概率论与数理统计 习题课

难点
1．统计量和估计量等概念的理解。 2．极大似然估计法的基本思想的理解。 3．统计量的分布及不同情况下临界值的确定。
中国石油大学统计系
重要结论 1：设 EX , DX 2 , X1, X 2，, X n 是来自
X 的一个样本,则 E X , D X 2 , ES 2 2 ;
n
（ D ）。
( A ) H 0 为真时，接受 H 0 ( B ) H 0 为真时，拒绝 H 0 ( C ) H 0 不真时，拒绝 H 0 ( D ) H 0 不真时，接受 H 0
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3．设 X1，X2，，Xn为来自总体 X 的一个 样本，X 为样本均值，EX 未知，则总体方差 DX 的
第五章 数理统计初步综合练习
一、填 空 题 二、选 择 题 三、综合计算题及证明题
Exit
内容提要
本章主要介绍了数理统计的基本概念（样本、总体、统计量及几种常用 统计量的分布）、参数估计和假设检验。学习本章应初步掌握用数理统计处 理随机现象的基本思想和方法，提高运用数理统计方法分析和解决实际问题 能力。基本要求如下：
8．理解区间估计的概念，会求单个正态总体的 均值和方差的置信区间。
9．理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的 基本步骤，了解假设检验可能发生的两类错误。
10．了解单个正态总体的均值和方差的假设检 验。
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重点
1．样本、统计量和估计量等概念的理解。 2．矩估计法和极大似然估计法。 3．估计量的评选标准（无偏性、有效性）。 4．正态总体的均值和方差的置信区间。 5．假设检验的基本思想方法、步骤及两类错误。
则当 a 1/20 ，b 1/100 时，统计量 X 服从 2 分 布，其自由度为 2 。
分析：依题意，要使统计量 X 服从 2 分布，则必
需使a1/2 ( X1 2 X 2 ) 及b1/2 (3X 3 4 X 4 ) 服从标准正态
分布。由相互独立的正态随机变量的性质知
a1/2 ( X1 2 X2 ) ~ N(0，(4a 16a)) ，从而解得
无偏估计量为(
B )。
( A)
1n
n
i 1
(
X
i
X )2
(B)
frist
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基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的 概念。
2．了解频率分布表、直方图的作法。 3．理解样本均值、样本方差的概念，掌握根据 数据计算样本均值、样本方差的方法。
4．了解产生 2 变量、 t 变量、 F 变量的典型模
式；理解 2 分布、t 分布和 F 分布的分位数，会查相 应的数值表。
量
，在 H0 成立条件下，统计量服从
分布。
分析：应选统计量U
X 0
22
，在 H0:
0
n
条件下，统计量服从标准正态分布（ N(0,1) ）。
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6．设 X1，X 2 ，X 3，X 4 是来自总体 N (0，22 ) 的
简单随机样本，
X a( X1 2 X 2 )2 b(3X 3 4 X 4 )2
设 H0: 0 应选统计量
，在
H0: 0 条件下，统计量服从
分布。
分析：应选统计量 T
X 0
S2
，在 H0:
0
n
条件下，统计量服从自由度为 n 1的 t 分布。
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5． 设 X ~ N ( ,22 ), X1, X 2 X n 为一个样
本，其中 0 已知，检验假设 H 0 : 0 应选统计
n 对给定的 =1－0.95，由 P{U } 1 / 2 0.975
查标准正态分布表求得 =1.96。得 的置信度为
0.95 的置信区间（5－1.96/10，5+1.96/10）。即
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3．设总体 X ~ N（， 2），X1，X 2，，X n 为
X 的一个样本，当 2 未知时，求 的区间估计所
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二．选择题
1．记 H 0 为待检验假设，则所谓犯第一类错误指的是
（ D ）。
( A ) H 0 为真时，接受 H 0 ( B ) H 0 不真时，接受 H 0 ( C ) H 0 不真时，拒绝 H 0 ( D ) H 0 为真时，拒绝 H 0
2．记 H 0 为待检验假设，则所谓犯第二类错误指的是
5．了解正态总体的某些常用抽样分布，如正态
总体样本产生的标准正态分布、 2 分布、t 分布、F
分布等。
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6．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念。 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）与极大似然估计法。
7 ．了 解 无 偏 性 、有 效 性 和 一 致 性（ 相 合 性 ）的 概念，并会验证估计量的无偏性、有效性。
重要结论 2: mk p EX k k
mk p E( X )k k
重要结论 3：设 X1, X2，, Xn 是来自总体 X ~ N (, 2 )
的样本， X、S 2 分别为样本均值和样本方差，则有
（1） X
~
N(， 2
/ n)；
（2）(n 1)S 2
2
~
2 (n 1) ；
（3） X、S 2 相互独立； （4） X ~ t(n 1)
Q2 (n 1)n
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2．设由来自总体 X ~ N (，1) 的容量为 100 的样本测得样本均值 X 5，则 的置信度近似等
于 0.95 的置信区间为 （4.804，5.196) 。
分析：本题属于方差已知时求数学期望的区间估 计，故取样本函数
U X ~ N (0,1) 2
构造样本函数为
；对给定的
(0 1) ， 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间
为
。
分析：所构造样本函数为 T X ， 的
S2 n
置信度为1 的置信区间为
X S2 n ,
X
S2 n
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4．设 X ~ N (， 2 ) ， X1，X 2 ，，X n 为一
个样本，其中 0 已知，则方差 2 未知时，检验假
S/ n
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一．填空题
1．设 X1，X2，，Xn来自 X ~ N (， 2 )，
其中 ，
2 未知,记
X
1n
n
i 1
X
i
、Q2
n
( Xi
i 1
X )2
,
则假设 H0 : 0的t 检验使用统计量为 t =
分析：由于 0
0，S2
1n
n
1
(
i 1
X
i源自文库
X )2
所以
T
X 0
S2
n
X