高等应用数学电子教案7-4

小时）的分布列见下表，试比较两厂生产的产品质
量．
P
800
900 1000 1100 1200
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
P
800 900 1000 1100 1200
0.2 0.2
0.2 0.2 0.2
解
E ( ) 8 0 . 0 1 9 0 0 . 0 2 1 0 0 0 . 4 1 0 0 1 . 2 0 1 0 0 2 . 1 0
一、案例 [轮胎质量]
为了比较两家工厂生产的轮胎质量，某汽 车运输公司做了这样的试验，让14辆车况 相同的汽车分别装上这两家工厂生产的牌 号为A，B的轮胎，并且统计了每辆车在轮 胎损坏前所行驶的公里数，见下表
A牌轮胎
B牌轮胎
公里 数
车辆 数
频率
11000 12000 14000
1
2
4
1
2
4
7
7
7
那么，究竟用什么办法来对机床切割水平进行评价呢？
五、 概念和公式的引出
离散型随机变量的方差 设 是一随机变量，如果 E(E)2 存在，则称 E(E)2为 的方差，记作
D()或D，即D()E(E)2，并称 D 为
的均方差或标准差．
六、进一步练习
练习[质量评价]
设甲、乙两工厂生产同一种设备，其使用寿命（单位：
而乙厂生产的产品使用寿命却比较分散，说明乙厂
产品质量的稳定性比较差．
下面用方差来进行描述．
D ( 8 1 0) 2 0 0 0 .1 0 ( 9 0 1 0) 2 0 0 0 .2 0 ( 10 0 1) 2 0 0 0 .4 0 0
( 11 10 0 )2 0 0 0 .2 ( 0 12 10 0 )2 0 0 0 .1 1 020
1000
E () 8 0 . 0 2 9 0 0 . 0 2 1 0 0 0 . 2 1 0 0 1 . 2 0 1 0 0 2 . 2 0
1000 两厂生产的设备使用寿命的均值相等，但从分布列
可以看出，甲厂生产的产品使用寿命比较集中在
1000小时左右，说明甲厂产品质量的稳定性较好，
因为 E()E() ，所以自动机床A在1000只产品中
所出的平均次品数较少．因此，我们认为A机床加工 的产品质量较高．
四、案例[误差评价]
线切割机床在切割某一批圆柱形钢件时，已知切割后 的平均长度为30cm，要判断该机床的切割水平．如 果切割后的钢件大部分都在30cm左右，则符合精度 要求，我们认为切割水平较好；如果切割后的钢件离 30cm差异较大，虽然同样满足切割的平均长度为 30cm，但我们认为切割水平有问题．
8000
3 3 7
10000 14000 40000
2
1
1
2
1
1
7
7
7
从每组轮胎所行驶的平均公里数来看：
A牌轮胎的平均公里数为
110 101 020 201 040 401 03（0km0）0
7
7
7
B牌轮胎的平均公里数为
80 3 0 100 0 2 1 04 0 0 1 4 00 0 1 1 04 0 （k0 m）0
E
xf (x)dx
否则，称 的数学期望不存在．
连续型随机变量的方差 设连续型随机变量
具有密度函数f(x) ，如果广义积分 (xE)2f(x)dx
存在，则称该积分为随机变量 的方差，记作
D( ) ，即
D (xE)2f(x)dx
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1
7.4 随机变量的数字特征
7.4.1 离散型随机变量的数学期望和方差 7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差 7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差 7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差
7.4.1 数学期望和方差的概念
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、案例 五、概念和公式的引出 六、进一步的练习
1000只产品所出的次品数分别用 , 表示，经过 一段时间的考察， , 的分布列分别是
0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
0123 P 0.5 0.3 0.2 0
问哪一台机床加工的产品质量好些？
解 随机变量 , 的数学期望分别为
E ( ) 0 0 . 7 1 0 . 1 2 0 . 1 3 0 . 1 0 . 6 E () 0 0 . 5 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 0 . 7
产品质量比较稳定，比乙厂的产品质量好．
7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差
一、概念和公式的引出 二、进一步的练习
一、 概念和公式的引出
连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量
具有密度函数f(x) ，如果广义积分 xf (x)dx
绝对收敛，则称该积分为随机变量 的数学期望
（或均值），记作 E()或E,即
解 产品产值 是一个随机变量，其分布列为
6
5.4
Байду номын сангаас
5
4
0
P 0.7
0.1
0.1 0.06 0.04
所以
E ( ) 6 0 . 7 5 . 4 0 . 1 5 0 . 1 4 0 . 0 6 0 0 . 0 4
5.48
练习2 [产品质量]
设A、B两台自动机床，生产同一种标准件．生产
7
7
7
7
所以汽车运输公司认为B牌轮胎质量较好．
二、 概念和公式的引出
离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量
的分布列为
x1 x2 … xk …
P p1 p2 … pk …
若级数 x k p k 绝对收敛，则称级数 x k p k
k 1
k 1
为随机变量 的数学期望或均值，记作E( ) 或 E
即 E() xk pk ．如果上式中的级数不绝对收敛，
k1
这时称 的数学期望不存在．
三、进一步练习
练习1[产品的平均产值]
一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种， 相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04，若其 产值（单位：元）分别为6，5.4，5，4，0，求产品 的平均产值．
D ( 8 1 0 ) 2 0 0 0 .2 0 ( 9 0 1 0 ) 2 0 0 0 .2 0 ( 1 0 0 1) 2 0 0 .2 0
( 11 10 0 )2 0 0 0 .2 ( 0 12 10 0 )2 0 0 0 .2 0 200
因为 DD，所以甲厂产品寿命的分散程度比较小，