平面蜗卷弹簧设计及有限元分析

图 1 涡旋槽型线
图 2 柔性弹簧平面图 (偏心型布置)
1. 4 内外连接孔的设计
圆中心留出一定的面积 ,根据接口尺寸开孔 。
同样 ,在槽的外周也可根据实际尺寸的大小开孔 。
弹簧的厚度根据实际的需要可以设不同的值 。
2 柔性弹簧有限元性能分析及试验验证
有限元分析方法已被成功地用于柔性弹簧的
性能分析[1 ,4 ,5 ,7 ] , 本文运用有限元程序对弹簧的
涡旋柔性弹簧型线设计及有限元分析 ———陈 楠 陈 曦 吴亦农等
涡旋柔wk.baidu.com弹簧型线设计及有限元分析
陈 楠1 陈 曦2 吴亦农2 杨春光1 徐 烈1
1. 上海交通大学 ,上海 ,200030 2. 中国科学院上海技术物理研究所 ,上海 ,200083
摘要 :提出了广泛用于小型低温制冷机上直线压缩机中涡旋柔性弹簧型线设计方法 。利 用基本的圆渐开线方程 ,通过调整基圆半径 、渐开线节距 、渐开线发生角 、涡旋体槽宽 、涡旋体 圈数 、渐开线的渐开角以及涡旋槽在空间的分布 ,来实现柔性弹簧型线的设计 。为了分析柔性 弹簧的各项性能 ,建立了有限元应力分析模型 ,通过有限元软件平台 ,对广泛使用的牛津型型 线的柔性弹簧进行了数值分析 ,并将分析结果与实验数据进行了对比 ,证明了有限元方法的有 效性 。根据不同的实际性能要求设计出了不同型线的柔性弹簧 。通过分析得出了弹簧几何特 征与弹簧刚度之间的关系 。
1 柔性弹簧型线几何设计方法
通过对已有弹簧型线的特性分析 ,可以看出 ,
虽然其形式千变万化 ,但其基本几何特性均为一
组渐开线组成 ,改变渐开线的参数及其空间位置
排布 ,可以得到不同结构的柔性弹簧 。
1. 1 圆渐开线构造涡旋槽型线
柔性弹簧的基本结构为在一金属薄板上加工
出一组涡旋槽 ,利用涡旋臂来实现其轴向的变形 。
收稿日期 :2005 —04 —11
变的前提下弹簧厚度加大 ,轴向刚度和径向刚度 增大 ,可提供的行程减小 ,因此 ,当弹簧外径和接 口尺寸受限 ,同时制冷机需要提供较大的径向刚 度 、轴向刚度和大的活塞行程时 ,单一改变弹簧厚 度就不能满足性能的需求 ,从而改变型线成为一 种有效的方法 。
Gaunekar 等[1] 对涡旋型线的弹簧性能进行 了有限元分析 ,提出了针对这种型线的量纲一设 计曲线 。Benschop 等[2] 运用涡旋弹簧开发了用 于红外探测系统的小型斯特林制冷机 。Richard 等[3] 设计出的涡旋弹簧经过了寿命 、环境等一系 列的实验测试 ,被成功地用于美国军用小型制冷 机 。刘晓华等[4] 运用涡旋弹簧研制开发了用于航 天 、航空的多种型号斯特林制冷机 。L ee 等[5] 运 用多项式拟合了不同型线的方程 ,开发了系列弹 簧的设计程序 。
关键词 :涡旋 ;柔性弹簧 ;有限元 ;刚度 中图分类号 : TB65 文章编号 :1004 —132X(2006) 12 —1261 —05
Design and Finite Element Analysis of Spiral Flexure Spring Chen Nan1 Chen Xi2 Wu Yino ng2 Yang Chunguang1 Xu Lie1
节点位移表示单元应力的关系式 :
σ = DBδ
(8)
式中 ,σ为单元内任意一点的应力列阵 ; D 为与单元材料
有关的弹性矩阵 。
利用变分原理 , 建立作用于单元的节点力和
节点位移之间的关系式 ,单元的平衡方程为
F = kδ
(9)
µ k = BT DB d xd yd z
(10)
式中 , k 为单元刚度矩阵 。
0 引言
现代斯特林和脉冲管式制冷机几乎均采用了 直线电机驱动 、间隙密封 、柔性弹簧支撑的技术方 案 。柔性弹簧用于支撑制冷机压缩活塞与膨胀活 塞 ,保持运动过程活塞与气缸的密封间隙 ,为活塞 往复振动提供足够刚度并且要有一定的行程 。因 此 ,柔性弹簧对于减少斯特林制冷机中间隙密封 的磨损 、提高整体可靠性和工作寿命有着至关重 要的作用 。疲劳强度 、轴向刚度 、径向刚度和柔性 弹簧组件的自振频率四个指标全面地反映了柔性 弹簧不同方面的性能 。这四个性能指标与弹簧几 何结构密切相关 。结构参数中可以调整的参数有 弹簧厚度 、型线方式 、内外螺孔的开口位置和大 小 ,以及弹簧外径 。其中 ,螺孔的位置和外径受外 界接口尺寸的限制 ,调整的余地不大 。在型线不
1. Shanghai J iao To ng U niver sit y ,Shanghai , 200030 2. Shanghai Instit ute of Technical Physics , Chinese Academy of Science ,Shanghai , 200083 Abstract :U niver sal design met hod of spiral flexure sp ring had been p ut forward fir stly. Thro ugh adjusting t he space dist ributio n of spiral arms to get her wit h t he parameters of spiral p rofile including base radius , involute pitch , involute angle , start angle of involute , t hickness of slot , vario us spiral flexure sp rings wit h different performances were o btained. Then t he finite element p rogram , who se validit y had been p roved by t he co mpariso n of t he result s of numerical analysis and t he experimental data , was used to analyse t he performance of t he flexure sp rings. On t he basis of t his met hod , so me new spiral flexure sp rings had been developed. Finally t he general relatio nship bet ween t he perform2 ance of flexure sp ring and t he geo met rical parameter has been fo und by t he finite element analysis , which can be server as t he guideline to t he design of flexure sp ring. Key words : spiral involute ;flexure sp ring ;finite element ; stiff ness
(图 2) :
x2s1 + y2s1
=
x
2 s2
+
y2s2
=
…=
x2sn + y2sn
=
rp2
( xs2 - x s1 ) 2 + ( ys2 - ys1 ) 2 = … =
(5)
( xsn - x s( n- 1) ) 2 + ( ysn - ys( n- 1) ) 2 式中 , n 为涡旋槽的个数 ; rp 为偏心圆半径 。
须的条件是其曲线必须与涡旋线光滑过渡 , 避免 产生应力集中 。
设首尾端处渐开线的渐开角为 φ′, 由式 (1)
可得涡旋槽的中心点的坐标 o( xo , yo) 为
xo = r(co sφ′+φ′sinφ′)
yo = r( sinφ′- φ′co sφ′)
(3)
由表 1 可得此处涡旋槽槽宽为 t = 2αr ,以涡旋
槽的中心 o( xo , yo) 为圆心 ,以半槽宽 R =αr 为半径
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作圆 ,与涡旋线相切 ,取外切圆部分 ,从而使涡旋线
封闭 。至此 ,完成了单条涡旋线的设计工作 。
1. 3 涡旋线的空间排列
将由上述方法构造出的涡旋槽型线按一定的
规律在空间进行排列即可得到一组辐射状涡旋
槽 。根据设计要求可以组成 2 ～ 4 条或多条涡旋
槽组成的柔性弹簧 。根据涡旋槽空间分布规律的
不同 ,可以分为同心型和偏心型两种 。同心型的各
条涡旋槽中心重合于一点 , 而偏心型的各条涡旋
槽中心按一定的角度均匀分布 。
同心型的涡旋方程起始点坐标如下 :
xs1 = x s2 = … = x sn
ys1 = ys2 = … = ysn
(4)
偏心型的涡旋方程起始点坐标满足如下方程
本文在对国内外斯特林制冷机用柔性弹簧型
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中国机械工程第 17 卷第 12 期 2006 年 6 月下半月
线特点分析的基础上 ,找到了目前广泛运用的涡 旋型线弹簧的设计方法 。为了分析柔性弹簧各项 性能 ,建立了有限元应力分析模型 ,通过有限元软 件平台 ,对牛津型型线的柔性弹簧进行了数值分 析 ,并将分析结果与实验数据进行对比 ,证明了有 限元方法的有效性 。
刚度及应力分布情况进行了数值分析 。
2. 1 弹簧性能的有限元分析方法
对弹簧进行强度与刚度有限元分析 , 首先对
结构进行离散化 ,将结构分解为有限个单元体 ,设
置节点[8 ] 。
选择位移模式 。单元内任一点位移可以用节
点位移表示出来 ,其矩阵形式为
f = Nδ
(6)
式中 , f 为单元内任一点的位移列 ;δ为单元的节点位移列
界条件如下 : 膜片弹簧在斯特林制冷机中 , 外边
曲线上的参数 ; s 表示涡旋线起点的坐标 。
通过改变基圆半径 、渐开线发生角 、涡旋槽槽
宽等表 1 中所示参数 , 可以得到不同几何形状的
涡旋线[6 ] 。
表 1 涡旋槽几何参数列表
基圆半径
渐开线节距
渐开线发生角
r
P = 2πr
α
涡旋槽槽宽
涡旋线圈数
渐开线渐开角
t = 2 αr
N
φ
1. 2 涡旋槽的首尾修正 对于弹簧而言 ,涡旋槽首尾必需封闭 。封闭必
yi = ysi + r[ sin (φi +α) - φi co s (φi +α) ]
xo = xso + r[co s (φo - α) +φo sin (φo - α) ]
(2)
yo = yso + r[ sin (φo - α) - φo co s (φo - α) ]
式中 ,i 表示涡旋槽内侧曲线上的参数 ;o 表示涡旋槽外侧
构成涡旋槽的基本方程可由两条圆渐开线经封闭
组成 (图 1) 。两条圆渐开线同基圆的渐开线构成
涡旋槽 , 在 X Y 平面上 , 涡旋槽中心上任一点的
坐标为
x = r(co sφ+φsinφ)
y = r( sinφ- φco sφ)
(1)
涡旋槽内外侧上任一点的坐标为
xi = xsi + r[co s (φi +α) +φi sin (φi +α) ]
阵 ; N 为形函数矩阵 ,它的元素是位置坐标的函数 。
由位移表达式 (6) 导出用节点位移表示单元
涡旋柔性弹簧型线设计及有限元分析 ———陈 楠 陈 曦 吴亦农等
应变的关系式 :
ε = Bδ
(7)
式中 ,ε为 单 元 内 任 意 一 点 的 应 变 列 阵 ; B 为 单 元 应
变矩阵 。
利用本构方程 , 由应变的表达式 (7) 导出用
式 (10) 积分应遍及整个单元的体积 。利用变
分原理还同时导得等效节点力 F。
将各个单元的刚度矩阵 , 集合成整个物体的
刚度矩阵 ;将作用于各单元的等效节点力列阵 ,集
合成总的载荷列阵 。于是得到以整体刚度矩阵 K、
载荷列阵 Fg 以及整个物体的节点位移列阵δg 表
示的整个结构的平衡方程 Kδg = Fg , 考虑几何边
界条件作适当修改之后 ,可以解得未知节点位移 。
有限元模型网格如图 3 所示 。材料为弹簧不
锈钢 , 材料的弹性模量为 1931 050 GPa , 材料密度
为 71 908 ×103 kg/ m3 ,泊松比为 01 3 ,膜片弹簧厚
为 01 29mm ,外径 59mm ,内孔径为 4mm 。计算边