卡方检验

值不需要连续性矫正。
其理论数的计算仍为 E ij
i行总数 j列总数
总数
[例] 表5.11为不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调
查资料。试测验稻叶衰老情况是否与灌溉方式有关。
表5.11 水稻在不同灌溉方式下叶片的衰老情况 灌溉方式 深 水 浅 水 湿 润 总 计 绿叶数 146 (140.69) 183 (180.26) 152 (160.04) 481 黄叶数 7 (8.78) 8 (11.24) 14 (9.98) 30 枯叶数 7 (10.53) 13 (13.49) 16 (11.98) 36 总 计 160 205 182 547
假设H0：两变数相互独立，即种子灭菌与否和散黑穗病
病穗多少无关；HA：两变数彼此相关。 显著水平 =0.05。 根据两变数相互独立的假定，算得各组格的理论次数。 如种子灭菌项的发病穗数O11=26，其理论次数
E11=(210×76)/460=34.7，即该组格的横行总和乘以纵行总
和再除以观察总次数(下同)；同样可算得 O12=50 的 E12=(250×76)/460=41.3； O21=184的E21=(210×384)/460=175.3； O22=200的E22=(250×384)/460=208.7。
对于仅划分为两组(如显性与隐性)的资料，如检验其与 某种理论比率的适合性，则其 值皆可用下列简式求出
表5.4
测验两组资料与某种理论比率符合度的
公式 (|A-a|-1)2/n 1∶1
值公式
理论比率(显性∶隐性)
2∶1
3∶1 15∶1 9∶7 13∶3 r∶1
(|A-2a|-1.5)2/2n
(|A-3a|-2)2/3n (|A-15a|-8)2/15n (|7A-9a|-8)2/63n (|3A-13a|-8)2/63n [|A-ra|-(r+1)/2]2/rn
a21
aj1 ar1 C1
a22
aj2 ar2 C2
…
… … …
a2i
aji ari Ci
率。 显著水平 =0.05。 ，故在计算 值时
由于该资料只有k=2组， 需作连续性矫正。
查附表6，
。现
故应接
受H0，说明大豆花色这对性状是符合3∶1比率，即符合一对 等位基因的表型分离比例。
分离比例一类的适合性测验计算
过计算理论次数，而直接得出：
时，也可以不经
(5· 13)
其中，A和a分别为显性组和隐性组的实际观察次数； n=A+a，即总次数。本例资料代入(5.13)有：
[例]
两对等位基因遗传试验，如基因为独立分配，则
F2代的四种表现型在理论上应有9∶3∶3∶1的比率。有一 水稻遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品种 杂交，其F2代得表5.5结果。试检查实际结果是否符合 9∶3∶3∶1的理论比率。
表 F2代表型的观察次数和根据9∶3∶3∶1算出的理论次数 表现型
以上各个E值填于表5.7括号内。
以上各个E值代入
有
这里 实得
=(2－1)(2－1)=1，查附表4，
，现
，故P <0.05，应否定H0。即种子
灭菌与否和散黑穗病发病高低有相关，种子灭菌对防治小 麦散黑穗病有一定效果。
2×2表的独立性测验也可不经过计算理论次数而直接
得到 值。
表 2×2表的一般化形式
2×2列联表的一般形式
c1 r1 o11 c2 o12 总和 R1 =o11+ o12
r2
总和
o21
C1 =o11+ o21
o22
C2 =o12+ o22
R2=o21+ o22
T
检验程序
1、提出假设 H0：O-E=0；HA： O-E≠0 2、根据概率的乘法法则计算理论数：理论数的计算方 法——
此处
=(2－1)(3－1)=2。查附表6，
，现
，P<0.05，应否定H0，接受HA。即不 同物种Aph等位基因型频率有显著相关，或者说不同物种 的Aph等位基因型频率有显著差别。
2×C表独立性测验的值，也可直接由下式得到。
( i=1，2，3，…，c )
2×C表的一般化形式如表5.10。
表5.10 2×C表的一般化形式
花色 F2代实际株数 理论株数 (O) (E) O－E | O－E |－1/2 (|O－E|－1/2)2/E
紫色
白色 总数
208
81 289
216.75
72.25 289
－8.75
＋8.75 0
8.25
8.25
0.3140
0.9420 1.2560
H0：大豆花色F2分离符合3∶1比率；HA：不符合3∶1比
H0：稻叶衰老情况与灌溉方式无关；HA：稻叶衰老情
况与灌溉方式有关。 取 =0.05。
根据H0的假定，计算各组格观察次数的相应理论次数： 如与146相应的E=(481×160)/547=140.69，
与183相应的E=(481×205)/547=180.26，……，
所得结果填于表7.11括号内。 根据 可得
(3）计算
值
查附表4，当
时
=3.84 ，实得
=0.2926小于
，所以接受H0。即认为观察次数和理
论次数相符，接受该玉米F1代花粉粒碘反应比率为1∶1的 假设。
[例] 大豆花色一对等位基因的遗传研究，在F2获得表7.3 所列分离株数。问这一资料的实际观察比例是否符合于3∶1 的理论比值。
表 大豆花色一对等位基因遗传的适合性测验
E ij
i行总数 j列总数
总数
3、检验统计量:
4、统计推断
[例] 调查经过种子灭菌处理与未经种子灭菌处理的小 麦发生散黑穗病的穗数，得相依表5.7，试分析种子灭菌 与否和散黑穗病穗多少是否有关。
表5.7 防治小麦散黑穗病的观察结果 处 理 项 目 种子灭菌 种子未灭菌 总 数 发 病 穗 数 26( 34.7) 184(175.3) 210 未发病穗数 50( 41.3) 200(208.7) 250 总 76 384 460 数
检验Oi与Ei的差异显著性，判断两者之间的不符合度
a、H0 ：O-E=0；HA ： O-E≠0（这里检验的不是参数， 而是判断观测数是否符合理论分布） b、确定显著水平
（Oi Ei） C、计算卡方值： Ei i 1
k 2 2 df
要求Ei=nPi不得小于5，若小于5，将尾区相邻的组合 并，直到合并后的组的Ei≥5，合并后再计算卡方值。 统计推断：
第五章 卡方检验
第一节 卡方检验的原理和方法
1、卡方检验的原理
应用理论值（expected value，E）与观测值 （observed value，O）之间的偏离程度来决定 卡方值的大小。
其中：Oi－观察次数
Ei－理论次数 k－观察值类型数（或状态数）
2、卡方检验的程序
将观测值分为k组 计算n次观测值中每组的观测数，记为Oi 根据变量的分布规律或概率运算法则，计算每组的理论 频率为Pi 计算每组的理论频数Ei
实际资料多于两组的
值通式则为：
(5· 15)
上式的mi为各项理论比率，ai为其对应的观察次数。 如本例，亦可由(5· 15)算得
与此一致。
也可转化为以下简式：
(5· 14)
上式中的a1、a2、a3、a4分别为9∶3∶3∶1比率中各项
表现型的实际观察次数，n为总次数。
前面的
=92.696，与此
=92.706略有差异，
第二节 适合性检验
用来检验观测数和依照某种假设或分布模型计算得到的理
论数之间一致性的一种统计假设检验。
一、适合性测验的步骤
1 ．提出假设:
２．确定显著水平 ３．检验计算： 求卡平方值 v≥2(即k ≥ 3)时
v=1(即k=2)时
4、依所得概率值的大小，接受或否定无效假设
在实际应用时，往往并不需要计算具体的概率值。 若实得 ≥ 时，则H0发生的概率小于等于 ＜ 时，则H0被接受。 ，属
为1∶1，由此可以计得3437+3482=6916粒花粉中，蓝色
反应与非蓝色反应的理论次数应各为3459.5粒。设以O代 表观察次数，E代表理论次数，可将上列结果列成表
玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数
碘反应
观察次数(O) 理论次数(E)
O－E
(O－E)2/E
蓝色 非蓝色 总数
3437(O1) 3482(O2) 6919
(5· 17)
横行因素
纵 行 因 素
1 2 … i … c
总
计
1
2 总 计
a11
a21 C1
a12
a22 C2
…
… …
a1i
a2i CiFra Baidu bibliotek
…
… …
a1c
a2c Cc
R1
R2 n
三、r×c表的独立性测验
若横行分r 组，纵行分c 组，且r≥3，c≥3，则为r×c相 依表。 对r×c表作独立性测验时，其 =(r－1)(c－1)，计求
小概率事件，H0便被否定； 若实得
例:玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是一对相对性状。 淀粉粒遇碘呈蓝色反应，因而可以用碘试法直接观察花粉 粒的分离现象。某项实验观察淀粉质与非淀粉质玉米杂交 的F1代花粉粒，经碘处理后有3437粒呈蓝色反应，3482粒 呈非蓝色反应。根据遗传学理论可假设玉米花粉粒碘反应
豆、223份栽培大豆等位基因型的次数列于表5.9，试分
析大豆Aph等位酶的等位基因型频率是否因物种而不同。
表5.9 野生大豆和栽培大豆Aph等位酶的等位基因型次数分布
物 种 1 野生大豆 G.soja 栽培大豆 G.max 29(23.66) 22(27.34) 等 位 基 因 型 2 68(123.87) 199(143.13) 3 96(45.47) 2(52.53) 193 223 总 计
本例 现
=(3－1)(3－1)=4，查附表4， ,P>0.05， 故应接受H0，即不同
灌溉方式对水稻叶片的衰老情况没有显著影响。
r×c表的一般化形式如表5.12。
表5.12 r×c表的一般化形式
横行因素
1
纵 行 因 素 1 a11 2 a12 … … i a1i … … c a1c
总
R1
计
2
j r 总 计
观察次数(O) 稃尖有色 非糯 491 稃尖有色 糯稻 76 稃尖无色 非糯 90 稃尖无色 糯稻 86
总数
743
理论次数(E)
O －E
417.94
73.06
139.31
-63.31
139.31
-49.31
46.44
39.56
743
0
首先，按9∶3∶3∶1的理论比率算得各种表现型的理 论次数E， 如稃尖有色非糯稻 E=743×(9/16)=417.94，
3459.5(E1) 3459.5(E2) 6919
－22.5 ＋22.5 0
0.1463 0.1463 0.2926
此处要推论是否符合1∶1分离，只要看观察次数与理 论次数是否一致，故可用 测验：
（1）设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差 异由抽样误差所引起，即H0：花粉粒碘反应比例为1∶1 与HA：花粉粒碘反应比例不成1∶1。 （2）确定显著水平 =0.05。
系前者有较大计算误差之故。
第三节 独立性检验
范围：检验两个以上因子彼此之间是相互独立的还是 相互影响的一种统计分析方法。 方法：将数据列成列联表，也称列联表卡方检验。
根据处理及考察指标的多少分为不同的列联表：
一、2×2列联表的独立性测验
2×2列联表是指横行和纵行皆分为两组的资料。在 作独立性测验时，其 时需作连续性矫正。 =(2－1)(2－1)=1，故计算 值
a11 a21 C1
a12 a22 C2
R1 R2 n
(5· 16)
如本例各观察次数代入(5· 16)可得：
二、2×C表的独立性测验
2×C表是指横行分为两组，纵行分为C≥3组的相依表资
料。 在作独立性测验时，其 c≥3,故不需作连续性矫正。 =(2－1)(c－1)=c－1。由于
[例5.9] 进行大豆等位酶Aph的电泳分析，193份野生大
总
计
51
267
98
416
H0：等位基因型频率与物种无关；HA：两者有关，不
同物种等位基因型频率不同。 显著水平 =0.05。
根据H0算得各观察次数的相应理论次数： 如观察次数29的E=(193×51)/416=23.66，
观察次数22的E=(223×51)/416=27.34，…；
将其填于表7.9的括号内。 再代入 可得：
稃尖有色糯稻
E=743×(3/16)=139.31，…。
H0：稃尖和糯性性状在F2的分离符合9∶3∶3∶1； HA：不符合9∶3∶3∶1。 显著水平： =0.05。 然后计算 值
因本例共有k=4组，故df=k-1=3。查附表4，
,现实得
,所以否定
H0，接受HA，即该水稻稃尖和糯性性状在F2的实际结果 不符合9∶3∶3∶1的理论比率。 这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传， 而可能为连锁遗传。