数学建模作业一：汽车刹车距离

汽车刹车距离
一、 问题描述
司机在遇到突发紧急情况时都会刹车，从司机决定刹车开始到汽车停止行驶的距离为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。

那么刹车距离与车速之间具有什么样的关系呢？
二、 问题分析
汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成，反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离，刹车距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止的距离。

反应距离有反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵敏、机警等）和制动系统的灵敏性，由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，而且在这段时间内车速不变。

刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。

由能量守恒制动力所做的功等于汽车动能的改变。

设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与汽车的质量成正比，汽车的减速度基本上是常数。

路面状况可认为是固定的。

三、 问题求解
1、 模型假设
根据上述分析，可作如下假设：
①刹车距离d 等于反应距离1d 和制动距离2d 之和；
②反应距离1d 与车速v 成正比，且比例系数为反应时间t ；
③刹车时使用最大制动力F ，F 作的功等于汽车动能的改变，且F 与车质量m 成正比； ④人的反应时间t 为一个常数；
⑤在反应时间内车速v 不变 ；
⑥路面状况是固定的；
⑦汽车的减速度a 基本上是一个常数。

2、 模型建立
由上述假设，可得：
⑴tv d =2； ⑵2221mv Fd =,而ma F =，则2221v a
d =。

所以22kv d =。

综上，刹车距离的模型为2kv tv d +=。

3、 参数估计
可用我国某机构提供的刹车距离实际观察数据来拟合未知参数t 和k 。

转化单位后得：
车速（公里/小时）20 40 60 80 100 120 140
实际刹车距离（米） 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5
用Mathematica进行拟合，代码如下：
Clear[x,v,d];
x={{20/3.6,6.5},{40/3.6,17.8},{60/3.6,33.6},{80/3.6,57.1},{100/3.6,83.4},{120/ 3.6,118},{140/3.6,153.5}};
d=Fit[x,{v,v^2},v];
Print["d=",d];
Plot[d,{v,0,200/3.6}]
结果：
4、结果分析
将拟合结果与实际结果对比：（代码）
Clear[v,d];
d=0.65218*v/3.6+0.0852792*(v/3.6)^2;
For[v=20,v<=140,v=v+20,Print["速度为",v,"km/h时刹车距离为",d]]
结果：
车速（公里/小时）20 40 60 80 100 120 140
实际刹车距离（米） 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5
计算刹车距离（米） 6.2 17.8 34.6 56.6 83.9 116.5 154.3
计算刹车距离与实际刹车距离基本相当。

综上，反应时间t约等于0.6522秒，刹车时减速度约等于2
/
6
2/1s
m
k≈。

刹车距离与车速的关系满足：
2
08528
.0
6522
.0
d v
v+
=。