函数、极限与连续(高等数学)ppt课件
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《微积分》(上下册) 教学课件 01.第1章 函数、极限、连续 高等数学第一章第9-10节
12
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
《高等数学极限》课件
THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
高数上册函数极限与连续课件
定积分及其应用
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是 函数在区间上积分和的极限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加 性、常数倍性质、比较性 质等。
定积分的几何意义
定积分在几何上表示曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的计算方法
微积分基本定理
微积分基本定理是计算定积分的 基础，它将定积分转化为不定积
高数上册函数极限与 连续课件
• 函数的概念与性质 • 极限的概念与性质 • 连续函数 • 导数的概念与性质 • 原函数与不定积分 • 定积分及其应用
目录
函数的概念与性质
函数的性质（奇偶性、周期性、单调性等）
奇偶性
如果对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于 函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
原函数与不定积分
原函数的概念与性 质
总结词
理解原函数的概念和性质是学习高数的重要基础。
详细描述
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数，即如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。 原函数具有一些重要的性质，例如，如果F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C（C为常数）也是f(x)的原函数。
唯一性
若函数在某点的极限存在， 则该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在， 则该点的函数值是有界的。
局部保号性
若函数在某点的极限大于 0，则该点的函数值也大 于0；反之亦然。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值趋近于0的量。
高等数学-山大全套课件
奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称,如图. 1-2所示.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
高数-极限与连续ppt课件
x
lim 2 x 0 lim 2 x
由引例得： lim
x
1 （公式 0 1 ） x x 同样有： lim C C（公式2）
lim 2 x 不存在
【备注】 x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x x
x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x 0
还是从右侧趋近于2，函数y都无限接近于4。 今后，将常数4称为函数y当x 2时的极限。
lim x x（公式 3） 0
x x0 x x0
lim C C（公式4）
【定义】
设函数y f ( x)在x0点的某邻域（可以是空心） 有定义，如果当x无限接近于x0时，函数y f ( x) 无限接近于某个确定的常数A。 则称A为函数f ( x)当x x0时的极限。 记为： lim f ( x) A
x x0 x
【例】判断下列函数在给定的 变化过程中是否为无穷大量？ 1 （ 1 ）y ( x 0) x (2) y 2 x ( x )
同样，可以定义“”和“-”
【说明】
（ 1 ）无穷大量是绝对值可以无限变大的变量，而不是“很大很大”的数。 （2）一个变量是否为无穷大量，必须与某一变化过程相关。 （3）无穷大量是极限不存在的一种特例。
x0 x0 x0
【备注2】极限与单侧极限的关系--【定理】 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0 x x0
即：极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。
【备注3】求分段函数在分界点处的极限，须先计算左、右极限，然后再 判断极限的情况。
lim 2 x 0 lim 2 x
由引例得： lim
x
1 （公式 0 1 ） x x 同样有： lim C C（公式2）
lim 2 x 不存在
【备注】 x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x x
x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x 0
还是从右侧趋近于2，函数y都无限接近于4。 今后，将常数4称为函数y当x 2时的极限。
lim x x（公式 3） 0
x x0 x x0
lim C C（公式4）
【定义】
设函数y f ( x)在x0点的某邻域（可以是空心） 有定义，如果当x无限接近于x0时，函数y f ( x) 无限接近于某个确定的常数A。 则称A为函数f ( x)当x x0时的极限。 记为： lim f ( x) A
x x0 x
【例】判断下列函数在给定的 变化过程中是否为无穷大量？ 1 （ 1 ）y ( x 0) x (2) y 2 x ( x )
同样，可以定义“”和“-”
【说明】
（ 1 ）无穷大量是绝对值可以无限变大的变量，而不是“很大很大”的数。 （2）一个变量是否为无穷大量，必须与某一变化过程相关。 （3）无穷大量是极限不存在的一种特例。
x0 x0 x0
【备注2】极限与单侧极限的关系--【定理】 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0 x x0
即：极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。
【备注3】求分段函数在分界点处的极限，须先计算左、右极限，然后再 判断极限的情况。
《连续与极限》课件
极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
而2 ∈ [− 5, 5]，所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
《函数的极限和连续》课件
导数的几何意义
函数在某一点的导数等于该点切线的斜率。
函数可导的性质
导数的几何意义
导数描述了函数图像在该点的切线斜率。
导数的符号
如果函数在某点的导数大于0，则函数在该点递增；如果导数小于0 ，则函数递减。
导数的连续性
如果函数在某点的左右极限相等，则该点导数存在且等于该点的切线 斜率。
函数可导的应用
《函数的极限和连续 》ppt课件
contents
目录
• 函数的极限 • 函数的连续性 • 函数的可导性 • 函数的极值和最值 • 函数的积分
01
函数的极限
函数极限的定义
极限概念
函数在某点的极限是指当自变量趋近 于该点时，函数值的趋近状态。
数列极限
作为函数极限的特例，数列的极限定 义与函数极限类似，但数列的自变量 只有离散的取值。
利用连续函数的性质
如果一个函数在某区间内具有和、差 、积、商等性质，并且满足一定的条 件，则该函数在该区间内连续。
如果函数的左右极限相等且等于该点 的函数值，则函数在该点连续。
03
函数的可导性
函数可导的定义
函数可导的定义
如果函数在某一点的导数存在，则函数在该 点可导。
导数的定义
函数在某一点的导数是该函数在该点的切线 的斜率。
02
03
函数极值的性质
判定方法
函数在极值点处的导数为零，且 在该点的左右两侧导数符号相反 。
利用导数判断函数在某点的极值 ，当导数由正变为负或由负变为 正时，函数在该点取得极值。
函数最值的定义和性质
函数最值的定义
函数在某区间内的最大值和最小值称为该函数在该区 间内的最值。
函数最值的性质
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
则若有函数()在0 的某邻域内恒有
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
高三数学函数的极限与连续性PPT精品课件
如果 li m f(x)＝a 且 li m f(x)＝a，那么就说当
x→＋∞
x→－∞
x 趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.记作
li m f(x)＝a
___x→_∞__________.也记作当 x→∞时，f(x)→a.
对于常数函数 f(x)＝C(x∈R)，也有 li m f(x)＝C.
x→∞
x→0
x→0
A．1 B．2
C．3 D．4
• 【解析】 ①②正 确．
• 【答案】 B
2021/02/25
12
• 3．若f(x)在区间[a，b]上连续，则 下列说法中不正确的是( )
• A．在(a，b)内每点都连续
• B．在a点处左连续
• C．在b点处左连续
• D．在[a，b]上有最大值
• 【解析】 f(x)在闭区间[a，b]上连
2021/02/25
7
4．函数的连续性的概念
(1)如果函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义， 而且 lix→mx0 f(x)＝__f_(x_0_)_，就说函数 f(x)在点 x0 处连续．
(2)如果函数 f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处都 连续，就说函数 f(x)在开区间(a，b)内_连___续___．
(3)对于闭区间[a，b]上的函数，如果 f(x)在开区间
(a，b)内连续，在左端点 x＝a 处有 li m f(x)＝f(a)，
x→a＋
在右端点 x＝b 处有 li m f(x)＝__f(_b_)__，就说函数
x→b－
f(x)在闭区间[a，b]上连续．
2021/02/25
8
5．最大值、最小值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数， 那 么 f(x) 在 闭 区 间 [a ， b] 上 有 ______最__大__值__和__最__小__值__________．
第一章函数、极限与连续幻灯片课件
lim fx lim x 1 2 ， l i m fx l i m s i n x 1 s i n 3 1 ，
x 3
x 3
x 3
x 3
因 为 lim fx lim fx ， 所 以 lim fx不 存 在 .
x 3
x 3
x 3
④ 利用两个重要极限求函数的极限。即若所求极限为形如
(2) 如果y f(x) 在(a，b) 内每一点连续
(3) 如果y f(x) 在(a，b) 内连续，
且 lim f(x) f(b)，lim f(x) f(b)
xb0
xa0
那么yf(x) 在点x0 连续 那么yf(x) 在(a，b) 内连续 那么yf(x) 在[a，b] 上连续
六、本章关键词
函数 极限 连续
② 利 用 函 数 的 连 续 性 求 函 数 的 极 限 ， 即 若 fx 在 x x 0 处 连 续 ， 则 有 x l im x 0fx fx 0 .
例 10 求lxi m 4x2 x5 x14. 解 因 为 函 数 x 2 x 5 x 1 4 在 x 4 处 连 续 ，
所 以 lxi m 4x2 x5 x 1 4f41 8.
0 形式的不定式，并且极限式中含有三角函数，一般通 0 过三角函数的恒等变换再利用重要极限 lim sin x 1 求
x0 x 极限；若所求极限为形如 1 形式的不定式，并且所求函
1
数易转化为 1 u u
或
1
1 u
u
的形式，通常采用
lim
x
1
1 x
x
e
求极限。
例 12求limsin7x . x0arcsin5x
例9 求下列极限：
高等数学-函数、极限与连续
(1) y=；(2) y=lg。
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
高等数学第-讲极限与连续PPT课件
高等数学第-讲极限与连续ppt 课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
函数的极限与连续教学PPT课件
22 记作y arctan x.
定义域是(-,+),值域是(- ， ).
22
单调增加、有界、奇函数
38
第38页/共112页
定义4
余切函数y cot x在区间(0, )上的函数叫作反余切函数， 记作y arc cot x.
定义域是(-,+),值域是(0， ).
单调减少、有界函数
39
第39页/共112页
3 22
32
23
(3) [ , ],sin 1 arcsin 1 .
6 22 6 2
26
(4) [ , ],sin( ) 1 arcsin(1) .
2 22
2
2
33
第33页/共112页
一般地，由反正弦函数的定义，可以得到 sin(arcsin x) x, (1 x 1).
(2) arccos( 2 ). 2
(1) [0, ], cos 3 arccos 3 .
6
62
26
(2) 3 [0, ], cos 3 2 arccos( 2 ) 3 一般地，由反余弦函数的定义，可以得到
cos(arccos x) x,(1 x 1).
36
第36页/共112页
24
第24页/共112页
1.4 基本初等函数
• 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些都是 实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数．
25
第25页/共112页
1、幂函数
y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
第26页/共112页
定义域是(-,+),值域是(- ， ).
22
单调增加、有界、奇函数
38
第38页/共112页
定义4
余切函数y cot x在区间(0, )上的函数叫作反余切函数， 记作y arc cot x.
定义域是(-,+),值域是(0， ).
单调减少、有界函数
39
第39页/共112页
3 22
32
23
(3) [ , ],sin 1 arcsin 1 .
6 22 6 2
26
(4) [ , ],sin( ) 1 arcsin(1) .
2 22
2
2
33
第33页/共112页
一般地，由反正弦函数的定义，可以得到 sin(arcsin x) x, (1 x 1).
(2) arccos( 2 ). 2
(1) [0, ], cos 3 arccos 3 .
6
62
26
(2) 3 [0, ], cos 3 2 arccos( 2 ) 3 一般地，由反余弦函数的定义，可以得到
cos(arccos x) x,(1 x 1).
36
第36页/共112页
24
第24页/共112页
1.4 基本初等函数
• 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些都是 实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数．
25
第25页/共112页
1、幂函数
y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
第26页/共112页
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ppt课件
5
例：求下列函数的定义域
［Ａ］(1) y
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
(2)要使函数有意义,必须有 x 1 0
1. f (x) 1与g(x) x x
不同,定义域不同
2. f (x) x与g(x) x 不同,对应关系不同
3. f (x) t 与g(x) t 2
ppt课件
相同,定义域和对应关系 都相同
4
▲函数的定义域
在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。 用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的 使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：
第一章 主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
ppt课件
1
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数
反函数 隐函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
ppt课件
2
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x)．
f (3) 3 3 0 32
f
(x0 )
x0 x0
3 2
2）f (2a), f (b2 1) 解: f (2a) 2a 3
2a 2
f
(b2
1)
(b2 (b2
1) 1)
3 2
b2 b2
2 3
3） f [ f (1)], f [ f (x)]
解：f [ f (1)] f [ 1 3] f (4) 4 3 7
(1)在分式中，分母不能为零；
(2)在根式中，负数不能开偶次方根；
(3)在对数式中，真数必须大于零；
(4)在三角函数式y tan x中，x k (k Z),
y cot x中，x k (k Z )
2
(5) y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]
(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成， 则其定义域应取各部分定义域的交集。
1 2
4 2 2
f [ f (x)]
f[ x 3] x2
x
x x
x
3 3 322ppt课2件
2x 3x
9 1
(
x
1) 3
8
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y x [x]
1
o
1
ppt课件
x
12
ppt课件
13
3、反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
说明：反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应 函数, 则
y
y f 1( x)
1 f ( f 1 ( x)) f 1 ( f ( x))
x
x Df
2 y f ( x)与y f 1( x)的
图象对称于直线y x.
( f ( x), x) y f (x)
( x, f ( x))
o
x
ppt课件
14
6、基本初等函数
1）幂函数 y x (是常数)
2）指数函数 y a x (a 0, a 1) 3）对数函数 y loga x (a 0,a 1) 4）三角函数 y sin x; y cos x;
1 o 1
x
ppt课件
11
(4) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l) D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y tan x; y cot x;Байду номын сангаас
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x; y arctan x; y arccotx
ppt课件
15
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
ppt课件
16
2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
数集 D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量， y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
ppt课件
3
▲函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则 f
(
W
y f (x0 )
自变量
)因变量
辨别下列各对函数是否相同,为什么?
1 1
x x
00或 11
x x
0 0
解11
x x
0得 0
1
x
1, 解 11
x x
0得无解 0
所以定义域为(-1,1)
练习：P9 2 3
ppt课件
7
例. 设 f x x 3,求下列函数值
x2
1）f (0), f (3), f (x0 ) 解: f (0) 0 3 3
02 2
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
ppt课件
10
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
且有 x 1 0
即xx
1 1
0 0
解得xx11
取其公共部分 x 1, x 1
所以定义域为[-1,1) ∪(1,+∞)
ppt课件
6
[B]. (3)y ln(x 3) (4) y lg 1 x 1 x
解 (3)要使函数有意义，必须有 x 3 0
解得 x 3
所以定义域为(-3,+∞)
(4)要使函数有意义,必须有 1 x 0 1 x
y
y x
y x3
o
偶函数
o
x
x
奇函数
ppt课件
9
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；