导数与函数的极值和最值
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第三节 导数与函数的极值和最值
基础知识梳理
1．函数的极值 (1)函数的极值的概念： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞，0 则点a叫做函 数y＝f(x)的 极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x) 的 极小值 ．
基础知识梳理
(3)在解决实际优化问题时，不仅要 注意将问题中涉及的自变量的函数关系 式给予表示，还应确定函数关系式中自 变量的定义区间．
三基能力强化
1．(2010年山东烟台模拟)函数y＝x ＋2cosx在[0，π2 ]上取得最大值时，x的值 为________．
解析：y′＝(x＋2cosx)′＝1－2sinx， 令 1－2sinx＝0，且 x∈[0，π2]时，x＝π6， 当 x∈[0，π6]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增； 当 x∈[π6，π2]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减． ∴fΒιβλιοθήκη Baidux)max＝f(π6)． 答案：π6
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．
课堂互动讲练
当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函 数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函 数 f(x)单调递增． 此时 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a 是 f(x)的极小值点．
基础知识梳理
3．生活中的优化问题 利用导数解决实际问题中的最值问题应 注意： (1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定 要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题 的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区 间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与 端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．
基础知识梳理
(2)求函数极值的步骤： ① 求导数f′(x) ； ② 求方程f′(x)＝0的根 ； ③检查f′(x)在方程根左右的值的符 号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取 极大值 ，如果左负右正，那么f(x)在 这个根处取 极小值 ．
基础知识梳理
方程f′(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的 极值点是否正确？
答案：a>2或a<－1
课堂互动讲练
考点一
函数的极值问题
极值是一个局部概念，极值的大小 关系是不确定的，即极大值不一定比极 小值大，极小值也不一定比极大值 小．极值在区间端点处不存在．
课堂互动讲练
例1 (2009年高考北京卷)设函数f(x) ＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处 与直线y＝8相切，求a，b的值；
基础知识梳理
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它 在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ 0；而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)＞0 ， 右侧 f′(x)＜0 ，则点b叫做函数y＝f(x) 的 极大值点 ，f(b)叫做函数y＝f(x) 的 极大值 ．极小值点、极大值点统称 为 极值点 ，极大值和极小值统称为 极值 ．
(2)求函数f(x)的单调区间与极值 点．
【思路点拨】 (1)由f′(2)＝0，f(2) ＝8求a，b；(2)求f′(x)，讨论单调性．
课堂互动讲练
【解】 (1)f′(x)＝3x2－3a. 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直 线y＝8相切，
所以
f′(2)＝0， f(2)＝8，
即38(－4－6aa＋)＝b＝0，8.
三基能力强化
2．(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的 定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所 示，则函数f(x)________．
①无极大值点、有四个极小值点 ②有三个极大值点、两个极小值点 ③有两个极大值点、两个极小值点 ④有四个极大值点、无极小值点
三基能力强化
解析：设f′(x)与x轴的4个交点，从左至 右依次为x1、x2、x3、x4.
答案：a<0，b<0
三基能力强化
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间 [－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m， 则M－m＝________.
解析：由f′(x)＝3x2－12＝0得x＝±2， 又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8， f(－2)＝24， 则M＝24，m＝－8， ∴M－m＝32. 答案：32
课堂互动讲练
【点评】 求函数的极值，与研究函数 的单调性的过程是一致的，为使思路清晰， 可以严格按照求极值的步骤来推理，最好以 列表格的形式来体现，对含参数的问题，要 注意引起讨论的原因再分类讨论．
【思考·提示】 不正确，方程f′(x) ＝0的根未必都是极值点．
基础知识梳理
2．函数的最大值与最小值 在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤： (1) 求f(x)在(a，b)内的极值 ． (2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .
三基能力强化
5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1] 既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_ _______．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2 ＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. 因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当x1<x<x2时，f′(x)<0，f′(x)为减函数， 则x＝x1为极大值点， 同理，x＝x3为极大值点， x＝x2，x＝x4为极小值点． 答案：③
三基能力强化
3．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R 且ab≠0)的图象如图所示，且|x1|>|x2|，则 有a，b的正负情况是________．
基础知识梳理
1．函数的极值 (1)函数的极值的概念： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞，0 则点a叫做函 数y＝f(x)的 极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x) 的 极小值 ．
基础知识梳理
(3)在解决实际优化问题时，不仅要 注意将问题中涉及的自变量的函数关系 式给予表示，还应确定函数关系式中自 变量的定义区间．
三基能力强化
1．(2010年山东烟台模拟)函数y＝x ＋2cosx在[0，π2 ]上取得最大值时，x的值 为________．
解析：y′＝(x＋2cosx)′＝1－2sinx， 令 1－2sinx＝0，且 x∈[0，π2]时，x＝π6， 当 x∈[0，π6]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增； 当 x∈[π6，π2]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减． ∴fΒιβλιοθήκη Baidux)max＝f(π6)． 答案：π6
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．
课堂互动讲练
当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函 数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函 数 f(x)单调递增． 此时 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a 是 f(x)的极小值点．
基础知识梳理
3．生活中的优化问题 利用导数解决实际问题中的最值问题应 注意： (1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定 要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题 的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区 间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与 端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．
基础知识梳理
(2)求函数极值的步骤： ① 求导数f′(x) ； ② 求方程f′(x)＝0的根 ； ③检查f′(x)在方程根左右的值的符 号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取 极大值 ，如果左负右正，那么f(x)在 这个根处取 极小值 ．
基础知识梳理
方程f′(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的 极值点是否正确？
答案：a>2或a<－1
课堂互动讲练
考点一
函数的极值问题
极值是一个局部概念，极值的大小 关系是不确定的，即极大值不一定比极 小值大，极小值也不一定比极大值 小．极值在区间端点处不存在．
课堂互动讲练
例1 (2009年高考北京卷)设函数f(x) ＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处 与直线y＝8相切，求a，b的值；
基础知识梳理
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它 在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ 0；而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)＞0 ， 右侧 f′(x)＜0 ，则点b叫做函数y＝f(x) 的 极大值点 ，f(b)叫做函数y＝f(x) 的 极大值 ．极小值点、极大值点统称 为 极值点 ，极大值和极小值统称为 极值 ．
(2)求函数f(x)的单调区间与极值 点．
【思路点拨】 (1)由f′(2)＝0，f(2) ＝8求a，b；(2)求f′(x)，讨论单调性．
课堂互动讲练
【解】 (1)f′(x)＝3x2－3a. 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直 线y＝8相切，
所以
f′(2)＝0， f(2)＝8，
即38(－4－6aa＋)＝b＝0，8.
三基能力强化
2．(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的 定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所 示，则函数f(x)________．
①无极大值点、有四个极小值点 ②有三个极大值点、两个极小值点 ③有两个极大值点、两个极小值点 ④有四个极大值点、无极小值点
三基能力强化
解析：设f′(x)与x轴的4个交点，从左至 右依次为x1、x2、x3、x4.
答案：a<0，b<0
三基能力强化
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间 [－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m， 则M－m＝________.
解析：由f′(x)＝3x2－12＝0得x＝±2， 又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8， f(－2)＝24， 则M＝24，m＝－8， ∴M－m＝32. 答案：32
课堂互动讲练
【点评】 求函数的极值，与研究函数 的单调性的过程是一致的，为使思路清晰， 可以严格按照求极值的步骤来推理，最好以 列表格的形式来体现，对含参数的问题，要 注意引起讨论的原因再分类讨论．
【思考·提示】 不正确，方程f′(x) ＝0的根未必都是极值点．
基础知识梳理
2．函数的最大值与最小值 在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤： (1) 求f(x)在(a，b)内的极值 ． (2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .
三基能力强化
5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1] 既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_ _______．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2 ＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. 因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当x1<x<x2时，f′(x)<0，f′(x)为减函数， 则x＝x1为极大值点， 同理，x＝x3为极大值点， x＝x2，x＝x4为极小值点． 答案：③
三基能力强化
3．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R 且ab≠0)的图象如图所示，且|x1|>|x2|，则 有a，b的正负情况是________．