欧拉公式的证明方法和应用

欧拉公式
θθθ
sin cos i e
i +=的证明方法和应用
摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ
sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。

关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数
1.欧拉公式意义简说
在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ
sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π
，即01=+e i π
，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。

它们在数学中各自都有发展的方面。

因此e i π
+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。

了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

2.欧拉公式的证明简述
在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法
引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ
sin cos i e i +=， 2.2复指数定义法
用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy
x z
+==+，证明欧拉公θθθ
sin cos i e i +=
2.3类比法求导法
通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x
i x x f e
ix
sin cos )(+=
，
0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix
sin cos +=
2.4分离变量积分法
假设x i x z sin cos +=，求导得
iz dx dz =，通过分离变量得,idx z
dz =，然后两边取积分得
ix z L n =，所以得x i x e ix
sin cos +=.
3.欧拉公式的证明方法
3.1幂级数展开式的证明方法：
3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ：
,)!
1(!
5!
3)sin(1
21
5
3)
1( +-+++-
=---zn z z z z
z n n
,)!
2(!
4!
21)cos(24
2
)
1( ++++
-
=-n z z
z
z
n
n
3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]
,!
!
212
++
++
+=n z z
z
e n
z
当用iz 代替 z 时，那么
++
++
+=!
!
21)()(2
n iz iz iz e
n
iz
)!
4!
21(4
2
++
-
=z
z
)!
5!
3(5
3 ++-
+z
z z i
z i z sin cos +=
当θ=z 时，得到θθθ
sin cos i e i +=。

（证完）
3.2复指数定义法：
对于任何复数iy x z += ),(R y x ∈ ，有
)sin (cos y i y e e
e
x
iy
x z
+==+[2]，当x=0时，另
,θ=y 有θθθ
sin cos i e i += （证完）
3.3类比求导法： 3.3.1构造函数x
i x x f e
ix
sin cos )(+= 为虚数i R x ,∈
3.3.2计算导数
2sin 2cos )
cos sin sin cos ()sin (cos )
cos sin ()sin (cos )(2
=+-+-=++--+='x i x x i x x x i x i x x i x x i x i x f e
e e ix
ix
ix
3.3.3lagrange 微分中值定理的推论
若函数)(x f 在区间I 上可导，且)(x f 的导数恒等于0，x 属于I ，则)(x f 为I 上的一个常量函数[3]。

根据这推论，所以有,)(c x f =c 为常量，又因为1)0(=f , 所以1)(=x f ,有
x i x e
ix
sin cos +=.（附件②） （证完）
3.4分离变量积分法
假设x i x z sin cos +=, 难么
iz x i x i x x i dx
dz
=+=-=)sin (cos sin cos ，分离变量得： ,idx z dz = 所以两边同时积分得⎰⎰=dx i dz z
1
，即c ix z L n +=，当取x=0时，10sin 0cos =+=i z ，
01=+==c i z l L n
n
， 所以0=c ,所以
ix z L
n
=，
e
e
ix
z x i x z L n =
+==sin cos ，所以x i x e ix
sin cos +=。

（证完）
4.欧拉公式在数学中的应用
在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。

4.1公式证明和应用
4.1.1 证明棣莫弗（de Moivre ）公式[4])sin (cos sin cos x i x n
nx i nx +=+；
证明：由欧拉公式x i x e ix
sin cos +=可知：
()
)sin (cos x i x e
n n
ix +=即nx i nx e
inx
sin cos +=，所以有)sin (cos sin cos x i x n
nx i nx +=+ 4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：
na
n a x na n a x o n n
a
x n n
a
x x e
x e sin !
)sin sin(;
cos !
)sin cos(cos 0cos ∑∑∞
=∞
===；
证明：令,sin cos a i a z ==由欧拉公式可知
))sin(sin )(cos(sin cos sin cos )
sin (cos a i a e
e
e
e
e a
a
i a
a i a z
+===+
即))sin sin()sin (cos(cos sin cos )
sin (cos a x i a x e
e
e
e e a
x a
ix a
x a i a x xz
+===+
))sin sin()sin cos(cos cos a x i a x e
e
a
x a
x +=
又由于：
x x x xz e
n
n n n n n
n n
xz
n na i n na n na i na n ∑∑
∑
∑
∞
=∞
=∞
=∞
=+=+==0
000
!sin !cos !
)sin (cos !
)
(
比较实部和虚部的到
na
n a x na n a x o n n
a
x n n
a
x x e
x e sin !
)sin sin(;
cos !
)sin cos(cos 0cos ∑∑∞
=∞===
4.2定义证明和应用
4.2.1证明复数z 的正弦函数和余弦函数
.2cos ,2sin i
z i
z e e
e e
iz
iz
iz
iz
--+=-=[2]
证明：由欧拉公式x i x e ix sin cos +=可得，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-x
i x x
i x e e ix ix sin cos sin cos ，
从而得到⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=--i x x e e e e ix
ix ix
ix 2sin 2cos .对于任意的实数x 成立，这两个公式中的x 代以任意复数z 后，由)sin (cos y i y e e
e x
iy
x z +==+，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：
.2cos ,2sin i
z i
z e e
e e
iz
iz
iz
iz
--+=-=
4.2.2求)21sin(i +的值[2]： 解：
1
cos 2sinh 1sin 2cosh 1
cos 21sin 22)
1sin 1(cos )1sin 1(cos 2)21sin(2
2
2
2
2
2
)
21()
21(i i i
i i i
i e
e
e
e
e e e e
i i i i +=-++=
--+=-=+---+-+
此式为复数解正弦函数（附件③）
5.综合总结
对于欧拉公式x i x e ix
sin cos +=，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了几个
列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。

我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。

通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于1
-=e i π
也就不那么陌生了。

6.考文献
[1] 数学分析 下册 第三版 华东师范大学数学系 编 第十四章 幂级数 2001 [2] 复变函数论 第三版 钟玉泉 编 第二章 解析函数 2004
[3] 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 第六章微分中值定理及应用 2001 [4] 数学分析 下册 华东师大第三版 同步辅导及习题全解 2006 [5] 生活与科学文库 e 的奥秘 1991
7.附件
7.1附件① 因为对于实函数e de ax
ax
a dx
=，
x
a x dx
x a x d cos sin )
sin (cos +-=+a 为常数，所以
对于复函数有)sin (cos )
sin (cos ,
x i x i dx
x i x d i dx
e de ix
ix
+=+=
7.2附件②对于构造的函数x
i x x f e
ix
sin cos )(+=
是有意义的，因为
|x i x sin cos +|1sin cos
2
2
=+=x x 所以0sin cos ≠+x i x 。

因此，函数x
i x x f e
ix
sin cos )(+=
是
有意义的。

因为x
i x x f e
ix
sin cos )(+=
所以
2sin 2cos )
cos sin sin cos ()sin (cos )
cos sin ()sin (cos )(2
=+-+-=
++--+='x
i x x i x x x i x i x x i x x i x i x f e
e e ix
ix
ix
又根据lagrange 中值定理可得 c x f =)( c 为实常数，又因为=
)0(f 0
sin 0cos 0
i e
i +=1则有
1)(=x f ，所以有1sin cos )(=+=
x
i x x f e
ix
，
所以x i x e ix
sin cos += 7.3附件③复函中规定： 2
cosh ,2
sinh e e
e e z
z
z
z
z z --+=-=。