宏观第三章

第三章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯最优增长模式

在索罗模式中，假定储蓄率是外生不变的。卡斯(Cass,D.1965)库普曼斯(Koopmans,T.C.1965)把拉姆塞(Ramsey,F.1928)的消费者最优分析引入新古典增长模式，为增长模式提供了一个内生决定的储蓄率，建立了一个新型的最优增长模式，合称拉姆塞－卡斯－库普曼斯模式(Ramsey-Cass-Koopmans Model)。在这一框架中，存在一个消费路径，并且储蓄率决定于在市场经济中相互作用的最优化的居民户和厂商。即，在一个跨时预算约束下，具有无限生命的居民户选择消费和储蓄以极大化其动态效用。这一模式的一个发现是，储蓄率一般不是常数，而是人均资本存量的函数。因此，该模式在两个方面修正了索罗模式：一是确立了平均储蓄率水平；二是决定了储蓄率随经济发展是上升还是下降。平均储蓄率水平对稳定状态中的变量水平的决定至关重要，尤其是，模式中的最优条件排除了索罗模式中的非效率的过度储蓄的可能性。储蓄率随经济发展上升或下降的趋势会影响转型动态，例如稳定状态的收敛速度。但是，遗憾的是，这一增长模式仍然无法消除长期人均增长率对外生技术进步的依赖。

第一节 拉姆塞模式

拉姆塞1928年发表《储蓄的数学理论》一文，奠定了最优积累和最优增长理论研究的基础。正如凯恩斯评价说：“(这篇文章)无论在主题本身的重要性及难度方面，运用技巧方法的力度和优美方面，还是在阐述主题的清晰、简洁，使读者了解作者的思想方面，都是对数理经济学所作过的最卓著的贡献之一。”1

在本文中，拉姆塞的一个突出贡献是，推导出在一个国家的收入中，最优储蓄的简单法则，亦即是现在著名的凯恩斯－拉姆塞法则。这一法则规定：储蓄率乘以货币(或消费)的边际效用，应该等于效用的总净享乐率与最大可能的享乐率之差。

1．1 拉姆塞模式的基本假定和基本框架

假定社会人口不变，他们的享乐能力或对劳动的负效用不变；不同时间的享乐和牺牲互相独立且是可加的；假定没有新发明或组织的改进；假定没有效用的贴现，这是“一个在伦理上站不住脚，仅仅由于想象力薄弱而产生的惯例。”2不考虑收入分配，假定消费和劳动在社会成员之间的分配方式只取决于其总量，因此总满足只是这些总量的函数；忽略不同商品和不同劳动之间的差异；不考虑对外贸易和借贷；最后假定社会的积累动机不变。

令C(t)和L(t)分别为社会的总消费和总劳动，在t 时的资本为K(t)。其收入(即产出)是劳动和资本的一般化的函数，即F(K,L)。由储蓄加消费必等于收入可得： (3.1) dK/dt+C=F(K,L),

令U(C)为消费C 的总效用率，V(L)为劳动的总负效用率，则相应的边际率)(c u '、)(l v '分别为： )(c u '=dU(C)/dC; )(l v '=dV(L)/dL,

假定)(c u '从不递增，)(l v '从不递减。给定资本K ，则U(C)－V(L)表示每单位时间的净享乐，

1 转引自J.伊特韦尔等主编：《新帕尔格雷夫大辞典》，经济科学出版社，1992年中译本，第四卷，第50页。

2 Ramsey,F.“A Mathematical Theory of Saving”,Economic Journal,December1928.

它是资本K 的函数，并随资本的增加而增加，因为拥有更多的资本就能取得更多的享乐。然而，享乐率随资本量的增加而递增的趋势终究会终止，这是因为：其一，进一步增加资本并不能提高收入或闲暇；其二，社会已经达到最大的可想象的享乐率，因此更多的收入或闲暇毫无用处。在其中的一种情形下，有限的资本会带来经济上可获得的(obtainable)最大的享乐率。在另一方面，随着资本的增加，享乐率可能永不会停止增长，其原因是：首先，享乐率要么会增加到无穷，要么会渐近于某个有限极限。其二，渐近于有限极限的享乐率可能或不可能等于最大的可想象的享乐率，这一极限称之为最大的可获得的享乐或效用率，简称极乐B(Bliss)。由此可见，每一个社会必须充分储蓄以在有限时间达到极乐或至少渐近于极乐。但并不意味整个收入应全部用于储蓄。储蓄越多，就能更快地达到极乐，但现在的享乐就越少，因而两者是替代的。

进一步地，拉姆塞建立起劳动负效用的等式，即任何时刻的劳动的边际负效用等于劳动的边际产出乘以该时刻消费的边际效用：

(3.2) )(l v '=)(c u L

F '∂∂, 而消费的边际效用等于

(3.3) d )(c u '/dt=)(c u K

F '-∂∂, 这一方程意味着)(c u '，消费的边际效用在既定利率下，会以一个比例下降。

给定初始资本，初始时间t=0，消费者的问题是可解得：

(3.4) min B U C V L dt --∞

⎰()()0 s.t. dK/dt=F(K,L)-C,

B 就是极乐。B U

C V L dt --∞

⎰()()0表示享乐与极乐之差在长期中的积分。它是有限值，问题是使其极小化。改变独立变量K ，可得： B U C V L F K L C

dK K -+-∞

⎰()()(,)0, 现在C 和L 都是K 的任意函数，极小化这个积分即是使这个积分的偏导数为零。求关于C 的导数可得：

－)(c u '/[F(K,L)－C]+[B －U(C)+V(L)]/[F(K,L)－C]2=0,

整理可得：

(3.5) dK/dt=F(K,L)－C=[B －U(C)+V(L)]/ )(c u ',

这就是拉姆塞所推导出来的凯恩斯－拉姆塞法则(Keynes-Ramsey Rule)：储蓄率乘以消费的边际效用应总等于极乐减实际享受的效用率。

运用这个法则，拉姆塞推断，最优储蓄应大大超过人们通常提出的储蓄率。他举例说明，最优储蓄应为收入的60％。当然，拉姆塞也意识到这个数字可能有问题，他补充说，人口的增加可能使所要求的储蓄更高；未来发明可能使极乐水平比现在的水平更高。另一方面，未来发明和组织的改进可能使未来能以较少的牺牲获得收入，从而可以较少储蓄。发明有正反两方面的影响：如果我们预先储蓄，它们就会给予我们可以更好满足的新需求，但它们也提高生产性能力并使初始储蓄重要性较小。

这个法则的两个显著特征是：首先它不依赖于生产函数F(K,L)；其次，储蓄水平不依赖于现期利率，除非它实际上为零。其实，第一个特征仅仅表面上如此，因为在方程(3.4)