第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40]班级_.
高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算
2a
1 − a 2
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数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律：λ ( µ a ) = µ (λ a ) = (λµ )a （2）分配律： (λ + µ )a = λ a + µ a
λ (a + b ) = λ a + λ b
两个向量的平行关系
定理 设向量 a ≠ 0，那末向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 λ，使 b = λa .
1− − ←⎯ 1→ 有序数组 ( x , y , z ) ⎯ 空间的点
称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标. 记为 M ( x , y , z ) 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C ,
O ( 0, 0, 0 )
B ( 0, y , z )
第七章 空间解析几何与向量代数
y
• P ( x, y)
O x
平面解析几何
1--1
平面上的点P 有序实数对(x,y)的集合R2
平面曲线L
1--1
方程
y = f ( x)
为了把空间的几何问题代数化,把代数的问题用几 何方法直观表示，需要建立空间解析几何.
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§1. 向量及其线性运算 一、向量的概念
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r 在三个坐标轴上的分向量：
R(0,0, z )
z
xi , yj , zk .
o
r
•
M ( x, y, z )
y
Q(0, y,0)
显然，
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微积分第七章空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
高数第四版第七章(人民大学出版社)
高数第四版第七章（人民大学出版社）第七章空间解析几何与向量代数习题7-1★★1．填空题：（1）要使（2）要使★2．设ua?b?a?b设立，向量a,b应当满足用户a?ba?b?a?b成立，向量a,b应满足a//b，且同向ab2c,va3bc，试用a,b,c则表示向量2u?3v知识点：向量的线性运算求解：2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c★3．设p,q两点的向径分别为r1,r2，点r在线段pq上，且prrq?m，证明点r的向径为nr?nr1?mr2m?n知识点：向量的线性运算证明：在?opq中，根据三角形法则oq?op?pq，又pr?mmpq?(r2?r1)，m?nm?n∴or?op?pr?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n★★4．未知菱形abcd的对角线ac?a,bd?b，试用向量a,b表示ab,bc,cd,da。
知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则，ab?bc?ac?a,ad?ab?bd?b，又abcd为菱形，ad?bc（民主自由向量），a?b????????????b?a?cd??dc??ab?∴2ab?ac?bd?a?b?ab?22?a?b??? a?b∴ad?bc?，da??22∴★★5．把?abc的bc边五等分，设分点依次为d1,d2,d3,d4，再把各分点与点a相连接，先行以ab?c,bc?a表示向量d1a,d2a,d3a和d4a。
知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，acbad1d2图7-1-5cd3d411bc?d1a??ad1??(c?a)55234同理：d2a??((c?a),d3a??(c?a),d4a??(c?a)555根据三角形法则，ab?bd1?ad1,bd1?习题7-2★1在空间直角坐标系则中，表示以下各点在哪个卦减半？a(2,?2,3)；b(3,3,?5)；c(3,?2,?4)；d(?4,?3,2)请问：a(2,?2,3)在第四卦减半，b(3,3,?5)在第五卦减半，c(3,?2,?4)在第八卦减半， d(?4,?3,2)在第三卦限★2．在座标面上和坐标轴上的点的座标各存有什么特征？并表示以下各点的边线：a(2,3,0);b(0,3,2);c(2,0,0);d(0,?2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点a在xoy坐标面上；b在yoz坐标面上；c在x轴上；d在y轴上。
第七章 空间解析几何与向量代数
L1∥L2 ∥ L1⊥L2 ⊥
50直线与平面关系
<1> L∥π ⊥
即
<2> L⊥π ∥
<3> 点P到直线L的距离，L的方向向量，M0为L上一点
<4>平面束方程 直线L： 则 为过直线L的除平面外的平面束方程
四．例题
例1：已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和 C（-1，3，1）。试证明A角为钝角。
证：=
=
= 可见，>+由余弦定理，就可知A角为钝角。 例2：在z轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点。 解：设M为所求的点，因为M在z轴上，故可设M的坐标为：（0， 0，z） 根据题意，及= 去根号，整理得：z=14/9 ∴ M（0，0，14/9）。 例3：试在xoy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各 点的距离相等。
∴ ={4,-2,1}
又∵ 平面的法向量：{4，-2，1}
∴ 直线与平面垂直，故选（B）。
例13：求过点P（2，-1，3）且与直线1：垂直相交的直线的方程。
解：不妨设两直线交点为M（x0，y0，z0）,
由于M在1上，故：，其中t为参变量。
由于直线与直线1垂直：
பைடு நூலகம்
其中直线1的方向向量为，而直线的方向向量为：
又∵ Ax0+By0+Cz0=-D ∴ d= 如：P1(-1，1，2)到平面：3x-2y+z-1=0的距离为d= 例10 求直线l: 的点向式方程。
(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
《高等数学》课件第7章 空间解析几何与向量代数
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).
第七章空间解析几何与向量代数
x 2 11 ，
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例2、 设点P在x轴上， 且它到点P1 (0， 2， 3)的距离为 到点P2 (0， 1， 1)的距离的两倍， 求点P的坐标.
解：由点P在x轴上可设点P的坐标为( x， 0， 0)，
2 x 11 ， 则 PP1 (0 x ) ( 2 0) ( 3 0) 2 2 2 2 PP2 (0 x ) (1 0) ( 1 0) x 2 . PP1 2 PP2 ，
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二、 空间两点的距离公式 如图， 设M1 ( x1， y1， z1 )、M 2 ( x2， y2， z2 )为空间两点， z 在直角三角形M1 NM 2中， 有
M 1 M 2 M 1 N NM 2 在直角三角形M1 PN中， 有
M 1 N M 1 P PN , 2 2 2 2 M 1 M 2 M 1 P PN NM 2
Ⅶ
Ⅷ
x
Ⅴ
Ⅵ
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设M为空间一点， 过点M作三个平面分别垂直于 x轴、 y轴和z轴， 交点依次为P、 Q、 R， 它们是点M在x轴、 y 轴和z轴上的投影， 且有向线段的值 OP、 OQ、 OR对应 的实数为x、 y、 z. 4、 空间点的坐标： 上述x、 y、 z称为点M的坐标， z 记为M ( x， y， z ). 6、 卦限中点的坐标的符号 5、 特殊点的坐标 Ⅰ:+ + ＋ R B Ⅱ:- + ＋ O(0， 0， 0) P ( x， 0， 0) Ⅲ:- - ＋ M C Q(0， y， 0) Ⅳ:+ - ＋ y Ⅴ:+ + o Q R(0， 0， z) Ⅵ:- + A A( x， y， 0) x P Ⅶ:- - B(0， y， z) Ⅷ:+ - C ( x， 0， z)
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第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40] 班级§1空间直角坐标系§2向量及其加减法，向量与数的乗法姓名________一、概念题1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限。
(】，-2, 3) ________ (2，- 3，- 4) _________ (- 1，- 3，- 5) _________ (-1, 5,- 3)____________ (2, 3,- 4)____________ (- 2,- 3, ]) _______________ (-5 , 3 , 1) _________ (3 , 4 , 6) _______________2、指出下列各点的位置。
A(3,4,0) ___________ B(0,4,3) ________ C(3,0,0) ___________ D(0,—1,0) ________ 3、指出当点的坐标适合下列条件之一时，该点所在的卦限。
点)在__________________ 上的对称点是15、点A (—4,3,5 )在％0『平面上的投影点为_________________________在ZOX平面上的投影点为 _______________在0X轴上的投影点为 _________________在oy轴上的投影点为__________________6、点P (—3,2,— 1)关于yoz平面的对称点为_______________________关于ZOX 平面的对称点为 ______________关于oy轴的对称点为_______________关于ox轴的对称点为_______________7、在y轴上与点A (1,—3,7 )和点B (5,7,—5 )等距离的点为_______________8、u a b 2 c, v a 3b c，用a, b, c 表示2u 3v = __________________二、计算题：1、求点M (4,—3,5 )到各坐标轴的距离。
2、把厶ABC 的BC 边五等分，设分点依次为 D 「D 2、D3、D 4,再把各分 点与点A 连接試以AB = c ,BC = a,表示向量 3.已知在空间直角坐标系下，立方体4个顶点为 A (-a ,— a ,— a ), B (a , — a , — a ), C (— a , a , — a )和 D (a , a , a ),则其余各顶点分别 是什么？三、证明题1 .若平面上一个四边形的对角线相互平分 2、试证明以三点 A (4 , 1 , 9), B (10，- 1 , 6), C (2 , 4 , 3)为 顶点的三角形是等腰直角三角形。
一、 填空题：DAD 2A ，D 3A 和 D 4A . ,试用向量证明它是平行四边形§ 3 .向量的坐标［作业No.41］班级姓名1、若三角形的顶点为M 1(3 , 2 , -5),M 2 (1,-4,3 )和皿3(-3 , 0 , 1),则各边的中点为 __________________ , ____________ , ________ .2、两点P 1(2,5,—3),P 2(3,-2,5)，设在P 1P 2上一点P满足p i p 3pi P2，则P的坐标为__________________3、设向量r的模是4，它与轴u的夹角是60°，则Prj u r =__________________4、设a与三轴正向夹角依次为a,3,Y⑴ 当cos 3 =0时,a平行于_______________ 平面。
⑵ 当COS Y =1时,a垂直于 _______________ 平面。
⑶ 当COS a =COS 3 =0时，a垂直于____________ 平面， __________ 于z轴。
5、平行于向量a= 6 i+ 7 j —6 k的单位向量为______________ 。
6、已知M［(4, 2 , 1),皿2(3,0,2),向量M1M2的模为_______________ 方向余弦为____________ 方向角为 _______________7、a与各坐标轴之间夹角为a、3、丫，若a =60°, 3 =120°，则丫= __________二、计算题：1、一向量的终点为点B ( 2, —1,7),它在三坐标轴上的投影依次为4,-4,7, 求这向量的起点A的坐标。
2、设m=3i+5j+8k , n =2i —4j —7k和p=5i+j —4k,求向量a=4m+3n—p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。
3、向量a= {3,—5,7},求平行于a且模为2 \ 83的向量4§4数量积、向量积［作业No.42］班级■生名一、概念题：1. 若a、b为平行的单位向量，则它们的数量积为_____________ 。
2. 向量a x b与二向量a与b的位置关系是__________________ 。
3•若向量a与b之间的交角为60°, | a | =5, | b | =8,则|a—b | = ______ ,I a+b | = _________4. 设a=3i —j —2k,b=i+2j —k,贝Ua b ___ ,a x b= ________, a x 2b= _____cos（a,b）= -------------- 。
5. 在直角坐标系中，两向量数量积为零的充要条件是至少其中一个向量为或它们相互__________ ;向量积为零的充要条件是至少其中一个向量为_ 或它们相互____________6. 向量a= {4 , —3 ,4}在向量b= {2 , 2 , 1} 上的投影为_________________ 。
二、计算题：1 .设a,b,c为单位向量，且满足a+b+c =0，求a b+bc+c a.2 .已知M1(1,-1,2),M 2(331)和M3(3,1,3),求与M,M2, M 2M 3同时垂直的单位向量。
3. 设质量为100kg的物体从点M［（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2）计算重力所作的功（长度单位为m,重力方向为z轴负方向）。
4. 已知OA=i+3k ,OB =j+3k，求△ OAB 的面积。
5. 已知向量a=2i —3j+k,b=i —j+3k 和c=i —2j,计算:⑴(a b)c —(a c)b ;⑵(a+b) x (b+c);⑶(a x b) c.§5 .曲面及其方程［作业No.43］班级■生名、概念题1. 一动点与两定点(2 ,3 , 1 )和(4 ,5 ,6 )等距离，则动点的轨迹方程为_________2. ___________________________________________________________ 以点(1,3 , -2 )为球心，且通过坐标原点的球面方程是________________________ 。
3•将xoz坐标面上的抛物线Z2=5X绕x轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为 ___________________4•方程x= 2在平面解析几何中表示________________ 在空间解析几何中表示.2 2，方程x2+y2=4在平面解析几何中表示在空间解析几何中表示，方程x2-y2= 1在平面解析几何中表示 _____________ 在空间解析几何中表示________________ 。
5 .只含x,y而缺z的方程F(x,y)= 0，在空间直角坐标系中表示_________ 平行于______ 轴的柱面，其准线是 _____________ 。
二•计算题：1. 将xoz坐标面上的双曲线4x2—9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
2. 求与坐标原点O及点(2 ,3 , 4 )距离之比为1 : 2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面。
§5 .曲面及其方程［作业No.43］班级■生名3. 画出方程所表示的曲面⑴ % - 2)2+y2=(2)2⑵ z=2 —x24. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴⑴ Z=2(x2+y2)⑵ z2=3(x2+y2)⑶ x2—y2—z2=i2⑷ x2—— +z2=14§6 .空间曲线及其方程§7 .平面及其方程[作业No.44]一、概念题班级________________ 姓名_________________y 5x 11. 方程组y 在平面解析几何中表示_________________ 在空间解y 2x 3析几何中表示 ________________、 2 22. 旋转抛物面z=x +y （0< z W 4）在xoy坐标面上的投影为 _________________ ,在yoz坐标面上的投影为 ______________ ,在zox坐标面上的投影为 _______3. 过点（3,0,-1）且与平面3x —7y+5z —12=0平行的平面方程为___________4. 过三点Mi（a,0,0）,M2（0,b,0）,M 3（0,0,c）的平面方程为__________ （其中a、b、c都不为零）5. 平面Ax+By+Cz= 0必通过_______________ （其中A、B、C不全为零）平面By+Cz+D= 0 _______ ox 轴,By+Cz= 0 ________ ox 轴。
6. 写出符合下列条件的平面方程⑴平行于xoz面且经过点（2 ,—5 ,3 ） ______________________⑵通过z轴和点（一3 , 1 ,—2 ） _________________________⑶平行于x轴且经过两点（4 ,0 ,—2 ）和（5 , 1 , 7 ）_________________7. 点（1,2 ,1 ）到平面x+2y+2z —10=0的距离为 ________________8. 设有两平面n 1：A[X+B 仃+C 1Z+D[= 0 及n 2：A2X+B 2y+C2z+D2= 0，则它们夹角的余弦cos 0 = ______ , n 1平行n 2的充要条件是 ___________ , n 1垂直n 2的充要条件是__________________ ,n 1重合于n 2的充要条件3. 求平面2x—2y+z+5=0与各坐标面夹角的余弦。
4. 求上半球O w z< . a2x2y2与圆柱体x2+y2w ax(a>0)的公共部分在xoy面和xoz面上的投影。
5.—平面过点(1,0 ,—1 )且平行于向量a= {2 , 1,1}和b= {1 , —1,0} 试求这平面方程。