函数、极限与连续(高等数学)ppt课件

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
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(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 o 1
x
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(4) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l) D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
(1)在分式中，分母不能为零；
(2)在根式中，负数不能开偶次方根；
(3)在对数式中，真数必须大于零；
(4)在三角函数式y tan x中，x k (k Z),
y cot x中，x k (k Z )
2
(5) y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]
(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成， 则其定义域应取各部分定义域的交集。
y
y x
y x3
o
偶函数
o
x
x
奇函数
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(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；
图象对称于直线y x.
( f ( x), x) y f (x)
( x, f ( x))
o
x
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6、基本初等函数
1）幂函数 y x (是常数)
2）指数函数 y a x (a 0, a 1) 3）对数函数 y loga x (a 0,a 1) 4）三角函数 y sin x; y cos x;
1. f (x) 1与g(x) x x
不同,定义域不同
2. f (x) x与g(x) x 不同,对应关系不同
3. f (x) t 与g(x) t 2
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相同,定义域和对应关系 都相同
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▲函数的定义域
在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。 用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的 使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：
且有 x 1 0
即xx
1 1
0 0
解得xx11
取其公共部分 x 1, x 1
所以定义域为[-1,1) ∪(1,+∞)
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6
[B]. (3)y ln(x 3) (4) y lg 1 x 1 x
解 (3)要使函数有意义，必须有 x 3 0
解得 x 3
所以定义域为(-3,+∞)
(4)要使函数有意义,必须有 1 x 0 1 x
y x [x]
1
o
1
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x
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3、反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
说明：反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应 函数, 则
y
y f 1( x)
1 f ( f 1 ( x)) f 1 ( f ( x))
x
x Df
2 y f ( x)与y f 1( x)的
1 1
x x
00或 11
x x
0 0
解11
x x
0得 0
1
x
1, 解 11
x x
0得无解 0
所以定义域为(-1,1)
练习：P9 2 3
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例. 设 f x x 3,求下列函数值
x2
1）f (0), f (3), f (x0 ) 解: f (0) 0 3 3
02 2
第一章 主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
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基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数
反函数 隐函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
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1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x)．
1 2
4 2 2
f [ f (x)]
f[ x 3] x2
x
x x
x
3 3 322ppt课2件
2x 3x
9 1
(
x
1) 3
8
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
数集 D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量， y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
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▲函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则 f
(
W
y f (x0 )
自变量
)因变量
辨别下列各对函数是否相同,为什么?
y tan x; y cot x;
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x; y arctan x; y arccotx
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1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
f (3) 3 3 0 32
f
(x0 )
x0 x0
3 2
2）f (2a), f (b2 1) 解: f (2a) 2a 3
2a 2
f
(b2
1)
(b2 (b2
1) 1)
3 2
b2 b2
2 3
3） f [ f (1)], f [ f (x)]
解：f [ f (1)] f [ 1 3] f (4) 4 3 7
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例：求下列函数的定义域
［Ａ］(1) y
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
(2)要使函数有意义,必须有 x 1 0