《管理运筹学》目标规划

第4章 目标规划
7
例4-1用目标规划表示的模型为
min
z

P1d1

P2d 2

P3d
3

P4d 4

P4 d 5
40x1 30x2 50x3 d1 d1 3200

x1
1.5x2

d
2

d
2

0


s.t.

3x1
2x1
x2 2x2
j1 xj 0
j 1,, n
d
k
,
d
k

0
k 1,, K
其中：Pl为第l级优先因子，l=1, …,L; -lk，+lk为分别赋
予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数。gk为第k个目 标的预期目标值，k=1, …,K。
第4章 目标规划
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当目标规划问题中只包含两个决策变量时，可以用图解法 进行求满意解。
目标规划图解法的计算步骤如下：
（1）对所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差 变量变化时直线平移方向。
（2）确定第一优先级P1级各目标的解空间R1。 （3）转到下一个优先级PJ级个目标，确定它的“最佳”解空间RJ。 （4）在求解过程中，若解空间 RJ已缩小为一点，则结束求解过程，因
为此时已没有进一步改进的可能。
（5）重复第（3）步和第（4）步过程，直到解空间缩小为一点，或者 所有L个优先级都已搜索过，求解过程也告结束。
第4章 目标规划
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例4-2 用图解法求解下列目标规划问题
min
z

P1d1

P2d 2

P3
(5d
3

3d
4
)

P4d1
x1 2x2 d1 d1
假设三个目标优先级依次为（1）（2）（3）。由于有三 个目标优先级（P1，P2，P3），所以要分三步完成：
第1步：首先保证P1级目标的实现，这时不考虑其他次级
目标。 优先级1的数学模型为：
Min z1 d1

x1

4
2x2 12
s.t.3x2x122xx1 2d118 d1 0
X=（ x1 ，x2 ）=（13/2，5/4）， Z=9/4 P3 +3 P4
第4章 目标规划
12
求解线性规划的单纯形法的过程基本一致，只是在检验数 处理时，需要考虑优先次序的影响。而且，目标规划的目 标函数是求最小化，所以当检验数均为大于等于零时为满 意解。
例4-3用单纯形法求解例4-2
x3

d
3

d
3

30
2x3

d
4

d
4

200
4x3

d
5

d
5

200

4
x1
2x1
5x2 3x2
x3 5x3
360 300
x1
x2
x3
0
其满意解为X=（28，20，30）， d1+ =20， d2- =2， d4-=36， d5+ =16，其余变量为零。
x1, x2, x3 0
该线性规划模型无可行解。
第4章 目标规划
5
目标规划是按事先制定的目标顺序进行检查，尽可 能使目标达到预定的目标，即使不能达到目标也要 使得偏离目标的差距最小，也就是求得满意解。
（1） 设置偏差变量，表明实际值同目标值之间的差异
d+, d- 分别为正、负偏差变量, d+表示实际值超过目标值部分； d- 表示 实际值未达到目标值部分；d+ 和 d- 两者中必定至少有一个为零。
第4章 目标规划
4
决策者考虑以下实际目标： 利润不少于3200元 产品甲的产量不超过产品乙
的产量的1.5倍 提高丙的产量达到30以上 设备加工能力不足时可以加
班，但最好不加班 原料只能使用现有的原料。 企业如何制定生产计划，才
能实现决策者的目标？
如果用线性规划求解，模型如 下：
（2）绝对约束和目标约束
绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，也称硬约束。 目标约束：允许发生正或负偏差，也称软约束。
第4章 目标规划
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（3）优先因子（优先等级）与权系数
一个规划问题常常有若干目标，但决策者在要求达到这些目标时，是 有主次和轻重缓急的不同。要求第一位达到的目标赋予优先因子P1， 次位的目标赋予优先因子P2, 规定Pk>>Pk+1，k=1,2, …,K。
第4章 目标规划
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目标规划的数学模型的一般形式为
L
K
min z
Pl
lk
d
k

lk
d
k
l1 k 1


n
aij x j
，bi
i 1,, m
j1
s.t.
n
ckj x j

d
k

d
k

gk
k 1,, K
P2 (d2

d
2
)

P3d3
（1）根据市场信息，窗的销售 量有下降的趋势，故希望窗的

x1

4
产量不超过门的2倍；(希望≤)
（2）由于车间3有另外新的生产 任务,因此希望车间3节省4个工 时用于新的生产任务;(希望＝)
2x2 12
s.t.3x2x122xx1 2d118 d1 0
例4-1 某企业计划生产甲、乙、丙三种产品，需要在两种设 备A、B上加工，消耗C、D两种原料，有关数据见下表。
甲
乙
A（设备）
3
1
B（设备）
2
2
C（原料）
4
5
D（原料）
2
3
利润（元/件）
40
30
丙
现有资源
2
200
4
200
1
360
5
300
50
第4章 目标规划
3
设x1, x2 , x3 分别为甲、乙、丙的产量，则利润最大的 线性规划模型为：
max z 40x1 30x2 50x3
3x1 x2 2x3 200
s.t.
42
x1 x1

2 x2 5x2

4 x3 x3

200 360
2x1 3x2 5x3 300
x1, x2, x3 0
线性规划最优解为X* =（50，30，10） Z*=3400
Min
z2

d
2

d
2
x1 4

2
x2
12
3x2x122xx1 2d118 d1 0
s.t.
3x1

2 x2

d
2

d
2
14
300
x1
500 x2
d3
d3
3000
d1 0

x1
,
x2
,
d1
,
d1
车间
单位产品的生产时间
门
窗
每周可以获得的 生产时间（小时）
1
1
0
4
2
0
2
12
3
3
2
18
单位利润（元）
300
500
其最优解为：X*=（ x1 ，x2 ）=（2，6） Z*=3600
第4章 目标规划
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现在工厂领导要考虑市场等一系 则目标规划模型为：
列其他因素，提出如下目标：
Min
z

P1d1

这时，所有非基变量的检验数都大于零，所以有唯一最优解。
X*=（13/2，5/4）
Z*=9/4P3+3P4
第第4章 目标规划
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例4-4 利用Excel求解目标规划问题。
某工厂要生产两种新产品：门和窗。生产所需的时间如下 表所示。根据经市场调查得到的该两种新产品的市场需求 状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品均能销售 出去。问该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，可使 总利润最大？
6

x1 x1

2 2
x2 x2
d2 d2

d3

d
3
9 4

x2
d4 d4 2
x1 , x2 , di , di 0 i 1 , 2 , 3 , 4
第4章 目标规划
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解：所有目标约束，去掉偏差变量， 画出相应直线，然后标出偏差变量变 化时直线平移方向。
,
d
2
,
d
2
,
d3
,
d3
0
第4章 目标规划
21
第4章 目标规划
22
第3步：在保证P1级和P2级目标实现的基础上考虑 P3级目标。优先级3的数学模型为：
Min
z3

d
3

x1

4
2 x2 12
3x1 2 x2 18

x2
2 x1
d1
s.t.3x1 2 x2 d
总之，根据已知目标排序得到的满意解为： （ x1 ，x2 ）=（2，4） Z*=2600
需要注意的是： 优先目标规划是渐进的，每次的模型都不同。 目标优先次序改变时，满意解可能发生变化。
第4章 目标规划
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（4）目标规划的目标函数
每当一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值，因此 目标规划的目标函数只能是min Z=f (d+, d- )。其基本形式有三种： ①恰好达到目标值，正、负偏差变量都尽可能地小，min Z=f (d+, d- ) ②不超过目标值，正偏差变量要尽可能地小，min Z=f (d+) ③超过目标值，负偏差变量要尽可能地小，min Z=f (d- )
P1、P2的目标实现后，x1 , x2 的取值 范围为ABCD。
考虑P3的目标中 d3- 尽量小的要求后， x1 , x2 的取值范围缩小为ABEF区域；
然后考虑 ，在ABEF中无法满足d4=0,因此只能在ABEF中取一点，使d4尽可能小，这就是E点。
故E点为满意解。其坐标为（13/2， 5/4）。
Goal Programming 第四章 目标规划
GP
4.1 目标规划问题及其建模 4.2 目标规划的图解法 4.3 目标规划的单纯形法 4.4 目标规划应用
第2章 单纯形法
2
目标规划（Goal Programming）研究企业考虑现有的资 源条件下，在多个目标中去寻求满意解，使得完成目标 的总体结果与事先制定目标的差距最小。
3x1

2 x2

d
2

d
2
14
300
x1
500x2
d3

d3

3000

x1
,
x2
,
d1
,
d1
,
d
2
,
d
2
,
d3
,
d3

0
第4章 目标规划
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第4章 目标规划
20
第2步：在保证P1级目标实现的基础上考虑P2级目 标。优先级2的数学模型为：
3x1

2 x2

d
2

d2
14
（3）应尽可能达到并超过计划
300
x1
500x2

d3

d3

3000
的每周利润3000元。 （希望
x1, x2 0, di , di 0 (i 1, 2, 3)
≥）
第4章 目标规划
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Excel电子表格求解目标规划是按照优先级渐进的。
d1
2
d
0
2
14
300 x1
500 x2
d3

d
3
3000

d1

0

d
2

d
2
0
x1,
x2
,
d1
,
d1
,
d
2
,
d
2
,
d3
,
d3
0
第4章 目标规划
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第4章 目标规划
24
第三次求得的解只能使d3- =400，可见在实现了前两 个优先级的目标基础上，优先级3的目标不能实现。
Step (0):
初始单纯 形表
第4章 目标规划
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Step (1):
x2 入基， d4- 出基
Step (2):
d4+ 入基， d1- 出基
第4章 目标规划
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Step (3):
x1 入基， d4+出基
Step (4):
d4- 入基， d3- 出基
第4章 目标规划
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Step (5):
d1+ 入基， d2-出基
max z 40x1 30x2 50x3
40x1 30x2 50x3 3200

x1 1.5 x2
0

x3 30
s.t.
3x1 2 x1

x2 2 x2

2 x3 4 x3

200 200
4
x1

5x2

x3 360
2x1 3x2 5x3 300