高等量子力学
高等量子力学
高等量子力学引言量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，其实质是一种非经典的物理理论。
在近百年的发展中，量子力学已经成为现代物理学的基石，并为许多技术和应用领域提供了支持。
通过研究量子力学，科学家们不仅深入理解了微观世界的奇妙现象，而且开展了众多的实验和应用，如量子计算、量子通信和量子隐形传态等。
本文将介绍高等量子力学的基本概念、主要原理和相关应用。
量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.波粒二象性：根据量子力学理论，微观粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
粒子性指的是微观粒子像粒子一样在空间中存在，并具有质量和速度等属性；波动性指的是微观粒子像波一样表现出干涉、衍射等现象。
2.不确定性原理：根据海森堡的不确定性原理，无法同时精确测量微观粒子的位置和动量，精确测量其中一个属性将导致另一个属性的不确定性增加。
这个原理限制了我们对微观世界观测的精确度。
3.波函数和薛定谔方程：量子力学中的波函数描述了微观粒子的状态。
波函数的演化遵循薛定谔方程，通过解薛定谔方程可以得到粒子在不同时间点的波函数演化情况。
4.量子态叠加和干涉：在量子力学中，量子态可以叠加和干涉。
当两个量子态发生干涉时，会产生干涉图样。
干涉图样的分布形式与波长、干涉源之间的距离等因素有关。
高等量子力学的主要内容高等量子力学是对基础量子力学进行深入研究和发展的理论体系，其主要内容包括：1.多粒子量子力学：高等量子力学研究多个微观粒子之间的量子力学相互作用。
多粒子量子力学描述了粒子之间的纠缠态、量子统计和玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
2.开放量子系统：高等量子力学研究开放量子系统的动力学行为。
在实际应用中，量子系统往往会与外界环境发生相互作用，导致量子态的衰减和退相干。
高等量子力学通过密度算符和量子耗散规律等来描述开放量子系统的行为。
3.相干态和量子测量：高等量子力学研究相干态和量子测量的理论和实验。
相干态是多粒子量子系统的纯态，能够实现量子计算和量子通信等应用。
高等量子力学 课件
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
高等量子力学
高等量子力学连续谱在量子力学中有一些可观测量具有连续的本征值。
于是我们从从本征值方程出发，在连续谱的情况下它被写成：\hat \xi | \xi' \rangle = \xi' | \xi' \rangle \tag{1}其中\hat \xi是一个算符，而\xi' 只是一个数。
也就是说，右矢| \xi'\rangle是算符\hat \xi的一个本征右矢，其本征值为\xi'。
为了类比于分立谱，我们用：狄拉克的\delta函数替代克罗内科符号。
用对连续变量\xi'的积分代替对本征值\{ a_n \}的分立求和。
因此我们有：\langle a_m|a_n\rangle =\delta _{mn}\longrightarrow \langle\xi _p|\xi _q\rangle =\delta \left( \xi _p-\xi _q \right) \tag{2} \sum_n{\left| a_n \right> \left< a_n \right|}=I\longrightarrow\int{d\xi _q\left( \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|\right)}=I \tag{3} \left| \alpha \right> =\sum_n{\left| a_n\right>}\langle a_n|\alpha \rangle \longrightarrow \left| \alpha \right> =\int{d\xi _q\left| \xi _q \right> \langle \xi _q|\alpha \rangle} \tag{4} \sum_n{\left| \langle a_n|\alpha \rangle\right|}^2=1\longrightarrow \int{d\xi _q}\left| \langle \xi_q|\xi \rangle \right|^2=1 \tag{5} \langle \beta |\alpha \rangle =\sum_n{\langle \beta \left| a_n \right> \left< a_n\right|}\alpha \rangle \longrightarrow \langle \beta |\alpha\rangle =\int{d\xi _q\langle \beta \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|}\alpha \rangle \tag{6} \langlea_m|\hat{A}|a_n\rangle =a_n\delta _{mn}\longrightarrow \langle \xi _q|\hat{A}|\xi _p\rangle =\xi _q\delta \left( \xi _q-\xi _p \right) \tag{7} 。
清华大学高等量子力学（ＰＤＦ）
第一章：基本概念1. Stern －Gerlach 实验●容易体现与经典力学的根本差别； ●容易体现量子力学的核心－测量问题； ●二能级系统是最量子的体系。
1）结果加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。
2）分析● 磁场相互作用导致分裂，必是原子的磁矩M 引起的，相互作用势 V M B =-。
● 磁矩与角动量J 成正比，M J ∝。
● 原子感受到的力 z z z z B B F V M e J e z z∂∂=-∇=∝∂∂分裂成对称的上下两束→角动量在磁场方向（Z ）只有大小相等方向相反的两个分量。
如果这个角动量是由于原子本身转动引起的，热原子的角动量方向将是随机分布的，大量原子通过磁场后在屏上会有一个对称的连续分布，而不是一个分离的两分量分布。
因此力不是由轨道角动量产生的。
银原子有47个电子，其中46个是满壳分布，球对称，整体不显示角动量。
银原子的角动量完全是由那个价电子引起的。
分离的二分量分布说明是由价电子的内禀角动量引起的，记为s，z s 只有两个大小相等方向相反的值z s +和z s -。
3）量子性质●存在自旋角动量，是内禀物理量（与时空无关）； ●自旋角动量的取值不连续。
●磁场起的是测量作用。
用Z 方向的磁场测量Z 方向的角动量。
xyz4）级联Stern －Gerlach 实验图1入射原子束先后经过两个Z 方向的磁场，见图1上部。
在第二个磁场之前z s 有确定值z s +，故在磁场中原子感受的力是确定的，在第二个磁场之后z s 仍然有确定值z s +。
现在让入射原子束经过Z 和X 方向的两个磁场，见图1中部。
在第二个磁场中原子感受的力x x B F J e x∂∝∂ 。
在第二个磁场之后观察到原子束分裂，说明在第二个磁场之前x s 有两个值xs +和x s -两个分量（虽然z s 有确定值z s +）。
●量子性质：当z s 有确定值时，x s 没有确定值。
z s 和x s 不能同时有确定值！再让入射原子束经过Z ，X 和Z 方向的三个磁场，见图1下部。
高等量子力学 量子动力学
六、能量本征矢
知道时间演化算符随时间变化，还需要知道它如何作用于 一态矢才能求出态矢的时间变化。如果我们选用能量本征态 为基，则时间演化算符对态的作用可轻易求得。 有
Η a′ = Ε a′ a′ ； α , t0 = 0 = a′ a′ a = ca′ a′ a′ a′
e
− iHt
= a′′ a′′ e
− i Η ( t − t0 )
t0
容易验证该 u ( t , t0 ) 满足 Schrodinger 方程：
∂ i ∂ t exp − i t dt ′Η ( t ′ ) = − i Η ( t ) u ( t , t ) ′ ′ Η u ( t , t0 ) = − dt t ( ) 0 t0 ∂t ∂t t0
第二章：量子动力学
(物理状态和观测量随时间的变化)
2.1 时间演化和 Schrodinger 方程
时间在量子力学中是参量而非算符，因而不是 可观测量。与谈论坐标算符那样谈论时间算符 是无意义的。 相对性量子理论确将时空对等处理，但代价是 将位置作为参量而非观测量处理。
一、时间演化算符
设一物理态矢在 t0 由 α 表示，在 t > t0 状态由 α , t0 ; t lim α , t0 ; t = α ，简写成， 表示。由于时间是连续参量，
= ca ' a '
a'
：
iΕα ′t − iΕ a′′t * B = Ca ′ a ′ e B Ca′′e a′′ = a ′′ a′
C
a ′a ′′
* a′
Ca′′
高等量子力学(第2版)
高等量子力学(第2版)高级量子力学是一门融合了近代物理中的理论和实验的学科，它提供了一个解释和预测原子和分子物理系统的统一框架。
本书《高等量子力学(第2版)》是一本深入浅出的教材，深入的述及了理论和实验的完整内容，让学生和研究生可以全面了解量子力学的概念和应用。
一、量子力学基础1. 历史背景本书介绍量子力学的理论基础和实验过程，追溯自plank常数的发现；对量子力学的提出有详细介绍，以及Heisenberg不确定性原则，Schrόdinger方程以及杂化原理等重要概念；2. 量子力学模型量子力学模型也会在本书中被提到。
将大自然的运动规律抽象为微观的量子力学形式，能够解释为何物质的特性和行为出现这样那样的现象。
3. 矩阵技术量子力学中矩阵技术的应用，会在本书中被详细描述。
矩阵技术提供了一个量子力学模型的更加精确和深入的理解方式，它们可以让我们更好的理解量子力学。
二、量子力学的实验1. 物理学实验物理学的实验有助于研究和探索量子力学的原理，比如量子隧道效应；拉曼散射、X射线衍射等实验，并可以通过测量分子能级的精确度来检验量子力学的模型正确性。
2. 抽象实验当量子力学的原理无法直接验证时，可以通过抽象实验进行测试推测，比如你仭-杨实验等，他们是用电子粒子进行可靠性实验的奠基人，为量子力学的研究现代化而做出重大贡献。
三、量子力学的应用1. 化学量子力学的应用同样可以在化学中拥有重要的作用，基于量子力学原理可以准确地预测和解释分子结构，特性以及相互作用；比如量子化学，电子学，以及其他电子结构学方面。
2. 核物理学量子力学也可以应用在核物理学中，其概念可以用于探索原子核内部的结构，以及解释核反应，并且可以提出抽象的模型来模拟量子力学在核物理学中的作用。
因此，《高等量子力学(第2版)》深入浅出的展现了量子力学的理论与实验，结合实验的科学，系统的历史背景，基本概念，矩阵技术及其实验应用，让我们对量子力学有初步了解，未来在这个科学领域也有较为充分的准备。
《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲一、中文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）课程名称：高等量子力学课程编号：学分：3学时：48高等量子力学是本科初等量子力学的延伸。
本课程简明扼要地介绍量子力学的基本概念和重要框架后，简要讲解：粒子数表象、形式微扰理论、角动量理论、量子力学体系的对称性、时间反演对称性、相对论量子力学、前沿专题介绍。
二、英文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）Course Title：Advanced Quantum MechanicsCourse Code：Credit Value ：3Total Hours ：48Course Introduction ：Quantum mechanics underpins a variety of broad subject areas within the physical sciences from high energy particle physics, solid state and atomic physics through to chemistry. By building upon the conceptual foundations introduced in the undergraduate Quantum Physics course, the aim of Advanced Quantum Mechanics is to develop further conceptual insights and technical fluency in the subject. The subjects involve occupation representation, perturbation theory, angular momentum theory, symmetries, relativistic quantum mechanics, and some introduction of research sunjects.三、教学目标1、通过本课程的学习要求学生掌握高等量子力学的基本方法，并能较熟练的运用基本规律解决问题。
高等量子力学教学大纲
《高等量子力学》教学大纲一、课程信息课程名称：高等量子力学课程类别：素质选修课/专业基础课课程性质：选修/必修计划学时：64计划学分，4先修课程：无选用教材：适用专业：课程负责人：二、课程简介本课程系统和详细地讲述了量子力学的基本概念、原理、处理问题的方法和些重要理论问题。
课程共分8章，内容不仅包括传统的量子力学基本概念和一般理论、二次量子化方法、辐射场的量子化及其与物质的相互作用、形式制才理论、相对论量子力学，还包括丘些年发展起来的量子力学测量问题、开放量子系统动力学和开放系统退相干。
三、课程教学要求注：“课程教学要求”栏中内容为针对该课程适用专业的专业毕业要求与相关教学要求的具体描述。
“关联程度”栏中字母表示二者关联程度。
关联程度按高关联、中关联、低关联三档分别表示为“H”或"1”。
“课程教学要求”及“关联程度”中的空白栏表示该课程与所对应的专业毕业要求条目不相关。
四、课程教学内容五、考核要求及成绩评定六、学生学习建议(-)学习方法建议1.依据专业教学标准，结合岗位技能职业标准，通过案例展开学习，将每个项目分成多个任务，系统化地学习。
2.通过每个项目最后搭配的习题，巩固知识点。
3.了解行业企业技术标准，注重学习新技术、新工艺和新方法，根据教材中穿插设置的智能终端产品应用相关实例，对己有技术持续进行更新。
4.通过开展课堂讨论、实践活动，增强的团队协作能力，学会如何与他人合作、沟通、协调等等。
(-)学生课外阅读参考资料《高等量子力学》，闰学群主编，2023年，电子工业出版社教材。
七、课程改革与建设通过引导式教学，设计包括引导问题、优化决策、具体实施、课后拓展等内容，培养学生的团结协作能力和勤于思考的习惯，避免重讲轻练、重知识轻能力的弊端。
与纠缠方面相关的内容，量子测量理论、量子开放系统理论等，以往国内少数高等量子力学教材对此只是粗浅地一捷，大部分内容甚至从未涉及。
因此，本课程内容主要是针对传统的高等量子力学做符合近些年量子力学研究前沿需求的调整和补充。
高等量子力学 教材
高等量子力学是研究微观粒子，如原子、分子、光子等行为的物理学分支。
这门学科主要关注量子系统中粒子的波粒二象性、不确定性原理、量子纠缠等现象。
高等量子力学教材通常包括以下主要内容：
1. 量子力学基本原理：介绍波函数、薛定谔方程、测量理论等基本概念。
2. 量子力学数学基础：涵盖复数、矩阵、线性代数、群论等数学工具。
3. 量子力学基本定理：阐述算符、本征值、本征函数等基本定理。
4. 量子力学近似方法：介绍微扰理论、量子力学中的近似方法等。
5. 量子力学中的特殊理论：涵盖相对论量子力学、量子场论等高级理论。
6. 量子力学应用：讲解原子物理、分子物理、核物理、粒子物理等领域中的具体应用。
7. 量子信息与量子计算：介绍量子比特、量子门、量子算法等概念。
高等量子力学教材的目的是帮助读者深入理解量子力学的基本原理和方法，为进一步研究物理学和其他相关学科打下坚实基础。
高等量子力学田光善讲义
高等量子力学田光善讲义1. 量子力学简介量子力学是描述微观粒子行为的理论，也是现代物理学的基石之一。
它通过波函数描述粒子的状态，并通过算符描述物理量的测量。
量子力学的发展为我们认识微观世界提供了全新的视角。
2. 量子力学的基本原理2.1 波粒二象性根据量子力学的波粒二象性，微观粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波动。
这种双重性质使得我们无法准确地确定粒子的位置和动量，而只能得到一定的概率分布。
2.2 波函数和波函数演化波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具，它可以通过薛定谔方程来演化。
波函数的模的平方给出了测量粒子处于某个状态的概率。
2.3 算符和物理量测量算符是量子力学中描述物理量的数学工具，它对波函数进行操作，得到物理量的期望值。
物理量的测量结果是随机的，符合一定的概率分布。
2.4 不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要基本原理之一，它指出了我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
不确定性原理限制了我们对微观世界的认识。
3. 量子力学的数学形式3.1 希尔伯特空间希尔伯特空间是量子力学中描述波函数的数学空间，它是一个完备的内积空间。
在希尔伯特空间中，我们可以定义态矢量、算符和内积等概念。
3.2 算符和本征值问题算符在希尔伯特空间中是线性算符，它可以对态矢量进行操作。
本征值问题是求解算符的特征值和特征向量，它可以得到物理量的本征值和本征态。
3.3 规范化和正交归一化波函数的规范化是保证概率守恒的重要条件，它要求波函数的模的平方在整个空间上积分为1。
正交归一化是希尔伯特空间中的一组正交基的要求，它使得不同态矢量之间的内积为0或1。
4. 量子力学的应用4.1 原子物理学量子力学在原子物理学中有着广泛的应用，可以解释原子的能级结构、光谱现象等。
通过量子力学的计算，我们可以预测和解释实验结果。
4.2 分子物理学量子力学在分子物理学中的应用也非常丰富。
它可以描述分子的振动、转动和电子结构等性质，为化学反应的理解和控制提供了重要的理论基础。
高等量子力学理论方法5
一、散射过程、散射截面
散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方
向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝 各方向散射开去，此过程称为散射过程。散 射后的粒子可用探测器测量。 靶粒子所处位置称为散射中心。
ds
θ
Z
4
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其 运动方向偏离入射方向的角度。
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶 粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散 射，否则称为非弹性散射。
微观角度看，可以认为r ，因此，在计算
q( ,) 时，仅需考虑 r 处的散射粒子的
行为，即仅需考虑r 处的散射体系的波
函数。
设r
时，
V
(r )
0
，方程（5）变为
2 k 2 0
（6）
10
对于三维情形，波可沿各方向散射。
在r 处，散射粒子的波函数是入射平
面波 1 eikz 和球面散射波 2 之和。即
l 1
sin l
2
（2-15）
总散射截面
Q q( )d 2 q( )sind
2
k2
(2l 1)(2l 1)ei(l l) sin l sin l
l0 l0
0 Pl (cos )Pl (cos )sind
2
k2
l0
l0
(2l
1)( 2l
1)ei(l
l
)
sin
l
sin
l
2 2l
27
由于入射波的第 l 个分波的径向函数 jl(kr) 的
第一极大值位于 r l
k
附近，当 r 较大时，l
愈大，
r
jl (kr)
0
高等量子力学-理论方法-量子跃迁理论 ppt课件
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11
2. 一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
即： 0
t0
Hˆ
Hˆ
(r)
0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H’mk 与 t 无关 (0 t t1)
am(1)(t )
an (t )n
n
i t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
i
n
d dt
an
(t
)
n
i
n
an (t
)
t
n
i t
n
Hˆ 0n
相 an(t )Hˆ 0n an(t )Hˆ (t)n
n
m* Hˆ (t )nd
i n
d dt
an(t ) mn
n
an (t )
* m
Hˆ
(
t
)
ne
i[
m
n
]t
/
d
d
i dt am (t) n
an(t )Hˆ m neimn t
其中
Hˆ
m n
* m
Hˆ
(t
)
nd
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4
含时微扰理论
i Hˆ (t ) t
Hˆ 0 n n n
i t
n
Hˆ 0n
《高等量子力学》课件
弹性散射和散射振幅
讨论弹性散射和散射振幅在量子力学中的重要性和 实验方法。
广义相对论和黑洞解释
探索广义相对论和量子力学如何解释黑洞和宇宙的 起源和性质。
原子结构和分子谱学
介绍原子结构和分子谱学的基本概念和实验方法。
第三部分：应用和实验
超导量子干涉仪和QED效应
量子热力学和量子信息
揭示量子热力学和量子信息领域中的新理论和 实验进展。
探索超导量子干涉仪和量子电动力学效应在实 验室中的应用。
干涉和纠缠
阐述干涉和纠缠的特性和重要性，以及实验验 证。
量子统计和量子相变
探讨量子统计和量子相变在凝聚态物理中的关 键作用。
哥本哈根解释和悖论
解读哥本哈根解释及其涉及的悖论和思考。
拓扑态和拓扑物质
介绍拓扑态和拓扑物质在量子领域中的前沿研 究和发展。
3
测量和测量算符
探索测量在量子力学中的意义，并介绍测量算符的概念。
4
Heisenberg不确定关系
阐述Heisenberg不确定关系对于测量的限制和角度的重要性。
5
哈密顿算符和Schrödinger方程
深入研究哈密顿算符和Schrödinger方程在量子力学中的作用。
第二部分：量子力学的基本理论
基态和激发态
《高等量子力学》PPT课 件
欢迎大家参加《高等量子力学》PPT课件，本课程将全面介绍量子力学的基本 原理、数学工具、应用和实验领域。让我们一起踏上奇妙的量子世界之旅！
第一部分：基础概念和数学工具
1
量子力学的发展和基本假设
追溯量子力学的发展历程，并介绍背后的基本假设和原理。
高等量子力学田光善讲义
高等量子力学田光善讲义
高等量子力学田光善讲义是一本关于高阶量子力学的教材。
量子力学是物理学中一门极其重要的学科，它描述了微观世界中的粒子行为和现象，如光的粒子性质以及原子和分子的稳定性等。
田光善教授是一位专业的量子力学教育家和研究者，他的教义深入浅出，为学生和研究人员们提供了全面清晰的理解量子力学的路径。
在《高等量子力学田光善讲义》中，田光善教授详细介绍了高级量子力学的概念和原理，包括：
1.正则量子化：教授清晰解释了正则量子化方法的原理和应用。
这种方法是将经典力学中的物理量和运动方程转化为量子力学中的算符，以描述粒子和系统的行为。
2.哈密顿量和薛定谔方程：田光善教授详细说明了哈密顿量的作用和意义，并引导读者理解薛定谔方程的解决方法。
这些方程是量子力学的基础，用于描述微观粒子的运动和性质。
3.角动量理论：本书涵盖了角动量算符的原理和性质，解释了自旋和轨道角动量之间的关系，并引入了角动量空间的数学描述。
4.量子力学中的对称性：田光善教授讲授了对称性在量子力学中的重要性，包括空间和时间反演对称性以及粒子统计的对称性。
5.量子力学中的近似方法：在讲义中，田光善教授介绍了多种近似方法，如微扰理论和变分法，用于处理真实系统中的复杂情况。
《高等量子力学田光善讲义》不仅包含了理论背景和数学工具，还提供了丰富的示例和习题，以帮助读者巩固所学知识并运用到实际中。
这本讲义适合量子力学学生、研究者以及对量子力学感兴趣的读者使用。
总之，高等量子力学田光善讲义是一本权威且系统的教材，对于学习和理解高级量子力学的原理和应用具有重要价值。
高等量子力学 课件
§3-4 无无穷维空间情况
• 厄米米算符： – 具有离散的本征值谱，其本征值及相应的 本征矢矢量是可数的无无穷多个 – 具有连续的本征值谱，具有不可数无无穷多 个本征值和相应的本征矢矢量
离散本征值情形
• 本征矢矢量 A|ii = ai |ii
! ! ! !
(i = 1, 2, · · · )
ij
• 线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如下 条件
A( | i + | ' i ) = A| i + A| ' i
A( | i a ) = ( A| i ) a
§2-1 定义
• 算符：两个矢矢量间的一一种对应关系
! !
| ' i = A| i
• 反线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如 下条件
定理
• 当且仅当两个厄米米算符互相对易时，它们有 一一组共同的本征矢矢量完全集
厄米米算符完备组
• 对于一一个希尔伯特空间，一一组互相对易的厄 米米算符A,B,C,…,它们有一一组完全确定的共同 本征矢矢量完全集，而而去掉算符中的任何一一个， 都会使剩下的那些算符的共同本征矢矢量完全 集具有任意性，称它们一一组厄米米算符完备组
空间的完全性
• 空间中任何在Cauchy意义下收敛的序列的 极限必须也在此空间中。
量子子力力学的空间
• 复数域上的希尔伯特空间 • 向量：线性空间中的元素
§1-2 正交性和模
• 两个矢矢量正交：两个矢矢量的内积为零
! !
( , ') = 0
• 模方方：
! !
• 两个关系： – Schwartz 不等式 – 三角角形不等式
• 如何用用一一组数字具体的表示示矢矢量
高等量子力学知识总结
高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１第一章 希尔伯特空间1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。
例：θ+ψ=ψ+θ；ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）（ψa ）b=ψ（ab ）ψ（a+b ）=ψa+ψb（ψ，θ）=（θ，ψ）*（ψ，θa ）=（ψ，θ）a矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ；2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）；schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|；3、基矢n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a<ψ|θ>≥0；4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1|θ>=|ψ>；<θ|=<A ψ|=<ψ|A+（A+为A 的伴算符）；若A 有逆，则（A+）-1 =(A -1)+；5、等距算符：定义：U+U=I ；性质：U+U=I ；<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ；|U ψ|=|ψ|；6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）；7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集；8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1|να>= ∑|εi>Ui α|εi>= ∑|να>U αi-1 Ψα = ∑U αi -1ψiΨi = ∑Ui α ψαA αβ=∑∑U αi -1AijUj βAij=∑∑Ui αA αβU βj -1第二章 量子力学基本原理1、基本原理：原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率，与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi （i=1.2.3）与相应正则动量有下 列对易关系:[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij而不同粒子间的所有算符均相互对易.原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的， 服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子.2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.|ψ(t)>=|ψ>f(t).H|ψi>=Ei|ψi>定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为：|ψi(t)>=|i>exp （-iEit/h ）.含时间的H 对应薛定谔方程的解为：|ψ(t)>=∑|i> Ci exp （-iEit/h ）.为各定态矢量的叠加 .若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp （-iE0t/h ）.第三章 量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量S ，s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值：Sz=+ /2 或Sz=- /2；电子磁矩：u=-g （e/2mc ）s电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B2、自旋的矩阵表示：Sz=+ /2 -> α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态：|ψ(t)>|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1电子的自旋态只能有两个（朝上或朝下）.3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置 Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按Sx 分解，要么按Sz 分解，电子不能同时具有Sz 和Sx.4、pauli 矩阵算符ζx 和ζy 之间不对易，S=（ /2）ζζx = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ζy = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00i i ζz = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 对易关系：ζ*ζ=ζ 或 S*S=S Sz=mz极化矢量：<ζ>=P=<ψ(t)|ζ|ψ(t)>P^2=Px^2+Py^2+Pz^2=1；<ζp >=Px<ζx>+Py<ζy>+Pz<ζz>；P 标志了自旋S 的指向；电子自旋的量子本质表现与P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：<(Δζj )^2> = <(ζj-ζi )^2> = 1-<ζj >^25、分离谱：A|α> =a|α>； <α|α’>=δαα’; ∑|α><α|=1;连续谱：ξ|ξ’>=ξ’|ξ’> ； <ξ|ξ’> = δ（ξ’-ξ’’）； ⎰d ξ’|ξ’><ξ’| = 1；6、sxhrodinger 图景：态矢 |ψ(t)>含t ，基矢|x>不含t ；Heisenberg 图景：态矢 |ψ(t)>不含t ，基矢|x>含t ；一般：H=p^2/2m+V;<x|V|x ’> = V （x ）<x|x ’> = V(x)δ（x-x ’）；<x|p^2/2m|x ’> = ⎰dp<x|p>(p^2/2m)<p|x ’>态矢：跟表象无关，跟图景有关；包函数：与表象有关，与图景无关（此为态矢在基矢上的投影）；7、基态|0>：基态波函数：ψ0（x ） = <x|0>；第一激发态|1> = a+|0>: ψ1（x ） = <x ’|1>；第n 激发态： ψn （x ） = <x ’|n>；8、<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ 1/4|<[A,B]>|^2 ;对于任意的态矢：|α>=ΔA|>|β>=ΔB|>；<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ |（ΔA ，ΔB ）|^2；9、谐振子不确定关系：基态：<(Δx^2)><(Δp^2)> = ^2/4；激发态： <(Δx^2)><(Δp^2)> =（n+1/2）^2 ^2;10、相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近.相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数；不同本证值的相干态一般不正交；虽不正交，但有完备性；全部的相干态，过完备性；11、压缩态：算符：S(r)为幺正算符；在正则变换下：保持了对易关系：[b,b+]=[a,a+]=1;真空态：|0,r>= S(r)|0>；一般压缩态：|z,r>= D （z ）S （r ）|0>；12、经典力学到量子力学：薛定谔表述形成（波动力学），重视描述粒子的波粒二象性运动的波函数，服从薛定谔方程；heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视传播函数 或传播子的作用.基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；在复z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；第四章 对称性和角动量1、力学量成算符：{A,B}--->1/i [A,B]；[F ，H]--->F 为守恒量；F 的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对 称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H 中某一连续对称性在 真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子； 2、F （r ，p ）的平均值:<F> = <ψ(r)|F |ψ(r)>;3、态的无限小转动：自旋为零：|ψ’(r)> = |ψ(R -1r)>=ψ(x+y δθ,y-x δθ,z )R(n,δθ) = 1-i δθ*L*n/ ; L 是标量场无穷小生成元；自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：1/2)(x (x1/2)(r)(r)(r)-ϕ+ϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕ=φ2121； Φ’(r)=(1-i δθ( /2ζz+Lz ))Φ(r)/转动算符：(1-i δθ( /2ζz+Lz ))/ ；任意轴：R （n ，δθ）= 1-（i δθ/ ）n （（ /2）δ+I ）；粒子的总角动量：J= /2δ+L ，J 是旋量场的无限小生成元；4、角动量算符的一般性质：j^2=jx^2+jy^2+jz^2;[j^2,ji] = 0;[jz,j]=i j;[j+,j-] = 2 jz;5、标量算符：F=RFR -1 -- 转动不变；6、若态|ψ>在Rz 的作用下不变，则Rz|ψ> = exp （-i δ）|ψ>；假定体系在变换Q 下具有对称性，|ψ>=Q|ψ>，则保持几率不变，运动规律不变； 总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；7、将体系沿x 轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：[Px （ε），H] = 0；ψ’(x) = Dx （ε）ψ(x)=ψ(x-ε)；体系沿时间平移一无限小量η：|ψ’(t)> = D （η）|ψ(x)>=|ψ(t+η)>；ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt);8、本证态：ψ（-x ） = ψ（x ） 偶宇称态ψ（-x ） = -ψ（x ） 奇宇称态宇称本征值：pi=（-1）l变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H 在空间反演中是标量，可能含有的项是：P^2，L*S,P*X ；不可有的项：P*S(赝标量);宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量项，宇称不再守恒；原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核”β衰变时放出电子对S 方向存在一定角分布；10、实算符，时间反演不变：THT -1=T -1 TXT -1=X ；虚算符：TPT -1= - P TJT -1= - J ；第五章 量子力学中的相位1、经典物理中：H ，A, θ(四维矢量),代替E,B （二阶反对称张量）；量子物理中：A, θ,代替E,B 为本质上的需求；规范变换： A ’=A + ▽Λ（x ）；若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了，就要求波函数做相应变化： Ψ’（x ）= Ψ（x ）exp[Λ（x ）iq/ c ]；薛定谔方程在定域规范变化下的不变性，是一种对称性，根据波函数的几率解释，这一变换 不影响可观测量；2、A--B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差；确切的说不是相位， 而是相位因子： )dx A cie (⎰-μμ exp ； 才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理（不确定）信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子. 在磁场中：总的波函数：)'x )d 'x (A exp()'x ()'x (c ie (0)1→→→→→⎰+ϕ=ϕ ，相位差改变了φc e ， 称：φ=ce AB S （AB 相）； 在电场中：总的波函数：t)(x,)dt't)),x (A -)t x,(A (cic -exp(t),x (t),x ((0)20102(0)1ϕ⎰+ϕ=ϕ→→→→ ， φ=ce AB S --- 规范不变 AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相；3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为e 2c ，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有： n 2s d s ⋅π=⋅∇⎰→Γ，即相角沿Γ走一圈回到原处，值只能变化n 2π.4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量； 方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解； e )(i (t)t 0n (t)R n,|))dt'(t'i -(ν→>⎰ε=ϕexp t 其中,e i (t)ν为Berry 相因子；。