数学建模——汽车租赁问题

一家汽车租赁公司在3个相邻得城市运营,为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁得汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计与市场调查,一个租赁期内在市租赁得汽车在市归还得比例分别为0、6,0、3,０、１；在市租赁得汽车归还比例0、2，０、７,0、1；市租赁得归还比例分别为0、1,0、3，0、6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市,建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移得模型，并讨论时间充分长以后得变化趋势。

二、模型假设

1、假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去,并都在租赁期末归还；

2、假设一个租赁期为一年;

3、假设在每个租赁期该租赁公司都有6０0辆汽车可供租赁.

三、符号说明

：租赁期（k＝0，１，2，3……)

：年数

:第k个租赁期市得汽车数量

：第k个租赁期市得汽车数量

:第k个租赁期市得汽车数量

：刻画汽车在三市归还比例得矩阵

：第一年三市拥有得汽车数量得矩阵

：第年三市拥有得汽车数量矩阵

四、模型分析

该问题就是差分方程下得一个简单问题,根据题目中给出得初始条件与三个城市得归还比例，可以列出差分方程得模型公式，便可清晰得瞧出每个租赁期三个城市得汽车数量与下一个租赁期三个城市汽车数量之间得关系.建模过程中可直接选择１０年后或就是2０年之间得汽车变化情况，得出具体得模型，大致如下:

0510********

从图中我们可以清晰得瞧出，大概在8年以后，三个城市得汽车数量基本趋于稳定，就是一个定值，而这三个城市归还比例之与为：A市为0、9，B市为1、３,Ｃ市为0、8，易得出ｎ年以后B市得汽车数量最高，其次就是Ａ市,然后就是C市,这与我们得出得模型与结论基本相同，即可得出该模型就是正确得。

而当初始值不同时,每个城市得归还比例就是不会随之改变得，所以在时间充分长以后三市所拥有得汽车数量都就是趋近于1８0,3０0，120、

五、模型及其求解

记第个租赁期末公司在AＢC市得汽车数量分别为 (也就是第ｋ+1个租赁期开始各个城市租出去得汽车数量),很容易写出第k+1个租赁期末公司在ＡBC市得汽车数量（k ＝0，1，2，3……)

由题意可得初始三市得汽车数量为２00，200，２00,在三市租赁得汽车在A市归还得比例为0、6，0、2，0、1,由此可得差分方程为:

同理可得在B市得归还得差分方程为：

在C市得归还得差分方程为:

综上所述，我们建立一阶差分方程模型为：

用矩阵表示

用matlab编程，计算x（k），观察ｎ年以后得3个城市得汽车数量变化情况，见附录一。

如果直接瞧1０年或者３0年发展趋势，可以直接在命令窗口（mｏnｄ wｉndow）作,而不就是必须编一个函数，程序、运行结果见附录二。

求出1０年间每年三个城市拥有得汽车数量，如下表;

初始值第一年第二年第三年第四年第五年

A 20 ８１79

B ２297 ２99

C ２125 １23

第六年第七年第八年第九年第十年

A 1７9 0

B 3 30０

C 121 121 120 120 １20

时,三市汽车数量变化趋势图如下

120140160

180200

220

240

260280

300

由上图可以瞧到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于1８0，300,１20

可以考察这个结果与初始条件就是否有关

若最开始６00辆汽车都在A 市，可以瞧到变化时间充分长以后,各城市汽车数量如A 6 19５ 187

Ｂ 99 300

C 116

第六年 第七年 第八年 第九年 第十年

A 0 18０

B ３ ３00

C 118 11６ 1１８ 119 １20

初始值为600,0，0就是模型如下图，程序、运行结果见附录二

012345678910

0100

200300

400

500

600

六、模型得检验

根据题中三个城市得归还比例,由分析中中可得出B 市得数量最多,其次就是A 市，C 市最少。

当初始值为2０0，200,200时，其模型与运行结果基本与预想得相差不大。

当初始值为6０0,0，0时，因其比例固定不变，所以相当长时间以后，三市得汽车数量基本趋于稳定且数值与初始值为200，200,200时相同，可进一步得出结论：相当长时间以后,Ａ,B ，C 三市得汽车数量基本趋于稳定。

参考文献

［1］王小才、差分方程建模专题讲座ppt 课件

[2］ 赵静、数学建模与数学建模实验、北京：高等教育出版社,2０08

附录一

func ｔi ｏn ｘ=c ｚq ｃ(n ）

A ＝[0、6 ０、2 0、1;0、３ 0、7 ０、3；０、１ 0、1 0、６］；

x （：,1）=[200 200 200]'；

f ｏr k ＝1：ｎ

x （：，ｋ+１）=Ａ＊ｘ（:,k ）；

ｅｎd

附录二

程序代码：

clc

cl ｅａｒ ａll ；

A=[０、6,０、2，0、1;０、３，0、7，0、３;０、1，0、1，0、6];

n=10；

x（：,1)=［200，2００,200]’;

％x(:,１）=[60０，0，0]’;

fｏｒｋ=1：ｎ

x(:，k+１）=A*x（:,k）；

ｅｎd

roｕnd(x）

k=０:n；

plot（ｋ，x)

grid

gtexｔ（＇x１（k）＇),

ｇteｘt('x2（k）＇），

gtｅxｔ('ｘ3（ｋ）’）

运行结果：

1、三个城市初始汽车数量为200，20０，２００时,10年之内三个城市每年得汽车数量：ans =

２00 １80 1761７6 178 １79 1７９18０1８0 1

８0 １8０

2００260 284 ２942９7299 3０0 300 ３０0

300３00

2００１60 140 1３0１25 123 121 1２1 1２0 １２0 1２0

２、三个城市初始汽车数量为6０0，0，0时,10年之内三个城市每年得汽车数量：

ａｎs＝

6０0 ３6０258２14 １９5 １87 １83 1８1 181

180 １80

0 1８0２52 2８12９2297 299 3０0 30０３00 3０0

0 60 90 105 1１3 １16 118 119 １20１20

１2０