等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题

例1 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列

（1）求{n a }的公比q ；

（2）求1a －3a ＝3，求n s

例2 在正项数列{}n a 中,令11n n i i i S a a =+=+. （Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ； （Ⅱ）若11

n n S a a +=+（p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；

例3 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且12,,++m m m a a a 成等差数列.

（1）求q 的值；

（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列说明理由.

例 4 已知数列｛a n ｝的首项a a =1（a 是常数），2

4221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列.若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且

{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件． 例5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；

(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； (Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .

例 6 已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．

（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S

例7 设数列{}{},n n a b 满足111,0a b ==且1123,1,2,3,2,n n n n n n a a b n b a b ++=+⎧=⎨=+⎩L L

（Ⅰ）求λ的值，使得数列{}n n a b λ+为等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅲ）令数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n S '，求极限lim n n n

S S →∞'的值． 例8 数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n n a x

b =，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，

e ＝⋅⋅⋅）和任意正整数n ，总有n T < 2； (Ⅲ) 正数数列{}n c 中，()

)(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.

例9 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足222223457,7a a a a S +=+=。

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；

（2）试求所有的正整数m ，使得

12

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。

例10 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。

（1） 若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2） 找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,1n n n

a b a +=,并说明理由； （3） 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明。