则Y与Z的相关系数为__________9. (见教材P44-P45)随机变量X ~ N(2,4), ：(1) =0.8413, ：'(2) =0.9772，则P{—2 空X 乞6}=10. (见教材P96)设随机变量X 服从二项分布，即X ~ B(n,p),且EX =3, p=1/5，贝V n = _____ .y Q~X > 0 11（见教材P42） 连续型随机变量X 的概率密度为f （x ）=j 」'则0,x 兰 012. （见教材P11-P12 ）盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品.现从盒中任取3只，设3只中所含次品数为X ，则P X = 1二 ___________________ .2 213.（见教材P73-P74） 已知二维随机变量（X ，丫）~ N （」1, 一；匚1 ,匚2；訂，且X与Y 相互独立，则P = ______二、选择题1.（见教材P37-38）设离散型随机变量 X 的分布列为其分布函数为 F （x ）则F （3）= _______ .3. （见教材P133-136）矩估计是（A. 0B. 0.3C. 1D. 0.82.(见教材 P39-40) 设随机变量X 的概率密度为 x, f (x )= <2 -x,0,1 ：： x_ 2则X 落在区间0.4, 1.2内的概率为). (A) 0.64;(B) 0.6;(C) 0.5;(D) 0.42 .A.点估计B.极大似然估计C. 区间估计D.无偏估计4.（见教材P31）甲乙两人下棋，每局甲胜的概率为0.4 ,乙胜的概率为0.6 , 比赛可采用三局两胜制和五局三胜制，则采用_____________ 时,乙获胜的可能性更大？A.三局两胜制B.五局三胜制C.五局三胜制和三局两胜制都一样D.无法判断5.(见教材P69和P71和P100)下列结论正确的是()A. 与n相互独立,则与 n不相关B. 与n不独立,则与耳相关C. 与n不相关,则与 n相互独立D. 与n相关，则与耳相互独立6(见教材P33).每次试验的成功率为p(0 ::P :::1),则在3次重复试验中至少失败一次的概率为()。
《概率论与数理统计》期末考试(B)卷答案与评分标准
海南师范大学物理、电子、自动化、地理、城规、计算机专业《概率论与数理统计》 2009—2010学年度第一学期期末考试（B ）卷答案与评分标准注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上3．考试形式：闭卷4. 本试卷共五大题，满分100分， 考试时间100分钟一、单项选择题（本题共六小题，每小题3分，共18分。
在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分）1、将3个不同的球随机地放入4个不同的杯中, 有一个杯子放入2个球的概率是（ B ）.. A ：324234C C ⋅; B ：324234P C ⋅ ; C ：424233P C ⋅; D ：424233C C ⋅.2、下列函数中，可看作某一随机变量X 的概率分布密度函数的是( C ) A ：;,1)(2+∞<<-∞+=x x x f B ：;,11)(2+∞<<-∞+=x xx fC ：;,)1(1)(2+∞<<-∞+=x x x f π; D ：.,)1(2)(2+∞<<-∞+=x x x f π3、己知随机变量Y X ,相互独立且都服从正态分布)4 ,2(N , 则( B ) . A ：)4 ,4(～N Y X +； B ：)8 ,4(～N Y X + ； C ：)4 ,0(～N Y X -； D ：Y X -不服从正态分布.4、己知随机变量X 服从二项分布)2.0 ,10(B , 则方差=)(X D （ D ）. A ：1； B ：0.5； C ：0.8； D ：1.6.5、己知随机变量X 的期望5)(=X E , 方差4)(=X D , 则（ A ）. A ：98}65-X {≥<P ； B ：98}65-X {≤<P ； C ：98}65-X {≥≥P ； D ：98}65-X {≤≥P .6、设4321,,,X X X X 是来自正态总体) ,(2σμN 的简单随机样本，下列四个μ的无偏估计量中,最有效的是( D ). A ：)(313211X X X ++=μ； B ：)2(413214X X X ++=μ； C ：)32(613213X X X ++=μ； D ：)(4143212X X X X +++=μ.二、填空题（将答案直接填入栝号内，本题共六小题，每小题3分，共18分）1、设B A 与为随机事件,3.0)(,5.0)(==AB P A P ，则条件概率=)(A B P ( 0.6 )2、已知随机变量X 服从区间,10]2[内的均匀分布，X 的概率分布函数为),(x F 则=)4(F （ 0.25 ）。
石油大学 概率论ch5LX-2012
( xi )
i 1
n
x i ( i 1, 2 , , n )
ln L n ln 2 2 ( x i )
i 1
d ln L d
2n 0
(与参数 无关)
，因此当 取得最大值， 所以
由于 必须满足 x i
( i 1, 2 , , n )
中国石油大学统计系
frist基Fra bibliotek本要
求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的 概念。 2．了解频率分布表、直方图的作法。 3．理解样本均值、样本方差的概念，掌握根据 数据计算样本均值、样本方差的方法。 4．了解产生 2 变量、 t 变量、 F 变量的典型模 式；理解 2 分布、 t 分布和 F 分布的分位数，会查相 应的数值表。 5．了解正态总体的某些常用抽样分布，如正态 总体样本产生的标准正态分布、 2 分布、 t 分布、 F 分布等。
第五章 数理统计初步综合练习
一、填 空
二、选 择
题
题
三、综合计算题及证明题
Exit
内 容 提 要
本章主要介绍了数理统计的基本概念 （样本、总体、统计量及几种常用统计量 的分布）、参数估计和假设检验。学习本 章应初步掌握用数理统计处理随机现象的 基本思想和方法，提高运用数理统计方法 分析和解决实际问题能力。基本要求如下：
n
xi n
ln L n ln p ( x i n ) ln( 1 p )
i 1
n
d ln L dp
d ln L dp
n p
i 1
xi n
1 p
令
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %； 第 四 章 不定积分 15 %； 第 五 章 定积分及其应用 26 % . 第 六 章 常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分） 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分） 二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分 ）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=， 故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分） 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分） 所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名A 卷学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
中国石油大学B答案
中国石油大学（北京）2007--2008学年第二学期《概率统计基础》期末考试试卷标准答案B(闭卷考试)一、填空题1．43 2．4 3．9291==βα 4．0．9876 或者1)5.2(2-Φ5．10,<<<x x y x 21 6． （14.737，15.263）二、选择题A B D C D B三、解：设)4,3,2,1(=i A i 分别表示事件：选择一二三四级选手。
设B 表示选手进入决赛。
则201)(208)(207)(204)(4321====A P A P A P A P 2.0)/(5.0)/(7.0)/(9.0)/(4321====AB P A B P A B P A B P所以根据全概率公式∑==41)/()()(i Ai B P Ai P B P635.02.02015.02087.02079.0204=⨯+⨯+⨯+⨯= 。
6分 根据贝页斯公式：)()/()()/(222B P A B P A P B A P =3858.012749635.07.0207==⨯= 。
6分四、解：1）{}5.0<ξP ＝{}5.05.0<<-ξP （3分） ＝5.0)1(215.05.0=+⎰-dx x （5分）2）⎪⎩⎪⎨⎧<<-+=+=,013,)3(81)21(21)(y y y f y f η (5分，公式对给2分，最后结果3分)3）=-)1(2ξE 321)1(21)1(112-=-+-⎰-dx x x （5分，公式对给3分，最后结果2分)五、解：设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iX Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (3分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分) 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (2分)六、 （1）31448)(10x x xydy x f x x X -==≤≤⎰⎩⎨⎧≤≤-=else x x x x f X 01044)(3。
中国石油大学090107概率论与数理统计期末考试复习题及参考答案
《概率论与数理统计》课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为（）。
A.B.C.D.答案：B2.设为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，则总体方差的无偏估计量为（）。
A.B.C.D.答案：A3.设为来自总体的一个样本，为样本均值，已知，记，，则服从自由度为的分布统计量是（）。
A.B.C.D.答案：D4.设总体为未知参数，为X的一个样本，为两个统计量，的置信度为的置信区间，则应有（）。
A.B.C.D.答案：D5.某人射击中靶的概率为3/5，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率（）。
A.B.C.D.答案：C6.设和均服从正态分布，记，，则（）。
A.对任何实数都有B.对任何实数都有C.仅对的个别值有D.对任何实数都有答案：D7.设和为任意两个事件，且，，则必有（）。
A.B.C.D.答案：D8.已知事件相互独立，,则下列说法不正确的是（）。
A.B.C.互不相容D.答案：C9.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是（）。
A.0.6B.5/11C.75%D.6/11答案：C10.已知，，，求=（）。
A.1/4B.3/5C.2/5D.1/3答案：C11.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.5和0.6，则目标被命中的概率是（）。
A.0.9B.0.7C.0.55D.0.8答案：D二、填空题1.设的概率分布分别为；则=（）。
答案：2.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。
则恰有一次取到次品的概率为（）。
答案：10/363.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则至少取到一个正品的概率为（）。
答案：65/664.设的概率分布为，则的分布函数（）。
答案：5.已知随机变量的分布列为则：随机变量的期望=（）。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
中国石油大学(华东)2012-2013学年第一学期大物期末试卷
一、选择题（10小题，共30分）
1. 根据高斯定理的数学表达式
S
E dS q / 0
可知下述各种说法中，正确的是：
C
√
(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场 强一定为零． (B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点 场强一定处处不为零． (C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场 强不一定处处为零． (D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处 无电荷．
√
9. 如果(1)锗用锑(五价元素)掺杂，(2)硅用铝(三价元素)掺杂， 则分别获得的半导体属于下述类型 B
(A) (1)，(2)均为n型半导体．
√ (C) (1)为p型半导体，(2)为n型半导体．
(B) (1)为n型半导体，(2)为p型半导体．
(D) (1)，(2)均为p型半导体．
10. 在激光器中利用光学谐振腔
√
√
5. 如右图，无限长载流直导线与正三角 形载流线圈在同一平面内，若长直导线 固定不动，则载流三角形线圈将 A (A) 向着长直导线平移． (B) 离开长直导线平移． (C) 转动． (D) 不动．
√
6. 自感为0.25 H的线圈中，当电流在(1/16) s内由2 A均匀减小到 零时，线圈中自感电动势的大小为 C (A) 7.8 ×10-3 V． (B) 3.1 ×10-2 V． (C) 8.0 V． (D) 12.0 V．
解：(1) 在球内作一半径为r的高斯球面，按高斯定理有
S
D dS q0
4 r 2 D1 q0 0
E 1 0
(r≤R)
D1 0
（官方完整版）2011中国石油大学胜利学院期末考试试卷（精简版）
（官⽅完整版）2011中国⽯油⼤学胜利学院期末考试试卷（精简版）⽅便缩印有想法⼉的留中国⽯油⼤学胜利学院期末考试试卷(精简版)⼀、填空题巩⽟峰(^_^)∠※1、⽑细管上升现象产⽣的原因是液体对⽑细管的润湿性、曲界⾯两侧的压⼒差。
2、真实⽓体的液化条件是T P A*3、理想溶液与理想稀溶液的区别在于理想稀溶液中溶质符合亨利定律，溶剂符合拉乌尔定律；理想溶液在恒温恒压下，在全部组成范围内每种组分的蒸⽓均服从拉乌尔定律的溶液。
4、化学吸附的吸附⼒是化学键⼒。
5、⽔在聚⼄烯板上的接触⾓θ>90o，当⽤肥皂把聚⼄烯板处理后θ<90o，这⼀变化过程称为润湿反转。
6、Langmuir吸附等温式可写为（Γ=Γ∞·bc1bc ）7、表⾯活性物质分⼦的结构特征是（⼀端是亲⽔基，⼀端是亲油基，具有两亲结构）。
8、吉布斯吸附等温式可写为（Γ=-RT c·dc da），其适⽤条件是（适⽤于溶液表⾯吸附）。
9、⼆组分理想溶液的t-x B（y B）相图的绘制⽅法有（实验法、解析法、间接法）。
10、真实⽓体的范德华对⽐状态⽅程式是(Pr﹢2r V3)(3Vr﹣1)=8Tr 适⽤于中压范围。
11、⽤FeCl3⽔解的⽅法制备Fe（OH）3溶胶，其胶团结构式是﹛[Fe(OH)3]m·nFeO+·（n-x）Cl｝x+·xCl—向溶胶中加电解质使ξ=0时写出其胶团结构式[Fe(OH)3]m·nFeO+·nCl—12、⾼分⼦溶液加到溶胶中，产⽣的作⽤可能是（保护作⽤）、（敏化作⽤）、（絮凝作⽤）。
13、原油脱⽔（破乳），采⽤的主要⽅法有（破乳剂破乳法）、（⾼压电破乳法）、（热破乳法）等。
⼆、单项选择题1、克-克⽅程不适⽤于：两种固体晶型转变2、在25℃时，CH4（g）溶解在⽔和苯中的系数分别为k1和k2，⽽且k1＞k2，则在相同的平衡分压P（CH4）下，CH4在⽔中的溶解度⼩于在苯中的溶解度。
【免费下载】中国石油大学华东 期末试卷A64
(C) 12
(C) 0.75
2 0
1 3
a
f (x)dx
，
本页共 20 分
得 .分
(D) b a
(D) 4
(D) 0.25
.
5.维纳过程是( ). (A)连续型随机过程 (C)离散型随机过程
ห้องสมุดไป่ตู้
三、计算题(共 6 个题目，共 45 分) 1.(10 分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装 50
5．可能用到的数值 (1.645) 0.95 ， (1.96) 0.975
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2011-2012中国石油大学物理(2-2)期末试题及其答案
2011—2012学年第一学期《大学物理（2-2）》期末试卷（信控学院）专业班级姓名学号开课系室物理与光电工程系考试日期 2012年1月7日14:30-16:301．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面整洁；3．本试卷共三道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共9页。
一、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、（本题3分） ［ ］ 电场中任意高斯面上各点的电场强度是由： (A) 分布在高斯面内的电荷决定的。
(B) 分布在高斯面外的电荷决定的。
(C) 空间所有电荷决定的。
(D) 高斯面内电荷的代数和决定的。
2、（本题3分） ［ ］一平行板电容器充电后，与电源断开，然后再充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质。
则其电容 C 、两极板间电势差 U 12 及电场能量 W e 与介质前比较将发生如下变化： (A) 12e C U W ↑↑↑ (B) 12e C U W ↑↓↓ (C) 12e C U W ↑↑↓(D) 12e C U W ↓↓↓3、（本题3分） ［ ］ 关于电磁场的边界条件，下列说法正确的是：(A) 在没有自由电荷的电介质分界面上电位移矢量连续。
(B) 在没有自由电荷的电介质分界面上电场强度连续。
(C) 在没有传导电流的分界面上磁场强度的切向分量连续。
(D) 在没有传导电流的分界面上磁场强度的法向分量连续。
4、（本题3分） ［ ］氢原子中处于3d 量子态的电子，描述其量子态的四个量子 数（n ， l ，m l , ，m s ）可能取的值为：(A) （13112-，，，） (B) 1(101)2-，，， (C) 1(212,)2，， (D) 1(3,20,)2，5、（本题3分） ［ ］p 型半导体中杂质原子所形成的局部能级(也称受主能级)，在能带结构中应处于 (A) 满带中。
(B) 导带中。
(C) 禁带中，但接近满带顶。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国石油大学概率论2011-2012期末试卷答案及评分标准--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________Ａ卷2011—2012学年第一学期《概率论与数理统计》试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年1月3号页码一二三四五六七总分满分 20 15 10 20 12 13 10 100 得分阅卷人备注：1．本试卷正文共7页；2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4．最后附页不得私自撕下，否则作废.5．可能用到的数值(1.645)0.95Φ=Φ=，(1.96)0.975一、填空题（每空1分，共10分）1.设()0.4,()0.7P A P A B ==U ，那么若,A B 互不相容，则()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B = 0.5 .2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___.3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 .4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max(,)2}P X Y ≤= 4/9 .5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为6.设总体12~(),,,,n X P X X X λL 为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均值，则EX = λ ，DX =nλ. 二、选择题(每题2分，共10分)1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 等于( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a -2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a 有( B ).(A)0()1()aF a f x dx -=-⎰ (B)01()()2aF a f x dx -=-⎰(C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=-3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ).(A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 44.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 25.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥5.维纳过程是( A ).(A)连续型随机过程 (B)连续型随机序列 (C)离散型随机过程 (D)离散型随机序列三、计算题(共6个题目，共45分) 1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？解：设12;A A 分为来自甲乙箱；B 为正品（1）14113()()25220P B =+=（5分） （2）11251()2/77/20P A B ⨯== （10分） 2.(5分)已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？解：110001110001000{1000}x P X edx e +∞--≥==⎰（4分）于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为5e - （5分）3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数数器,()N t表示在[0,]t内到达计数器的粒子个数,试求：(1)()N t的均值、方差、自相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.解：()4;()4;()()164min{,}EN t t DN t t EN s N t st s t===+（各一分，共三分）（2）平均间隔为1/4分钟（5分）4.(5分)设总体2~(,)X Nμσ的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求μ的置信度为0.95的置信区间(写出过程).解：由题知~(0,1)N（2分）于是由0.9751.96U=知置信区间为（4.804,5.196）（5分）5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、 3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是 等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0n X n ≥表示第n个时刻质点所处的位置，初始分布为()1(0),1,2,33P X i i ===.求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵； (2){}(0)1,(1)2,(2)3P X X X ===； (3){}(2)2P X =.解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（4分）（2）原式=1133119⨯⨯=（7分） （3）原式=7111339313()27++= （10分）6.(10分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=，其他，02)(bx a x x f ，且12=EX .求：(1)b a ,的值；(2)}1{<X P .解：由2212baxdx b a ==-⎰；23441212()baEX x dx b a ===-⎰解得a b ==（6分）（2）原式=11/2xdx = （10分）四、（12分）设随机向量(,)X Y 的概率密度为(2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他求: (1)常数A ；(2)关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立； (3)2ZX Y =+的概率密度.解：（1）(2)001/2;2x y Ae A A +∞+∞-+==∴=⎰⎰（2分）（2）(2)2(2)00()20020()200x x y X yx y Y e x f x e dy x e y f y e dx y -+∞-+-+∞-+⎧≥==⎨<⎩⎧≥==⎨<⎩⎰⎰ （7分）显然，独立 （8分）（3）(2)210()2000()0z zx y Z x y zzZ e ze z F z edxdy z zez f z z ---++≤-⎧--≥==⎨<⎩⎧≥=⎨<⎩⎰⎰（12分）五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度22(),0,0,()0,0.xxf xxαα-⎧>>=≤⎩123,,,,nX X X XL为X的简单随机样本,求：(1)未知参数α的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.解：（1）23()xEX dx Xα+∞-===⎰ˆ2Xα∴=（5分）21211232()(,)(4)niiXn ni iL f x x eαααπα=---∑=∏=∏2211ln3ln ln(^^^niiL n Xααα==--+∑不含）23132ln/0niind L d Xααα==-+=∑ˆMLEα= (10分)（2）ˆE E X αα=== 无偏 （13分）六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数.求X 的分布律、分布函数、数学期望和方差.解：由题知，25~(3,)X B 分布律332355{}()();;;;0,1,2,3k k kP X k C k -=== （4分） 分布函数2712581125117125001()122313x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤⎪⎩ （6分）6/5;18/25EX np DX npq ==== （10分）----------THE END, THERE IS NO TXT FOLLOWING.------------。