数学文化-数学的魅力2016

则使代数获得更广的意义和更高的地位。
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２．牛顿和莱布尼兹的微积分
（17世纪后半期）
微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的 需要：
❖ 一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，及 已知速度对时间的关系求路程；
❖ 二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，及求 面积和体积的问题。
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时光，他找到了终生伴侣。
5年之后，婚姻之神赐给他一个儿子， 可是儿子、运不济，
只活到父亲寿数的一半，就匆匆离去。 这对他是一个沉重的打击。
后来4年，丢番图因为失去爱子而伤悲，终于告别数学，离开了人世。
另一种唯美版
上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡， 再过七 分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年， 他也走完了人生的旅途。
学的内容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有 “整勾股数”及二次方程求解的记录。
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捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）
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莱茵德纸草书 (1650 B.C.)
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莫斯科纸草书
v h (a2 ab b2 ) 3
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古巴比伦的“记事泥板”中关于 “整勾股数”的记载”
（约公元前1000年）
（马其顿，1988年）
他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等 重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放 王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重 量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金 属。
这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现 了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于 他所排出液体的重量。一直到现代，人们还在利用这个原理计算物 体比重和测定船舶载重量等。
法国 － 韦达 引入符号系统，代数成为独立的学科
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“算法家”与“算盘家”的比赛
韦达
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2）透视与射影几何
画家 － 布努雷契、柯尔比、迪勒、达．芬奇 数学家 － 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔
3）对数
简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。 英国数学家 － 纳皮尔
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中 世 纪 油 画
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浮力原理的发现
相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好 后，国王疑心工匠在金冠并非全金，但这顶金冠确与当初交给金匠 的纯金一样重。工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不 能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。 经一大臣建议，国王请来阿基米德检验。
最初，阿基米德也是冥思苦想而却无计可施。一天，他在家洗澡， 当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他 突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。 他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着 “尤里卡！尤里卡！”。(Eureka，意思是“我知道 了”.Greek:εὕρηκα)。
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文艺复兴时代的油画
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英国画家柯尔比<泰勒博 士透视方法浅说>(1754) 卷首插图
（违反透视原理）
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三、近代数学时期
（公元17世纪——19世纪初）
家庭手工业、作坊 →→ 工场手工业 →→ 机器大工业 贸易及殖民地 →→ 航海业空前发展
对运动和变化的研究成了自然科学的中心→→变量、函数
1．笛卡尔的坐标系
杨辉 （13世纪下半叶）、
朱世杰（13世纪末～14世纪初）
天元术、正负开方术 —— 高次方程数ห้องสมุดไป่ตู้求解；
中国剩余定理
—— 一次同余式组求解
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秦九詔（429---500）
数书九章
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杨辉
杨辉三角
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2）印度
现代记数法（公元8世纪）——印度数码，有0，负数；
十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）
20世纪在两河流域有约50万块泥版文 书出土，其中300多块与数学有关
（文达，1982年）
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古埃及陶罐 3500B.C.
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西安半坡遗址
❖ 中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类 活动，
❖ 那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、 三角形、圆、长方形、菱形等。
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半坡遗址陶器残片
阿布尔．维法
奥马尔．海亚姆
阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学 成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文 艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。
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花拉子米 当时阿拉伯天文学家和数学家工作的情景
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3．欧洲文艺复兴时期
（公元16世纪——17世纪初）
1）方程与符号
意大利 － 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里 三次方程的求根公式
（1637年的《几何学》）
恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变 数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有 了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”
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解析几何是代数与几何相结合的产物
❖ 在《几何学》里，笛卡尔给出了解析几何原理，这就是利用坐标方法把 具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出 了回答如下问题的途径：
３．微分方程、变分法、微分几何、 复变函数、概率论
❖ 微分方程论研究的是这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。 ❖ 变分法研究的是这样一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数。 ❖ 微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。 ❖ 与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的发展，被推广到三维情
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中国数学史上最先完成勾股定理证明： 公元3世纪三国时期的赵爽。 赵爽注 《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中 的 弦图，相当于运用面积的“出入相补” 方法，证明了勾股定理。如图
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宋元时期 （公元10世纪——14世纪）
宋元数学四大家—— 李冶 （1192～1279）、
秦九韶（约1202～约1261）、
欧几里得
—— 几何《原本》
阿基米德
—— 面积、体积
阿波罗尼奥斯 —— 《圆锥曲线论》
托勒密
—— 三角学
丢番图
—— 不定方程
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毕达哥拉斯 —— “ 万物皆数”
毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这 位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地 砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨 言；这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列 规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖 的美丽，而是想到它们[数]之间的关系，于是拿了笔并且 蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正 方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和。他很好奇，于是再以两块瓷砖拼成 的矩形 之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就 是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设： 任何直角三 角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师， 视线都一直没有离开地面。
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The School of Athens by Raphael
柏拉图 与 亚里士多德
倡导逻辑 演绎的结构
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2．东方
（公元2世纪——15世纪） 1） 中国
西汉（前2世纪） ——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元3世纪——5世纪） ——刘徽、祖冲之
出入相补原理，割圆术，算
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当对数的认识(计数)变得越来越明确时， 人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一 属性，于是导致了记数。
人类现在主要采用十进制，与“人的手指 共有十个”有关。
而记数也是伴随着计数的发展而发展的。
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记数
❖ 刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有3万年前的狼 骨上的刻痕。
❖ 古埃及的象形数字出现在约公元前3400年； ❖ 巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年； ❖ 中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。 ❖ 古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数
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欧几里得 ----- 《几何原本》
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阿基米德 —— 面积、体积 阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学
时期。有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民 提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋 作用在水管里旋转而把水杠杆原理吸上来的工具，后世的 人叫它做“阿基米德螺旋提水器”，埃及一直到二千年后 的现在，还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推 进器的先祖。当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使 用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、齿轮等，阿 基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力 矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言， 将理论运用到实际的生活上是轻而易举的。他自己曾说： “给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地 球。”
（1）通过计算来解决曲线作图的几何问题； （2）求给定某种几何性质的曲线的方程； （3）利用代数方法证明新的几何定理； （4）反过来，从几何的观点来看代数方程。 ❖ 因此，解析几何是代数与几何相结合的产物，在采用坐标方法的同时，
用代数方法研究几何对象。 ❖ 在笛卡尔之前，从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学；解析几何
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“中国古代数学第一人” 刘徽（约公元3世纪）
割圆术
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祖冲之（429---500）
圆周率
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第24届“国际数学家大会”会标
宋刻本《周髀算经》，
（上海图书馆藏）
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《周髀算经》中的 “勾股定理”
（约公元前700年）
《周髀算经》卷上记载西周开国时 期周公与大夫商高讨论勾股测量 的对话，商高答周公问时提到 “勾广三 股修四 经隅五”，这 是勾股定理的特例。 卷上另一处叙述周公后人荣方与 陈子（约公元前6、7世纪）的对 话中，则包含了勾股定理的一般 形式：“……以日下为勾，日高 为股，勾股各自乘，并而开方除 之，得邪至日。”
刚好海维隆王又遇到了一个棘手的问题：国王替埃 及托勒密王造了一艘船，因为太大太重，船无法放进海里， 国王就对阿基米德说：“你连地球都举得起来，把一艘船 放进海里应该没问题吧？”于是阿基米德立刻巧妙地组合 各种机械，造出一架机具，在一切准备妥当后，将牵引机 具的绳子交给国王，国王轻轻一拉，大船果然移动下水， 国王不得不为阿基米德的天才所折服。从这个历史记载的 故事里我们可以明显的知道，阿基米德极可能是当时全世 界对于机械的原理与运用，了解最透彻的人。
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阿波罗尼奥斯 —— 《圆锥曲线论》
阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大 前期三大数学家．时间约当公元前300年到前200年，这是希腊数 学的全盛时期或“黄金时代”．
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托勒密
—— 三角学
托勒密地理学
托勒密世界地图(1486年的复制本
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丢番图
— 不定方程
墓志铭
他的童年占一生的1/6，接着1/12是少年时期， 又过了1/7的
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半坡遗址房屋基础
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埃及金字塔
❖ 建于约公元前2900年的埃及法老胡夫 的金字塔，塔基每边长约230米，
❖ 塔基的正方程度与水平程度的 平均误差不超过万分之一。
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中国的《周髀算经》（公元前200年成书）
宋刻本《周髀算经》，
（西周，前1100年）
（上海图书馆藏）
《周髀算经》 中关于
勾股定理
第一节 数学发展简史
数学发展史大致可以分为四个阶段。
一、数学起源时期 二、初等数学时期 三、近代数学时期 四、现代数学时期
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一、数学起源时期
（ 远古 —— 公元前5世纪 ）
这一时期：建立自然数的概念；认识简单 的几何图形；算术与几何尚未分开。
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数学起源于四个“河谷文明”地域
❖ 非洲的 尼罗河； ❖ 西亚的 底格里斯河与幼发拉底河； ❖ 中南亚的 印度河与恒河； ❖ 东亚的 黄河与长江
的记载
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二、初等数学时期
（ 前6世纪——公元16世纪 ）
也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等 数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。 该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要 内容。
这一时期又分为三个阶段： 古希腊；东方；欧洲文艺复兴。
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1．古希腊
（前6世纪——公元6世纪）
毕达哥拉斯 —— “ 万物皆数”
数学与天文学交织在一起
阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499年） 开创 弧度制度量
婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》 代数成就可贵
婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世纪） 算术、代数、组合学
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3）阿拉伯国家 （公元8世纪——15世纪）
花拉子米——《代数学》（阿拉伯文《还原与对消计算概要》） 曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿 拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容， 主要是解方程。