第6章空间解析几何

例1 求证以 M1 4,3,1 ，M2 7,1,2 ，M3 5,2,3
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
例2 在Z轴上求与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2) 等距离的点。
例3 已知两点A（4，0，5）和B（7，1，3）。
求方向和 AB 一致的单位向量。
四、定比分点
已知两点A、B，实数 1
（2）结合律：a b c a (b c)
3、减法
a 负向量：与 大小相同而方向相反的向量叫做
a 的负向量。记作 a b a b a
对任意的 AB及点O，有
AB AO OB OB OA
三、向量与数的乘法
1、 a 与实数 的乘积，记作a
大小 a a
方向


0时,方向与a相同 0时,方向与a相反
2、运算规律
（1）结合律：
a


a
=0时,方向任意
a
（2）分配律： a a a
a b a b
向量加减及数乘向量统称为向量的线性运算。
I y
V
任给向量 r ，
z
R
K
作 OM r
H
以OM为对角线，三
坐标轴为棱作长方
O
体，如图。
xP
M
y Q N
OM OP PN NM OP OQ OR
设 OP xi OQ yj OR zk
则 r xi yj zk
结论：点M r OM xi yj zk （x,y,z）
ax Pr
x,
jx
a
a,
y,
a
y
az

),则
Pr
j
y
a
,

O
az Pr jza,
M
u
或记作 ax (a)x ,
ay (a)y ,
az (a)z .
性质一 Pr ju a a cos ( 是a 与u轴的夹角）
性质二 Pr ju a b Pr ju a Pr ju b
Z
k
Oj y
i x
右手法则：以右手握住z轴，当右手的四个手指 从正向x轴以90度转向正向y轴时，大拇指的指向 就是z轴的正向。
X Z
O
x
yO
y
Z
x0
y
卦限的取法
III z
II
IV
x
VIII
A（1，-2，3） IV B（2，3，-4） V C（2，-3，-4） VIII D（-2，-3，1） III
r xi y j zk 坐标分解式
r x, y, z 坐标表示式
x,y,z称为 r 在三个坐标轴上的分量；
xi y j zk 称为分向量。
xi y j zk x, y, z
说明 r 的坐标与原点O的位置无关，只与单位
向量 i j k 有关。
二、向量的线性运算
1
a
2 b
AB AC |表示以 a
和
b
为邻边
a
c

a

b

b
的平行四边形的面积.
一、点的轨迹、方程的概念
若曲面S与三元方程 F x, y, z 0 （1）
有下述关系： 1、曲面S上任一点的坐标都满足（1）； 2、不在曲面S上的点的坐标都不满足（1）。
设 a ax, ay , az b bx ,by ,bz
则 a b ax bx , ay by , az bz
a b ax bx , ay by , az bz
a ax ,ay ,az
a 0时 a // b bx,by ,bz ax, ay , az
a

b
|
a
||
b
|
cos

cos


|
aa ||bb
, |
(a
0, b 0).
两向量夹角余弦的坐标表示式：
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
例2 已知三点 M 1,1,1 、A2, 2,1 和 B2,1, 2，
|
2
cos

0.
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：a

b

b

a;
（2）分配律：(a

b
)

c

a

c
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b

c;
（3）若

为数：(a
)

b

a


(b
)


(a

b
),
若 、为数：
( a )

(

b )

(a

b
).
例1 试用向量证明三角形的余弦定理。
向量与数轴理论 点P
OP xi
数轴上点P坐标为 x
OP xi
实数x
一、空间直角坐标系
取定一点O和三个两两垂直的单位向量 i 、j k ，
就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，记 为X轴（横轴）、Y轴（纵轴）、Z轴（竖轴），它 们组成一个空间直角坐标系，称为OXYZ坐标系，
或表示为[O;i, j, k ]
7、向量平行(共线)：两个非零向量方向相同或相反。 *零向量与任何向量都平行。
8、向量共面：设有 k 3个向量，当把它们的起
点重合时，若k个终点和公共起点在同一平面上，则 称这k个向量共面。
二、向量的加减法
1、加法 运用三角形法则、平行四边形法则作图。
2、加法运算规律
（1）交换律：a b b a
的坐标。
34
OM r M
二、向量在轴上的投影
设点O及单位向量 e 决定u轴，作 OM r ，
再过点M作与u轴垂直的平面，交u轴于点 M ，
则 OM 称为r 在u轴上的分向量
设 OM e r ，则数 称为 在
M
u轴上的投影（或分量）
(r) 记作

Pr
ju r
或
u
设a (a
|
r r
|

x
(cos ,
cos
,
cos
).
方向余弦的特征:
cos2 cos2 cos2 1
M Q
例1 已知两点 A 2, 2, 2 和B1,3,0，求AB的模、
方向余弦和方向角。
例2 设点A位于第I卦限，其向径 OA 的模等于6，且
OA 与x轴、y轴的夹角依次为 和 ，求点A
B
b
(0 )
O
a
A
2、方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角
设非零向量 r =(x,y,z)
z
r 的方向角：、 、
R
3、方co向s余弦x:
r
,
0



,
cos y , 0 ,


r
O
cos z . 0 .
r
单位向量
P
er
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1

即M坐标
一、方向角和方向余弦
1、夹角
设有非零向量 a ，b 。任取空间一点O，作
OA a ，OB b ，规定不超过 的AOB
称为 a 与 b 的夹角。


(a,
b)

(b,
a)
第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
向量及其线性运算 点的坐标与向量的坐标 向量的方向余弦及投影 数量积、向量积 平面及其方程 空间直线及其方程 旋转曲面和二次曲面 空间曲线及其方程
一、向量的概念 1、向量(矢量）定义：既有方向、又有大小的量。
2、向量的表示方法 用一条有向线段来表示一个向量。 有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方
向表示向量的方向。
3、自由向量：与起点无关的向量
4、向量相等：两向量的大小相等、方向相同。
5、向量的模：指向量的大小，即有向线段的长度。
6、单位向量：模等于1的向量。 零向量：模等于0的向量。
（起点和终点重合，方向任意。）

ay
j

azk,
b bxi by j bzk
a

b

(a
x
i

a
y
j

az
k
)

(bx
i

by
j

bz
k
)
(aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
(aybz azby , azbx axbz , axby aybx )
性质三 Pr ju a Pr ju a
例 设正方体的一条对角线为OM，一条棱为OA
且 OA a 。求 OA 在 OM 方向上的投影
Pr j OA 。
M
OM

O
A
a,b
一、两向量的数量积
引 动到 例点(其一M中W物 2，为体以| FF在s与|表常| s示力|sc位F的os作移夹用，角下则). 沿力直FM 所线1 F作从 的点功Ms 为1移
数量积的坐标表达式
设 a
a

b

axi
a

y
(axi

j azk, ay j az
b
k)
bxi by j
(bxi by
bzk
j bzk
)
a b axbx ayby azbz
由此可知两向量垂直的充要条件为
a b axbx ayby azbz 0
例 在平行四边形ABCD中，设 AB a，AD b
试用 a和 b 表示向量MA、MB 、MC 和MD
这里M是平行四边形对角线的交点。
D
b
M
A
a
C B
3、设 ea 表示与 a（ a 0 ）同方向的单位向
量，则
ea
a a
4、定理 设 a 0 。
a b 存在唯一实数 使 b a
(2)
a

b

0

a b,
(a 0, b
0).
证
()
a

b

0,
| a | 0,
| b | 0,
cos 0, , ab.
2
() ab, , cos 0,
a

b
|
a
||
b
向量积还可用
i jk
三阶行列式表示
a b ax ay az
bx by bz
例3 设 a 2,1, 1 ，b 1, 1, 2 ，计算a b
例4 已知三角形ABC的顶点是 A 1, 2,3 ，
B3,4,5和 C2,4,7 ，求三角形ABC的面积。
SABC PS: |
若 AM MB ，则点M称为有向线段 AB
的 分点。
设 A x1, y1, z1 B x2, y2, z2 点M的坐标？
AM OM OA MB OB OM
OM OA OB OM
OM 1 OA OB 1
OM


a

b
|
b
|
Pr
jba

|
a
|
Pr
ja b .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
(1) a a | a |2 .
证 0, a a | a || a | cos | a |2 .
M2
两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义
向量a
与b
的数量积为a

b

a b | a || b | cos ( (a, b )).
a

b
|
a
||
b
|
cos


| b | cos Pr jab,

b a
|
a
|
cos

Pr
jba,
bx by bz ax ay az
三、向量的模、两点间的距离
作 OM r x, y, z
z
则有 r x2 y2 z2
R
K
H
M
任取两点 A x1, y1, z1
B x2, y2, z2
两点距离公式
O
xP
y Q
N
AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
求 AMB 。
二、两向量的向量积
定义
向量a
与b
的向量积为
c

a

b
|
c
||
a
||
b
|
sin
(其中
为
a
与
b
的夹角)
c 的方向既垂直于
a ，又垂直于
b ，指向符
合右手系.
关于向量积的说明：
(1)
a a

0.
( 0 sin 0)
(2)
a
//
b

a

b

0.
(a

0,
b 0)
向量积符合下列运算规律：
（（（231）））分若a配律为b ：数(：ab(baa)).cbaac(bb)
c.

(a

b
).
向量积的坐标表达式:
设
a

axi