二阶线性微分方程及其解法

n 阶微分方程的一般形式为：
()(,,',",,)0n F x y y y y =L ，
一般情况下，求n 阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.
一、 二阶线性微分方程解的结构
如果二阶微分方程)',,(''y y x F y =的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为
).()(')(''x f y x q y x p y =++ （）
如果0)(≡x f ，则方程（）成为
.0)(')(''=++y x q y x p y （）
方程（）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（）称为二阶非齐次线性微分方程. 定理 齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个解，则
2211y c y c y +=
也是微分方程（）的解，其中21,c c 为任意常数.
证： 将2211y c y c y +=代入方程（）的左端，可得
))(()')((')'(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++
))(()'')(()''''(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++=
=+++))(')(''(1111y x q y x p y c ))(')(''(2222y x q y x p y c ++
=0，
所以，2211y c y c y +=也是微分方程（）的解.□
定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加. 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y ，很容易得到含有任意常数21,c c 的解，2211y c y c y +=. 如果解1y 和2y 有一定关系，那么，解2211y c y c y +=中的任意常数21,c c 可以合并成一个任意常数. 因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y 要满足哪些条件才能使解2211y c y c y +=成为二阶齐次线性微分方程的
通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念.
定义 设函数1y 和2y 是定义在某个区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数21,c c ，使
02211=+y c y c
在区间I 上恒成立，则称函数1y 和2y 在区间I 上是线性相关的，否则是线性无关的.
确定两个函数1y 和2y 在区间I 上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比12y y 是否为常数. 如果12y y 等于常数，则1y 与2y 线性相关；如果12
y y 等于函数，则1y 与2y 线性无关. 例如, 123,y y =则1y 与2y 线性相关. 12
y x y =,则1y 与2y 线性无关. 定理 二阶齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则
2211y c y c y +=
是微分方程（）的通解，其中21,c c 为任意常数.
例如, 1x y e =,22x y e =,3x y e -=42x y e -=都是二阶齐次线性微分方程10
y ''-=的解, 21,c c 是任意常数,则下列哪些选项表示微分方程10y ''-=的通解:
A. 1122c y c y +
B. 1124c y c y +
C. 112c y c +
D. 1324c y c y +
E. 113c y y +
F. 114y c y +
G. 112234()()c y y c y y +++
由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理,可知:选项B,G 为该方程的通解.
本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程.
定理 非齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果*y 是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y 是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则
*y Y y +=
是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.
证： 将*y Y y +=代入方程（）的左端，可得
*))((*)')(('*)'(y Y x q y Y x p y Y +++++
*))(()*'')(()'*'''(y Y x q y Y x p y Y +++++=
=+++))(')(''(Y x q Y x p Y *))(*')('*'(y x q y x p y ++
=)(x f ，
所以，*y Y y +=是微分方程（）的解，又Y 是二阶齐次线性微分方程（）的通解，它含有两个任意常数，即解中*y Y y +=含有两个任意常数，因此*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.□
上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础.
根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：
（1） 求对应的二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解1y 和2y ，构成对应的
二阶齐次线性微分方程的余函数2211y c y c Y +=；
（2） 求二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解*y ；则，二阶非齐次线性微分方程（）
的通解为*y Y y +=.
上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解.
二、 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
.0'''=++qy py y （）
其中p ，q 为常数. 根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解1y 和2y 即可. 注意到方程（）的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数y ，其导数''y ，'y 和y 之间只相差一个常数，该函数就可能是方程（）的特解. 而基本初等函数中的指数函数x e y λ=恰好具有这个性质. 因此，设方程（）
的解为x e y λ=，其中λ为待定常数，将x
e y λ=、x e y λλ='和x e y λλ2"=代入微分方程（），则有
0)(2=++x e q p λλλ，即
02=++q p λλ （）
我们称方程（）为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征方程，而称q p F ++=λλλ2
)(为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征多项式，特征方程的根
2
422,1q p p -±-=λ 称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征根.
因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（）的通解.
（1） 当042>-q p 时，特征方程有两个相异的实根1λ和2λ，因此，微分方程有两个特解x x e y e y 2121,λλ==由于x e y y )(2
121λλ-=，所以21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为
x x e c e c y 2121λλ+= （21,c c 为任意常数） （）
（2） 当042
=-q p 时，特征方程有重根21λλλ==，因此，微分方程只有一个特解x e y λ=1.设x e x h y x h y λ)()(12==是微分方程（）另一个特解，求导得:x x e x h e x h y λλλ)()(''2+=， x x x e x h e x h e x h y λλλλλ)()('2)(""22++=. 将
222",',y y y 代入微分方程（），注意到方程02=++q p λλ和2
p -=λ，化简后得：0)("=x h .满足这个条件的函数无穷多, 取最简单的一个x x h =)(，则微分方程（）另一个特解为x
xe y λ=2，且21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为 x e x c c y λ)(21+= （21,c c 为任意常数） （）
（3） 当042
<-q p 时，特征方程有一对共轭复根βαλi +=1，βαλi -=2 其中2
p -=α，242p q -=β. 因此，微分方程有两个特解x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==.因为x i e y y β22
1=，所以21,y y 线性无关. 为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式找两个线性无关的实数解.
由欧拉公式x i x e ix
sin cos +=可得 ),sin (cos 1x i x e y x ββα+=),sin (cos 2x i x e y x ββα-=
根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理,有
,cos )(2121x e y y x βα=+.sin )(2121x e y y i
x βα=-
x e x βαcos 和x e x
βαsin 均为微分方程（）的解. 而x x e x e x x βββααcot sin cos =. 故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为
x e x c x c y αββ)sin cos (21+= （21,c c 为任意常数） . （）
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：
（1） 写出的特征方程；
（2） 求出特征根；
（3） 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（）、（）或（）写出微分方程（）的通解. 特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解.
例1 求方程04'3"=--y y y 的通解.
解： 特征方程为
,0432=--λλ
特征根41=λ，,12-=λ所求通解为
x x e c e c y -+=241 （21,c c 为任意常数）.
例2 求方程0'2"=++y y y 的通解.
解： 特征方程为
,0122=++λλ
特征根,121-==λλ 所求通解为
x e x c c y -+=)(21 （21,c c 为任意常数）.
例3 求方程0'"=++y y y 的通解.
解： 特征方程为
,012=++λλ 特征根,2
3212,1i ±-=λ 所求通解为 ,)2
3sin 23cos (2121x e x c x c y -+= （21,c c 为任意常数）. 例4 求方程04'4"=+-y y y 的满足定解条件1)0(=y ，4)0('=y 的特解.
解： 特征方程为
,0442=+-λλ
特征根,221==λλ 所求通解为
x e x c c y 221)(+=
对上式求导，得
,)(2'22122x x e x c c e c y ++=
由定解条件1)0(=y ，4)0('=y 代入：11=c ，,22=c
因此，所求特解为
x e x y 2)21(+=.
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
).('''x f qy py y =++ （p ，q 为常数） （）
由定理可知，如果*y 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分方程的通解为*y Y y += 其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得.当)(x f 为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解*y ，代入公式（）即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解. 现就)(x f 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解*y 的方法.
1、 当()()x m f x x e μϕ=，其中μ为常数，()m x ϕ为m 次多项式：
1011()m m m m m x b x b x b x b ϕ--=++⋅⋅⋅++，0≥m .
因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程（）的一个特解为
x e x z y μ)(*=，)()(x x x z m k ψ=
其中)(x m ψ为m 次待定多项式.
例如, 0()3,x ϕ=则设00()x B ψ=;1(),x x ϕ=101()x B x B ψ=+;22()1,x x ϕ=+则设
22012().x B x B x B ψ=++以2*"["()2'()()]x y z x z x z x e μμμ=++，代入微分方程（），整
理后可得待定系数平衡公式
2()()(2)'()''()()m p q z x p z x z x x μμμϕ+++++=
或
()()'()'()''()()m F z x F z x z x x μμϕ++=. （）
由此，通过比较两端x 的同次幂的系数确定待定多项式()()k m z x x x ψ=中的待定系数. 因
为特征方程的根不同，)(x z 的次数也不同，分别讨论之.
（1） 当0)(2
≠++=q p F μμμ，即μ不是特征方程的根时，要使平衡公式（）的两端恒等，)(x z 与()m x ϕ应为同次多项式，即 m m m m m B x B x B x B x x x z ++⋅⋅⋅++==--11100)()(ψ
代入平衡公式（），比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数m B B B ,,,10⋅⋅⋅的1+m 个联立方程：
,)(002b B q p =++μμ
,)(2)(1012b mB p B q p =++++μμμ
……
确定),,2,1,0(m i B i ⋅⋅⋅=，就可以确定待定多项式)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x e x z y μ)(*=.
(2) 当0)(2
=++=q p F μμμ，即μ是特征方程的单根时，0)('≠μF . 要使平衡公式（）的两端恒等， )('x z 与()m x ϕ为同次多项式，设 )()()(1110m m m m m B x B x B x B x x x x z ++⋅⋅⋅++==--ψ.
用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x e
x z y μ)(*=. (3) 当0)(2=++=q p F μμμ，02)('=+=p F μμ，即μ是特征方程的重根时，要
使平衡公式（）的两端恒等，)(''x z 与()m x ϕ为同次多项式，设
)()()(111022m m m m m B x B x B x B x x x x z ++⋅⋅⋅++==--ψ.
用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x e x z y μ)(*=.
上述讨论可归纳如下：
当()()x m f x x e μϕ=，其中常数μ，m 次多项式)(x m ϕ已知，微分方程的特解形式为
x m k x e x x e x z y μμψ)()(*==，即()()k m z x x x ψ=，
其中：)(x m ψ与()m x ϕ为同次多项式；2,1,0=k ，分别根据μ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定.
2、 当)sin cos ()(x b x a e x f x
ββα+=，其中βα,,,b a 为常数时，可得复数βαi ±.设微分方程的特解形式为 x k e x A x A x y αββ)sin cos (*21+=，
其中：21,A A 为待定常数；1,0=k ，分别根据βαi ±不是特征方程的根或是特征方程的一对共轭复根而确定.以*",*'*,y y y 代入原方程，比较同类项的系数，解得21,A A . 例5 求方程2"'(72)x
y y y x e ++=-的通解.
分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，2,μ=，1()72x x ϕ=-可用待定系数平衡公式确定.
解：特征方程为 ,012=++λλ 其特征根为2
312,1i ±-=λ，余函数为 x e x c x c Y 2121)2
3sin 23cos (-+= 21,c c 为任意常数. 特征多项式为
1)(2++=λλλF ，且()21F λλ'=+,
2=μ不是特征方程的根.
设201*(),().x y z x e z x B x B ==+根据待定系数平衡公式,
010
001(2)()(2)()()7()57(57)7 2.
F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++=-
比较系数, 077,B = 01572B B +=-, 得2011,1,(1).x B B y x e *==-=-即
所求通解为
1221233(cos sin )+1)22
x x y c x c x e x e -=+-（ （21,c c 为任意常数）. 例6 求方程2'2"x y y y =+-的通解.
分析: 220x x x e ⋅=.
解：特征方程为
,0122=+-λλ
其特征根为12,1=λ，余函数为
x e x c c Y )(21+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
12)(2+-=λλλF ，且)1(2)('-=λλF
0=μ不是特征方程的根，22()x x ϕ=为二次多项式，故设2012*()y z x B x B x B ==++，根据待定系数平衡公式得
)
22()4(2)2)(0('))(0(21010202
102120B B B x B B x B B B x B F B x B x B F +-++-+=+++++
,2x =
比较等式两端x 同次幂的系数，可得 ,10=B ,0410=+-B B ,022210=+-B B B
解得,6,4,0210===B B B 即2
*4 6.y x x =++
所求通解为 64)(221++++=x x e x c c y x （21,c c 为任意常数）.
例7 求方程"2'316x
y y y xe +-=通解.
解：特征方程为 ,0322=-+λλ
其特征根为2,121-==λλ，余函数为
x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
32)(2-+=λλλF ，且)1(2)('+=λλF
1=μ是特征方程的单根，1()16x x ϕ=为一次多项式，故设01*()x y x B x B e =+，即 01()()z x x B x B =+，根据待定系数平衡公式得
010
001(1)()(1)()()4(2)28(24)16,
F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++=
比较系数, 001816,240B B B =+=,得012,1,(21).x B B y x x e *==-=-
所求通解为
312(21)x x x y c e c e x x e -=++-, (21,c c 为任意常数).
例8 求方程x e
y y y 24'4"-=++的通解.
解：特征方程为 ,0442=++λλ
其特征根为221-==λλ，余函数为
x e x c c Y 221)(-+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
44)(2++=λλλF ，且42)('+=λλF
2-=μ是特征方程的重根，0()1x ϕ=为零次多项式，故设x e x B y 220*-=，即20)(x B x z =.
根据待定系数平衡公式得
001(2)()(2)()()21,,2
F z x F z x z x B B ''''-+-+=== x e x y 222
1*-=. 所求通解为
22121()2
x y c c x x e -=++ (21,c c 为任意常数). 例9 求方程x y y 2cos 24"=+的通解.
分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，可用节二中的方法求得：*y 为一个特解，可用待定系数法确定.
解：特征方程为
,042=+λ
其特征根为i 22,1±=λ，余函数为
,2sin 2cos 21x c x c Y += 21,c c 为任意常数.
因为x x f 2cos 2)(=，2,0==βα，i 2±是特征方程的一对共轭复根.设微分方程的特解为
12*(cos 2sin 2)y x A x A x =+， 12,A A 为待定常数.
1221*'cos 2sin 22(cos 2sin 2)y A x A x x A x A x =++-，
1212*"4sin 24cos 24(cos 2sin 2),y A x A x x A x A x =-+-+
代入方程x y y 2cos 24"=+，可得
214cos 24sin 22cos 2A x A x x -=，
比较等式两端x x 2cos ,2sin 项的系数，得
1210,2
A A ==
， 特解为 .2sin 2
1*x x y =
所求通解为 x x x c x c y 2sin 2
12sin 2cos 21+
+= (21,c c 为任意常数). 例10 求方程x e y y y 22'"-=-+满足定解条件38)0(',0)0(==y y 的特解. 解：特征方程为
,022=-+λλ
其特征根为2,121-==λλ，余函数为
x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
2)(2-+=λλλF ，且12)('+=λλF
2-=μ是特征方程的单根，0()1x ϕ=为零次多项式，故设微分方程的特解为x xe B y 20*-=，即x B x z 0)(=.根据待定系数平衡公式得
0(2)()(2)()()31,F z x F z x z x B ''''-+-+=-= 01,3
B =- 所以，特解为
x xe y 23
1*--=， 所求通解为
x x x xe e c e c y 22213
1---+= (21,c c 为任意常数). x x x x xe
xe e c e c y 2222132312'---+--=， 由定解条件38
)0(',0)0(==y y 代入可得：
021=+c c ，,3221=-c c 联立求解得
1,121-==c c ，
所以，方程满足定解条件的特解为
.3122x
x x xe e e y ----=。