高等量子力学三种绘景变换

§2 海森伯绘景
当系统的哈密顿 H S 不含时间时, 可以建立海森伯绘景: 保持希
尔伯特空间中的基矢框架不动, 将 t S 连同所有描写物理量的算符
AS , 全部进行一个含时的幺正变换.
幺正变换选用这个系统的演化算符U t,0 的逆算符去进行, 即含
时的幺正算符是
U
1
t,0

U
0,
0
t

在相互作用绘景中,
不论
H
S 1
是否含时,
系统的哈密顿 H I t 都是含
时的,
但
H
I 0
仍是不含时的,
它等于
H
S 0
(但不等于
H
H 0
).
我们得到的结论是, 在相互作用绘景中, 算符随时间变化的规
律与海森伯绘景中的运动方程相同,
但必须将那里的
H
H
换成
H
I 0
;
而态矢量随时间变化的规律则与薛定谔绘景中的运动方程相同, 但

H
I 1
t

t

I
i t
AI
t


H
I 0
,
AI
t
(11.39) (11.40)
i t
t
I

H1I t t
I
i t
AI
t


H0I
,
AI
t
式中
H
I 0

H
S，
0
H
I 1
t


U
1 0
t
H
S 1
t
U
i t
t I
e i tH
S 0

H
S 0
t S

e
i tH
S 0
i


t
S
t

U01 t H0S H S U0tU01t t S
即 算符的运动方程为
i t
t
IHale Waihona Puke Baidu
§三种绘景
§1 绘景变换 薛定谔绘景 §2 海森伯绘景 §3 连续性方程* §4 相互作用绘景
§1 绘景变换 薛定谔绘景
量子力学中的各种关系式, 可以直接用矢量和算符表示, 也 可以取不同的表象, 用矩阵表示. 不同表象中的矢量和算符, 通过 一个不含时间的幺正矩阵(4.10)联系起来. 一个关系式在不同表 象中的形式是完全平行和等价的.
特空间中取一组厄米算符完备组 K , 用 K 的本征矢量 i 建立一组
基矢, 作为一个固定的框架. 某系统的状态的海森伯绘景
H 0 S 是不含时的, 而 i H 就是 态在海森伯绘景中的 K
表象, 这也是不含时的; 就是说, 海森伯绘景中也可以建立各种表象, 写成矩阵形式, 这些一列矩阵都是不含时的.
必须将那里的
H
S
换成
H
I 1
.
这也就是相互作用绘景的优越性所在.
i t
t
I

H1I t t
象, 也是历史上最早的海森伯绘景中的矩阵形式. 那时因为基矢组
i 是 H 的本征矢量, 动基矢组 i t S 的运动规律比较简单:
i
i t
e S
Eit
i
i t
S
i tH
e
i
这时动基矢只是相位在作周期性的变化.
但是, 对于这种经典力学的比喻不能十分认真, 这只是 一种比喻. 因为这里的动基矢框架(11. 24)式, 并不像动坐标 那样是彼此相固连的, 它们虽然按照同一运动规律运动, 但 各自的运动是彼此不同的. 然而它们却时时刻刻保持着归一 化和彼此的正交性. 这是复空间特有的性质.
S
i tH S
H
H

AH
t
H
若守恒量于某一时刻在给定态中取确定值, 则在此后(以及 此前)的任意时刻均取相同的确定值.
在量子力学中, 研究守恒量是非常重要的. 守恒量与系统 的哈密顿的各种对称性有密切的关系, 我们将在第四章中详细 研究这个问题.
我们可以对海森伯绘景作一个稍微直观一点的理解. 设在希尔伯
H
S 0
不含时间而又经过充分研究,
且微扰部分
H
S 1
只给
出较小影响时可以建立一种新的绘景, 称为相互作用绘景.
H
S 1
可以
含时.
相互作用绘景中的态矢量 t I 和 AI 经过下列变换得到的:
t
I
e i tH
S 0

t
S
(11.36)
AI
t
e A e i tH


H
X
H i
t

i AH t H H , AH t t
(11.26)
A, f B [A, B] f B
此二式与经典分析力学中的哈密顿正则方程的形式完全一致.
§3 相互作用绘景
当系统的哈密顿 H S 可以分成两部分:
HS

H
S 0

H
S 1
其中主要部分
时的, 并且服从薛定谔方程:
i t S H S t S
t
(11.18)
而算符一般则是不含时的(一些含时的微扰除外, 这种情况我们
暂不考虑), 这样就有
i AS 0 t
(11.19)
在薛定谔绘景中还可以取各种表象, 每一种表象都同一组特 定的基矢相联系，而基矢是不含时的。设想我们去看希尔伯特 空间，我们应该看到，描写状态的态矢量都是按一定规律运动 的, 每一组基矢则是静止的, 态矢量的各种表象, 不论写成矩阵形 式或函数形式, 都是随时间变化的。因为它们是运动的态矢量在 静止的基矢上的分量.
我们说, 幺正变换U t 使我们得到量子力学关系式的另一个绘景.
改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换, 使得在新的 绘景中为解决某一具体问题带来一些方便.
首先, 把作绘景变换之前迄今已经讨论的内容, 作为一个绘景, 并称之为薛定谔绘景. 为了同新的绘景相区别, 把迄今为止的矢量
t 和算符 A 写作 t S 和 AS . 薛定谔绘景的特点就是态矢量是含
S
tH
e
i
(11.24)
这样 i t S 就成为空间中一组动的框架. 这时系统的态矢量 t S
在动基 i t S 上的分量, 就是海森伯绘景中态矢量的 K 表象:
i
S
S i t t S

tH
i e t
i H
用经典力学来比喻, 就是我们建立了一个与动矢量相”固连” 的动坐标系, 观察者“站在”动坐标系上去观察那个动矢量, 他看到的这个矢量将是静止的.
根据幺正变换的性质, 两个绘景中含有矢量和算符的所有的关系 式都是一样的(带有对时间取导数的关系式除外), 算符的本征值与简
并度数也是一样的. 因此, 在海森伯绘景中 X H t 和 P H t 的对易关
系为
X
H i
t,
X
H j
t

0,
PiH t, PjH t 0，
2 cijk
jk
于是证明了守恒量在含时态中取各值的概率与时间无关. 由此性 质又可以得出下面几条结论:
t
S
Ut,0 0
S
i tH S
e
0
H
守恒量A在系统任意状态中的平均值不随时间变化.
S
A

t
AS
t
H
S

e A e i tH S
算符, 记作 H 和 AH t :
H U 1t,0 t S 0 S AH t U 1t,0ASU t,0
(11.21)
海森伯绘景的特点：态矢量 H 不随时间变化, 而描写物理量的
算符则是随时间变化的.
i H 0
t
(11.22)
到现在为止, 我们已经把量子力学的基本规律和各种关系式 差不多都建立起来了, 表现为希尔伯特空间中的矢量和算符的各
种关系式. 现在取一个含时间的幺正算符U t , 作用在所有的矢量
和算符上, 按(2.29)和(2.30)的方式进行幺正变换. 这样也会得到另 一套完全平行和等价的关系式, 但其形式会发生较大的变化. 这时
AH
e A e i tH S
S
i tH S
AS
守恒量的重要性质是守恒量 AS 在系统的任意含时态 t S 中取
各值 ai 的概率不随时间变化. 可根据原理 2 证明这一性质. 守恒量 AS
既然同哈密顿 H 对易,那么含有 AS 的一组厄米算符完备组 AS , H , B S

i tH S
e
AS
H
eS
i tH S
H H AH t AH tH H
于是得
i AH t H H , AH t AH t，H H t
(11.23)
此式就是在海森伯绘景中的运动方程. 它描写了算符 AH t 随时间变
化的规律,称为海森伯方程.
S 0
S

i tH
S 0
(11.37)
t
I
e i tH
S 0

t
S
AI
t
e A e i tH
S 0
S

i tH
S 0
所用的变换算符为
U0 t
e
i tH
S 0
(11.38)
相互作用绘景中的态矢量和算符就都是随时间变化的. 它 们的运动方程可以对(11.36)和(11.37)二式求导得出:
从动系上看静止的算符 A , 则看到的是一个运动的算符; 即静止 算符 A 在动系中的矩阵元是含时的:
S i t AS j t
S

i
i tH
e
A
S
e

i tH

j
i AH t j
如果厄米算符完备组 K 中含有系统的哈密顿 H , 那么以上两式
就是海森伯绘景中的能量表象. 它是海森伯绘景中最常用的一个表
i AH
t
t

i t

e
i tH
S

A eS
i tH S

i AH
t
t

i t

e
i tH
S

A eS
i tH S

i tH S i tH S
e e

i tH S
e
H
S
A eS
i tH S
t


e
i tH
S
(11.20)
式中 H S 是这个系统的薛定谔绘景中的哈密顿. 若 H S 本身含有时间, 则此式不成立, 无法建立海森伯绘景.
t S U t,t0 t0 S
t S Ut,0 0 S
我们称这样变换后的态矢量和算符为海森伯绘景中的态矢量和
HH
e H e i tH S
S
i tH S
H e e S
i tH S
i tH S
HS
由变换方程(11.21)式可知
HH HS
所以可以将哈密顿算符右上角表示绘景的标记略去.
i AH t H H , AH t AH t，H H t
守恒量 系统的 H 不含时间时, 若物理量 A 在海森伯绘景中的算
符 AH 不随时间而变, 则 A 称为守恒量. 由(11.23)知, A 是守恒量的条
件为
H , AH 0
或
H, AS 0
显然, 不含时的哈密顿H本身是一个守恒量.
事实上, 由于 H , AS 0 , 对于守恒量 A 来说, 有
我们也可以换一个角度来看: 保持基矢组 i 不动, 再复制一 组与 i 一样的基矢组, 让这组新的基矢在 t 0 时与原来的基矢完
全重合, 而在 t 增加时开始动起来, 成为动基矢组 i t S . 我们规定
动基矢组的运动规律与系统的态矢量运动规律一样, 即
i
i t
中一定含有 H . 用 B 代表完备组中其余的厄米算符, 它们的共同的本
征矢量可以写成
ai E jbk
式中 ai , E j 和 bk 分别是 AS , H 和 B 的本征值. 将系统的态矢量 t S
按这套本征矢量展开:
t S ai E jbk cijk
ijk
其中
X
H i
t, PjH
t

iij
(11.25)
在海森伯绘景中, 位置算符与动量算符随时间变化的规
律, 根据(11. 23)式及(6. 9)式为
d
dt
X
H i
t
i
H,
X
H i
t

H
PiH t
d
dt
Pi H
t
i
H , PiH
t
t S ai E jbk cijk
ijk
S
i tH S
H
cijk t ai E jbk t ai E jbk e

ai E jbk
e
i E

j
t
e H

i
E
j
t
ai E jbk
H
因此 cijk 2 是不含时间的。物理量 AS 在态 t S 中取值 ai 的概率是