试谈数学思维的变通

还 可 以由 Ｏ ａ ｂ考 虑作增 量代换 ， ＜＜ 即令 ６ 口 （＜ ） ＝ ６ ０ 来证 明。
从逆 向思考新证法 ， 有反证 法 ， 即假
设
≤ ａ
，
ｂ ＞， Ｊ ，０ ｍ
：＞ ＝６≤ ａ。
｝ ６ （ ） ＋ ６ ｍ ＋ ｍ
这与 已知矛盾 ， 因此命题 得证 。
推广 ， ： 即
综 合法 ： 为沟通 条件 和结 论 ， ｂ ａ Ｏ变成 ＿ 把 ＞＞ ａ＜
Ｄ
变式 １若 ｂａＯｍ Ｏ则 Ｌ ＞ ： ＞＞ ， ＞ ，
６＋ｍ
１再 “ 常为 变 ” 令 １ 堕 ， 是有 ＜ ＝ ｍ ＜ ， 视 ， ： 于 １堕
ｍ Ｄ ｍ Ｄ
０＋， ｎ
（ ）于是 对于 Ｏ ｘ 有 ∈ ， ＜
０十
本上 的证法 ，我们可 以从下 面几个不 同的方 向去思
考它 的新证法 ， 培养 学生 的立体思维 能力 。
从纵 向思考新证法有下 列几种 。
若 ６２ 令 ｌ， ，若 。 ＜ 。 ｘ ｍ ＞ ａ ＋ ｘ ＝ 得 Ｏ
进一步思考我们 还可以得到例 ３的几 个变式 和
ａ １ 旦 ） ０ １ ） （＋ （＋
推广 １若 ｂａ Ｏ ｍ ｎ ， ： ＞ ＞ ， ＞ ≥０ 则
放缩法 ｌ旱 ＝ ： — ¨
ｍ ｂ １ ） ｂ １ ） Ｄ （＋ （＋
＞ —
＝ 。
Ｄｌ Ｄ２ Ｄ
ｂ＋ｍ
＞
ｂ＋ｎ
；
推广 ２若 ＜ ＜ ， ｂ∈Ｒ （ １２ … ， ： ａ …＜ ， ＋ ，， ｌ
／ ０
图 ２
角度探索 、 多途径尝试 。比如对现行普通 高中数 学教 科 书选修本《 等式选讲 》 不 中第 １ 的例 ３ 已知 ６ ３页 （ ＞
ａ Ｏ ｍ Ｏ 求证 ： ＞ ，＞ ，
Ｄ 十， ｎ
构 造 函数 法 ： 由
Ｄ＋ｍ
与
ｂ＋
类 比 ， 造单 调 构
＞ ） 的教与学 ， 不要满 足于课 递 增 函数 ｆ ｘ ＝ （ ） ０
± ±：： 、 ±：： ． ！ ：± ± ｌ ：± ｂ ｍ１ ＋ ＋ ＋… ｍ ｂ＋ ｌ ｔ ＋… ＋ ’
变式思考 ５ 顺 次连结 空间 四边形 Ａ Ｃ ： Ｂ Ｄ各边 中
点 的四边形还是平行 四边形吗？ 三、 变封闭思维为开放思维
（ ） ０ ａ＜ ２…＜ ３若 ＜ ｌ ＜
态性 和开放性 。教学中就需要加强数学思维的变通 ， 培养学 生 良好 的思维 品质．
一
）６ ＜（
） ｊ ＜
。
＋ｍ
数形结合法 ２ 将 、 ： ａ ａ
．
Ｊ 。Ａ（ ６） 。
．
、
变直 线思维为立体 思维
解析 几何 中的斜率 公式 ＝
Ｘ２ ＂ １ －Ｔ ＂
，
立 体思维 即从 不同 的方位 、不同 的角度 和不 同
ｔｎ ＜ ａ １ 点
，０ 贝
＜ａ ｔ眦
。
ｃ ｏ ｏｓ Ｑ＋ｃ ｏ２ ｏｓ ／＋… ＋ｃ ｏ ｏ￥ ｆ
开放思维是 求异思维 ，在 问题解决 中勇 于打破 常规 ， 敢于 突破 固有 模式 ， 于独辟蹊 径 ， 至跨 越 善 甚 学科界 限 ， 断产生飞跃 。有不少数学问题按常规思 不 维求解会 显得十分 繁琐 ， 甚至理论上 某种方法可 行 ，
４ ４
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ｎ 黹 酱 ＜＜ 。 ） ＜ 测 …ａ ｎ
再 从应用 的角度 来思考 ，例 ３ 它的变式及 其 和 推广在不等式证 明 中有着广泛 的应 用 。比如下列 几 个不等式可用它们来证 明．
（） １ 若
＜ ＋ 一＋
图 ３
从辩证法 的角度来 鉴定 图 ３ 的偶然性 或必然性 。 ‘ ＋ 变式 思考 ３ 当一般 四边形 Ａ Ｃ ： Ｂ Ｄ的两条对角线
， 则
；
＋
ＣＢ 、 Ｄ分别满足什么条件 ，顺次连结各边 中点所得 四边形 Ｅ Ｇ Ｆ Ｈ是菱形 ？矩形？正方形 ？会是梯形吗？
变式思 考 ４ 顺 次连 结 凸 ｎ ｎ ５ ｎ∈ 边 形 各 ： （ ＞ ， Ｎ） ｔ 边 中点所得多边形 的状态怎样？ （ ） ｂ ａ ０ （ １２ … ， ）则 ２若 ＞ ＞ ， ＝ ， ， ｎ ，
；
Байду номын сангаас
ｍ ｌ ＜１ 堕 ｊ 鱼 ＋ ＋
ａ Ｄ ａ Ｄ
＜
ａ
ｊ
Ｄ ＋ｍ
＞
Ｄ
变 ２ Ｄ＞ｍ ， 式 ： ６，０ 嚣 ＜ ； 若 ０＞则
变式 ３若 ｂａ Ｏｍ＞ ，， － ＞ ± ； ： ＞ ＞ ， Ｏ￣ ｍ 旱 ｌ － ａ
Ｄ—ｍ Ｄ＋ｎ
。
比较法 ， 即作差法和作商法 （ ） 略 。
是 富有 能力性 和开创性 ，数学 思维教学 也要与 时俱
积公式构造 图 １于是 ，
（ ＋ ｍ＝ ｌｓ＜２ｓ ｍ （ ＋ ｊ ａ ｍ） ｓ＋２３＋ ３ ＝ ｂ ｍ）
ｓ＜ ３ ＋ ４ ＋ ４ ａ ａ ｍｂ ａ ｊ ＝＞ ｌ ＜ ３ｓ￣ ｍ＋ ｂ＜ ＋ ｂ ｌ
进 。从 这个意 义上而言 ， 数学思维要具 有立体性 、 动
舞
囊
—●嗣Ｅ童函
试 谈 数 学 思 维 的变 通
卞新荣 龚卫东
放缩法 ２ 因 Ｏ ａｂ则 Ｏ ａ ＜ ， 比 ： ＜＜ ， ＜ １作
值 代换 ， ａ ＝ （＜ ＜ ）则 ａｂ 。于是 令 ０ ｜ １， －ｋ ｉ ｝
ｂ＋ ｎ ＝ ｂ＋， ， ｎ ｂ＋
ｍ
＝
居 ＝
ｂ 。
于是构造 图 ２ 这里 傩 ， ＞ 蹦， 的层次去思考 问题 的过程 ， 反之就是直线 思维 。我们 类 比， 则。 。 在 问题 解决 中 ， 善于 多层次 观察 、 要 多方 位联 想 、 多 即 ＞ 堡 ， ａ＜
ａ ａ＋ｍ ｂ ｂ＋ｍ
Ｂ（ ｍ 。 一 ｍ）
从横向思考新 证法有下列几 种。
数形结合法 １ ：因要证 的不等式等
价 于不 等式 ｂ ＋ ）０６ ， ｎ 、 ６ ｍ ＞ （＋ 由 ６ｍ 、 ａ ｉ 比联 想 矩 形 面 ｎ类 进 入 ２ 世纪 ， １ 社会科学化 ， 科学数学 化 ， 就是 也 社会数 学化 ， 需要人才不 仅具有知识 性 ， 所 更重要 的