导数微积分公式大全
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/ ￣￣￣￣￣ √ 1－ x2
（－ 1 ＜ x ＜ 1）
１ darccosx ＝ － ———————dx
/ ￣￣￣￣￣ √ 1 －x2
（－ 1 ＜ x ＜1）
１ darctanx ＝ —————dx
1＋ x2
１ darccotx ＝ － ————— dx
1 ＋ x2
导数的应用（一） —— 中值定理 特殊形式
1
│log ｘ│ ＝ ——log ｅ ＝ ———
╰ a╯
x
a
xlna
（其中 a ＞ 0 ，a ≠ 1）
1 （lnx ） ′＝ ——
x （ 5 ）正弦余弦类：
（sinx ） ′＝ cosx （cosx） ′＝ －sinx
【微分】 注：【】里面是次方的意思
（ 1 ）常数的微来自百度文库：
dC ＝ 0 （2） x 的 α次幂：
x （ 5 ）正弦余弦类：
dsinx ＝ cosxdx dcosx ＝ － sinxdx
【导数】 （ 6 ）其他三角函数：
1 （tanx ）′＝ ———— ＝ sec2x
cos2x
1 （cotx ）′＝ － ———— ＝ －csc2x
sin2x （secx）′＝ secx·tanx （cscx） ′＝ －cscx·cotx （ 7 ）反三角函数：
【 α】
【 α － 1】
dｘ ＝ αｘ
dx
（ 3 ）指数类： 【 x】 【x】
dａ ＝ ａ lnadx
（其中 a ＞ 0 ， a ≠ 1）
【 x】
【x】
dｅ
＝ ｅ dx
（ 4 ）对数类：
1
1
dlog ｘ ＝ ——log ｅ ＝ ———dx
a
x
a
xlna
（其中 a ＞ 0 ，a ≠ 1）
1 dlnx ＝ ——dx
（ v ≠0 ）
╰ ｖ╯
v2
（ 5）复合函数（由外至里的 “链式法则 ”）
dy —— ＝ f ′（ u） ·φ（′x）
dx 其中 y ＝ f（ u）， u ＝ φ′（ x ）
（ 6 ）反函数的导数：
1 [ f ˉ（１y） ] ′＝ —————
f ′（ x） 其中， f ′（ x） ≠ 0
【导数】 注：【】里面是次方的意思
（ v ≠0 ）
╰ｖ ╯
v2
【关于微分】
左边： d 打头
右边： dx 置后
再去掉导数符号 ′即可
【微分】
设函数ｕ＝ u （x），ｖ＝ v（ x）皆可微，则有：
（1） d（ u ±v ）＝ du ±dv
（2） d（ u v ）＝ du ·v ＋ u ·dv
╭ ｕ ╮ du·v － u ·dv
（3） d│ ——│ ＝ ———————
导数的应用（三） —— 曲线的凹向与拐点（辅助作图 ） 【凹向】
设函数 y ＝ f（ x）在区间（ a ，b）内具有二阶导数， （1）若当 x∈（ a ，b ）时，恒有 f〃（ x ）＞ 0 ， 则曲线 y ＝ f （ x）在区间（ a ，b ）内上凹； （2）若当 x∈（ a ，b ）时，恒有 f〃（ x ）＜ 0 ， 则曲线 y ＝ f （ x）在区间（ a ，b ）内下凹。
【拐点】 曲线上凹与下凹的分界点。
导数、微分、积分公式总结
【导数】
（1）（ u ±v ）′＝ u′±v′
（2）（ u v ）′＝ u′ｖ＋ u v′ （记忆方法： u v ＋ u v ，分别在 “u”上、 “v”上加 ′）
（3）（ c u ） ′＝ c u′（把常数提前）
╭ ｕ ╮′ u′ｖ－ u v′
（4）│ ——│ ＝ ———————
【拉格朗日中值定理】 —————→【罗尔定理】 【拉格朗日中值定理】
如果函数 y ＝ f （x ）满足： （1）在闭区间〔 a ， b〕上连续； （2）在开区间（ a ， b）上可导。
则：在（ a ， b）内至少存在一点 ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得 f（b ）－ f （a）
f ′（ξ）＝ ———————— b－ a
1 ＋ x2 【微分】 （ 6 ）其他三角函数：
1 dtanx ＝ ———— ＝ sec2xdx
cos2x
1 dcotx ＝ － ———— ＝ －csc2xdx
sin2x dsecx ＝ secx·tanxdx
dcscx ＝ －cscx·cotx dx （ 7 ）反三角函数：
１ darcsinx ＝ ———————dx
（1）如果 x ∈（ a ，b）时，恒有 f ′（x ）＞ 0 ， 则 f（ x ）在（ a ，b）内单调增加；
（2）如果 x ∈（ a ，b）时，恒有 f ′（x ）＜ 0 ， 则 f（ x ）在（ a ，b）内单调减少。
【极值】 若函数 f （x）在点 x ?处可导，且 f （x）在 x ?处取得 极值，则 f ′（ x?）＝ 0 。
１ （arcsinx ） ′＝ ——————— （－ 1 ＜ x ＜1）
/ ￣￣￣￣￣ √ 1－ x2
１ （arccosx ） ′＝ － ———————
/ ￣￣￣￣￣ √ 1－x2
（－ 1 ＜ x ＜ 1）
１ （arctanx ）′＝ —————
1＋ x2
１ （arccotx ） ′＝ － —————
【罗尔定理】 如果函数 y ＝ f （x ）满足： （1）在闭区间〔 a ， b〕上连续； （2）在开区间（ a ， b）上可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f（ a）＝ f （b ）。 则：在（ a ， b）内至少存在一点 ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得 f ′（ξ）＝ 0。
导数的应用（二） —— 求单调性、极值（辅助作图） 【单调性】
（ 1 ）常数的导数：
（c） ′＝ 0 （2） x 的 α次幂：
╭ 【α】╮ ′
【α － 1】
│ｘ │ ＝ αｘ
╰
╯
（ 3 ）指数类：
╭ 【x】╮ ′ 【 x】
│ａ ╰
│ ＝ ａ lna ╯
（其中 a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╭ 【x】╮ ′ 【 x】
│ｅ │ ＝ ｅ
╰
╯
（ 4 ）对数类：
╭
╮′ 1
（－ 1 ＜ x ＜ 1）
１ darccosx ＝ － ———————dx
/ ￣￣￣￣￣ √ 1 －x2
（－ 1 ＜ x ＜1）
１ darctanx ＝ —————dx
1＋ x2
１ darccotx ＝ － ————— dx
1 ＋ x2
导数的应用（一） —— 中值定理 特殊形式
1
│log ｘ│ ＝ ——log ｅ ＝ ———
╰ a╯
x
a
xlna
（其中 a ＞ 0 ，a ≠ 1）
1 （lnx ） ′＝ ——
x （ 5 ）正弦余弦类：
（sinx ） ′＝ cosx （cosx） ′＝ －sinx
【微分】 注：【】里面是次方的意思
（ 1 ）常数的微来自百度文库：
dC ＝ 0 （2） x 的 α次幂：
x （ 5 ）正弦余弦类：
dsinx ＝ cosxdx dcosx ＝ － sinxdx
【导数】 （ 6 ）其他三角函数：
1 （tanx ）′＝ ———— ＝ sec2x
cos2x
1 （cotx ）′＝ － ———— ＝ －csc2x
sin2x （secx）′＝ secx·tanx （cscx） ′＝ －cscx·cotx （ 7 ）反三角函数：
【 α】
【 α － 1】
dｘ ＝ αｘ
dx
（ 3 ）指数类： 【 x】 【x】
dａ ＝ ａ lnadx
（其中 a ＞ 0 ， a ≠ 1）
【 x】
【x】
dｅ
＝ ｅ dx
（ 4 ）对数类：
1
1
dlog ｘ ＝ ——log ｅ ＝ ———dx
a
x
a
xlna
（其中 a ＞ 0 ，a ≠ 1）
1 dlnx ＝ ——dx
（ v ≠0 ）
╰ ｖ╯
v2
（ 5）复合函数（由外至里的 “链式法则 ”）
dy —— ＝ f ′（ u） ·φ（′x）
dx 其中 y ＝ f（ u）， u ＝ φ′（ x ）
（ 6 ）反函数的导数：
1 [ f ˉ（１y） ] ′＝ —————
f ′（ x） 其中， f ′（ x） ≠ 0
【导数】 注：【】里面是次方的意思
（ v ≠0 ）
╰ｖ ╯
v2
【关于微分】
左边： d 打头
右边： dx 置后
再去掉导数符号 ′即可
【微分】
设函数ｕ＝ u （x），ｖ＝ v（ x）皆可微，则有：
（1） d（ u ±v ）＝ du ±dv
（2） d（ u v ）＝ du ·v ＋ u ·dv
╭ ｕ ╮ du·v － u ·dv
（3） d│ ——│ ＝ ———————
导数的应用（三） —— 曲线的凹向与拐点（辅助作图 ） 【凹向】
设函数 y ＝ f（ x）在区间（ a ，b）内具有二阶导数， （1）若当 x∈（ a ，b ）时，恒有 f〃（ x ）＞ 0 ， 则曲线 y ＝ f （ x）在区间（ a ，b ）内上凹； （2）若当 x∈（ a ，b ）时，恒有 f〃（ x ）＜ 0 ， 则曲线 y ＝ f （ x）在区间（ a ，b ）内下凹。
【拐点】 曲线上凹与下凹的分界点。
导数、微分、积分公式总结
【导数】
（1）（ u ±v ）′＝ u′±v′
（2）（ u v ）′＝ u′ｖ＋ u v′ （记忆方法： u v ＋ u v ，分别在 “u”上、 “v”上加 ′）
（3）（ c u ） ′＝ c u′（把常数提前）
╭ ｕ ╮′ u′ｖ－ u v′
（4）│ ——│ ＝ ———————
【拉格朗日中值定理】 —————→【罗尔定理】 【拉格朗日中值定理】
如果函数 y ＝ f （x ）满足： （1）在闭区间〔 a ， b〕上连续； （2）在开区间（ a ， b）上可导。
则：在（ a ， b）内至少存在一点 ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得 f（b ）－ f （a）
f ′（ξ）＝ ———————— b－ a
1 ＋ x2 【微分】 （ 6 ）其他三角函数：
1 dtanx ＝ ———— ＝ sec2xdx
cos2x
1 dcotx ＝ － ———— ＝ －csc2xdx
sin2x dsecx ＝ secx·tanxdx
dcscx ＝ －cscx·cotx dx （ 7 ）反三角函数：
１ darcsinx ＝ ———————dx
（1）如果 x ∈（ a ，b）时，恒有 f ′（x ）＞ 0 ， 则 f（ x ）在（ a ，b）内单调增加；
（2）如果 x ∈（ a ，b）时，恒有 f ′（x ）＜ 0 ， 则 f（ x ）在（ a ，b）内单调减少。
【极值】 若函数 f （x）在点 x ?处可导，且 f （x）在 x ?处取得 极值，则 f ′（ x?）＝ 0 。
１ （arcsinx ） ′＝ ——————— （－ 1 ＜ x ＜1）
/ ￣￣￣￣￣ √ 1－ x2
１ （arccosx ） ′＝ － ———————
/ ￣￣￣￣￣ √ 1－x2
（－ 1 ＜ x ＜ 1）
１ （arctanx ）′＝ —————
1＋ x2
１ （arccotx ） ′＝ － —————
【罗尔定理】 如果函数 y ＝ f （x ）满足： （1）在闭区间〔 a ， b〕上连续； （2）在开区间（ a ， b）上可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f（ a）＝ f （b ）。 则：在（ a ， b）内至少存在一点 ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得 f ′（ξ）＝ 0。
导数的应用（二） —— 求单调性、极值（辅助作图） 【单调性】
（ 1 ）常数的导数：
（c） ′＝ 0 （2） x 的 α次幂：
╭ 【α】╮ ′
【α － 1】
│ｘ │ ＝ αｘ
╰
╯
（ 3 ）指数类：
╭ 【x】╮ ′ 【 x】
│ａ ╰
│ ＝ ａ lna ╯
（其中 a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╭ 【x】╮ ′ 【 x】
│ｅ │ ＝ ｅ
╰
╯
（ 4 ）对数类：
╭
╮′ 1