电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的收敛性
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(b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的 近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速 度与误差估计问题。简单实用, 诱人。
3
§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
➢ 一、迭代法的基本思想 ➢ 二、例题分析 ➢ 三、 Jacobi迭代公式
4
§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
12
§8.2 高斯-塞德尔迭代法 (AX=b)
注意到利用Jacobi迭代公式计算xi(k1) 时，已经计算好了
x1( k
1)
,
x ( k 1) 2
,L
, x(k1) i 1
的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算，
仍用
x1(k ) , x2(k ) ,L
,
x(k) i 1
这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量 利用最新的迭代值，得到
n
aij x j bi , aii 0
i 1
1
n
xi
aii
(bi
aij x j )
j1
ji
(i 1, 2,L , n) (i 1, 2,L , n)
由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：
x ( k 1) i
1 aii
(bi
n
aij xik )
j1
ji
(i 1, 2,L , n)
11
1.299975
11
1.099993
1.199993
1.299991
12
1.099998
1.199998
1.299997
13
1.099999
1.199999
1.299999
14
1.1
1.2
1.3
15
1.1
1.2
1.3
10
§8.1 Jacobi迭代公式
设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立
Jacobi迭代公式，即
6
2 例题分析:
考虑解方程组
3.1Jacobi迭代法
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 (1) x1 x2 5x3 4.2
其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。
7
2 例题分析:
考虑解方程组
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5x3 4.2
迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
x(k1) Bx(k ) f
其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别 适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的 方程组。
5
AX b
x(k1) Bx(k ) f 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{ x(k) }是否收敛以及收敛条件?
3.1Jacobi迭代法
(1)
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
建立与式(1)相等价的形式：
x1 0.1x2 0.2x3 0.72
x2
0.1x1
0.2x3
0.83
(2)
x3 0.2x1 0.2x2 0.84
8
2 例题分析:
考虑解方程组
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5x3 4.2
建立与式(1)相等价的形式：
x1 0.1x2 0.2x3 0.72
x2
0.1x1
0.2 x3
0.83
x3 0.2x1 0.2x2 0.84
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
据此建立迭代公式：
x1(k x2(k
+1) +1)
=0.1x2(k =0.1x1(k
) )
+0.2x3(k +0.2x3(k
➢ 雅可比迭代法的矩阵表示
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 ... ...
a22 ...
x2 ...
...
Hale Waihona Puke Baidu
a2n
xn
b2
aii 0
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
x1
1 a11
x2
1 a22
a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 ... a2n xn b2
... ... ... ...
xn
1 ann
an1 x1 ... ann1 xn1 bn
写成矩阵形式：
A=
U
D
L
Ax b (D L U )x b
Dx (L U )x b x D1(L U )x D1b
B
f
Jacobi 迭代阵
x(k1) D1(L U )x(k ) D1b
1.28282
5
1.095098
1.195099
1.294138
6
1.098338
1.198337
1.298039
7
1.099442
1.199442
1.299335
8
1.099811
1.199811
1.299777
9
1.099936
1.199936
1.299924
10
1.099979
1.199979
) )
+0.72 +0.83
x3(k
+1)
=0.2x1(k
)
+0.2x2(k
)
+0.84
取迭代初值
x(0) 1
x(0) 2
x(0) 3
0
9
迭代结果如下表：
迭代次数
x1
x2
x3
0
0
0
0
1
0.72
0.83
0.84
2
0.971
1.07
1.15
3
1.057
1.1571
1.2482
4
1.08535
1.18534
假设 A非奇异，则方程组有唯一解.
x* (x1*, x2*,L , xn* )T
2
§8.0 引 言
分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。
(a) 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下， 能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是 Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高.
x(k1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k1) ij j
j1
n
aij
x
k j
)
(
i
ji1
1, 2,L
, n)
上式称为 Gauss-Seidel 迭代法. 13
§8.2 高斯-塞德尔迭代法
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
计算方法
第八章 线性方程组的解法
计算方法课程组
1
§8.0 引 言
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商
业经济中的各种问题。
求解线性方程组 Ax的求b 解方法，其中
，A R 。 nn x, b Rn
3
§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
➢ 一、迭代法的基本思想 ➢ 二、例题分析 ➢ 三、 Jacobi迭代公式
4
§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
12
§8.2 高斯-塞德尔迭代法 (AX=b)
注意到利用Jacobi迭代公式计算xi(k1) 时，已经计算好了
x1( k
1)
,
x ( k 1) 2
,L
, x(k1) i 1
的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算，
仍用
x1(k ) , x2(k ) ,L
,
x(k) i 1
这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量 利用最新的迭代值，得到
n
aij x j bi , aii 0
i 1
1
n
xi
aii
(bi
aij x j )
j1
ji
(i 1, 2,L , n) (i 1, 2,L , n)
由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：
x ( k 1) i
1 aii
(bi
n
aij xik )
j1
ji
(i 1, 2,L , n)
11
1.299975
11
1.099993
1.199993
1.299991
12
1.099998
1.199998
1.299997
13
1.099999
1.199999
1.299999
14
1.1
1.2
1.3
15
1.1
1.2
1.3
10
§8.1 Jacobi迭代公式
设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立
Jacobi迭代公式，即
6
2 例题分析:
考虑解方程组
3.1Jacobi迭代法
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 (1) x1 x2 5x3 4.2
其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。
7
2 例题分析:
考虑解方程组
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5x3 4.2
迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
x(k1) Bx(k ) f
其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别 适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的 方程组。
5
AX b
x(k1) Bx(k ) f 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{ x(k) }是否收敛以及收敛条件?
3.1Jacobi迭代法
(1)
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
建立与式(1)相等价的形式：
x1 0.1x2 0.2x3 0.72
x2
0.1x1
0.2x3
0.83
(2)
x3 0.2x1 0.2x2 0.84
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2 例题分析:
考虑解方程组
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5x3 4.2
建立与式(1)相等价的形式：
x1 0.1x2 0.2x3 0.72
x2
0.1x1
0.2 x3
0.83
x3 0.2x1 0.2x2 0.84
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
据此建立迭代公式：
x1(k x2(k
+1) +1)
=0.1x2(k =0.1x1(k
) )
+0.2x3(k +0.2x3(k
➢ 雅可比迭代法的矩阵表示
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 ... ...
a22 ...
x2 ...
...
Hale Waihona Puke Baidu
a2n
xn
b2
aii 0
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
x1
1 a11
x2
1 a22
a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 ... a2n xn b2
... ... ... ...
xn
1 ann
an1 x1 ... ann1 xn1 bn
写成矩阵形式：
A=
U
D
L
Ax b (D L U )x b
Dx (L U )x b x D1(L U )x D1b
B
f
Jacobi 迭代阵
x(k1) D1(L U )x(k ) D1b
1.28282
5
1.095098
1.195099
1.294138
6
1.098338
1.198337
1.298039
7
1.099442
1.199442
1.299335
8
1.099811
1.199811
1.299777
9
1.099936
1.199936
1.299924
10
1.099979
1.199979
) )
+0.72 +0.83
x3(k
+1)
=0.2x1(k
)
+0.2x2(k
)
+0.84
取迭代初值
x(0) 1
x(0) 2
x(0) 3
0
9
迭代结果如下表：
迭代次数
x1
x2
x3
0
0
0
0
1
0.72
0.83
0.84
2
0.971
1.07
1.15
3
1.057
1.1571
1.2482
4
1.08535
1.18534
假设 A非奇异，则方程组有唯一解.
x* (x1*, x2*,L , xn* )T
2
§8.0 引 言
分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。
(a) 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下， 能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是 Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高.
x(k1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k1) ij j
j1
n
aij
x
k j
)
(
i
ji1
1, 2,L
, n)
上式称为 Gauss-Seidel 迭代法. 13
§8.2 高斯-塞德尔迭代法
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
计算方法
第八章 线性方程组的解法
计算方法课程组
1
§8.0 引 言
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商
业经济中的各种问题。
求解线性方程组 Ax的求b 解方法，其中
，A R 。 nn x, b Rn