构建二叉树的二叉链表存储结构

二叉树的二叉链表存储结构构建方法假设有关二叉树的二叉链表存储的类型定义如下：

typedef struct BiTNode{ // 结点结构

ElemType data ；//数据域

struct BiTNode *Lchild ；//左孩子指针

struct BiTNode *Rchild；//右孩子指针

} BiTNode ，*BiTree ；

1 利用扩展二叉树的先序序列构建

只根据二叉树的先序序列是不能唯一确定一棵二叉树的。针对这一问题，可做如下处理：对二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，设其值为#，表示为空，把这样处理后的二叉树称为原二叉树的扩展二叉树。扩展二叉树的先序序列可唯一确定这棵二叉树。如图 1 所示，给出了一棵二叉树的扩展二叉树，以及该扩展二叉树的先序序列。

建立二叉链表的算法如下：

void Create(BiTree &T)

{//输入扩展二叉树的先序序列，构建二叉链表scanf(&ch); //输入一个元素

if (ch=='# ') T = NULL;

else

{ T= (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode))；

//申请根结点

T->data =ch; // 给根结点数据域赋值

Create(T->Lchild);//建左子树

Create(T->Rchild);//建右子树

}

} // Create

2 利用二叉树的先序序列和中序序列

容易证明：由一棵二叉树的先序序列和中序序列可唯一的确定一棵二叉树。

基本思想：先根据先序序列的第一个元素建立根结点；然后在中序序列中找到该元素，确定根结点的左、右子树的中序序列；根据左、右子树的中序序列确定左、右子树中结点的个数；再根据结点个数在先序序列中确定左、右子树的先序序列；最后由左子树的先序序列与中序序列建立左子树，由右子树的先序序列与中序序列建立右子树。

显然，这是一个递归过程。假设先序序列放在数组pre[0..n-1]中，中序序列放在数组mid[0..n-1]中，n是二叉树中元素的个数，其算法如下：

int Find(ElemType *P, int L2 ,int H2, ElemType x)

{//在数组P的区间L2..H2内确定x的位置

i=L2;

while(P[i]!=x) i++;

return i;

}// Find

void Create (BiTree &T, int L1, int H1, int L2, int H2)

{//已知先序序列pre[L1..H1]，

//中序序列mid[L2..H2]构建二叉链表

if (L2>H2) T=NULL; //建空树

else

{ T =(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));

//创建根结点T

T ->data=pre[L1]; //给根数据域赋值

k=Find(mid, L2, H2, pre[L1]);

//找根在中序序列的位置

Create (T ->Lchild, L1+1,k+L1-L2, L2,k-1);

//创建左子树

Create(T->Rchild,k+L1-L2+1,H1,k+1, H2);

//创建右子树

}

}// Create

3 利用扩展完全二叉树的顺序存储

约定对二叉树上的结点从根结点起，自上而下，自左而右进行连续编号，根结点的编号为1。深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点的编号都与深度为k的满二叉树中编号为1至n中的结点一一对应时，称其为完全二叉树。

如果一棵二叉树不是完全二叉树，可以用添加虚结点的方式将其扩展为一棵完全二叉树，虚结点的值设为#

，表示该结点不存在，把这样处

理后的二叉树称为原二叉树的扩展完全二叉树。如图2中的(a)不是完全二叉树，(b)为(a)的扩展完全二叉树。

完全二叉树的性质[2]：如果一棵完全二叉树有n个结点，则有：1）编号为i的结点如果有左孩子，则左孩子的编号为2i；2）如果有右孩子，则右孩子的编号为2i+1。

基本思想：1）将二叉树扩展为一棵完全二叉树；2）根据编号将结点的值依次放在数组s 的s[1..n]中。3）根据完全二叉树的性质，构造二叉树的二叉链表存储结构。这里n为扩展完全二叉树的结点个数，如图2中的n 为11。

对于第3)步，s[1]是二叉树的根结点，如果2<=n则s[2]是s[1]的左孩子，否则左孩子为空；如果3<=n则s[3]是s[1]的右孩子，否则右孩子为空；一般的，对于s[i]：

if (s[i]== '#' ) then 建空树;

else { if (2i<=n) then s[2i]是s[i]的左孩子else 左孩子为空；

if (2i+1<=n) then s[2i+1]是s[i]的右孩子;

else 右孩子为空; }

显然，这是一个递归过程。其算法如下：void Create (Bitree &T , ElemType *s, int i, int n) {//创建一棵以s[i]值为根的值的二叉树的二

//叉链表，树的根为T

if(s[i]=='#') T =NULL;

else

{ T =(BiTree)malloc(*sizeof(BiTNode));

//申请根结点

T ->data=s[i];

// 给根结点的数据域赋值

j=2*i;

if (j<=n) //创建左子树

Create (T->Lchild , s, j, n);

else T->Lchild=NULL;

j++;

if(j<=n) //创建右子树

Create (T ->Rchild , s, j, n);

else T ->Rchild=NULL;

}

}// Create

4 利用二叉排序树的性质

基本思想：从一棵空二叉树出发，按照先序序列依次插入各结点。假设先序列放在pre[1..n]中，中序序列放在mid[1..n]中，这里n是二叉树的结点个数。pre[1]是树的根，pre[i]（i=2,3,…n）究竟插在左子树上还是右子树上，则要看pre[i]在中序序列中的位置，如果pre[i]在pre[1]的之前，则插入到左子树上，否则插在右子树上。为此可定义一个函数Find来确定结点在中序序列中的位置。

Find：pre[1..n] 1..n 定义如下：

如果pre[i]=mid[j] 则Find(pre[i])=j ；

这样，对于pre[1..n]中的每个元素（即树上的每个结点）都赋予了一个值，根据pre[1..n]和赋予每个元素pre[i](i=1,2…n)的Find（pre[i]）值，按照构造二叉排序树的方法依次插入各结点，建立二叉树。其算法如下：

int Find (ElemType *mid , int n, ElemType x)

{//求x在中序序列中的位置

for( j=1;j<=n ; j++)

if(x==mid[j]) return j;

}// Find

void Insert_Node(Bitree &T , Bitree s) {//将s插在以T为根的二叉树的合适位置上

if (T==NULL) T=s; //在空树上插入s

else

{ if(Find(T->data)>Find(s->data))

//将s所指结点插在左子树上

Insert_Node(T->Lchild,s);

else //将s所指结点插在右子树上

Insert_Node(T->Rchild,s);

}// Insert_Node

void Create (Bitree &T, int n)

{//建有n个结点的二叉树的二叉链表

T=NULL; //先建立一棵空树

for(j=1;j<=n;j++)

{ //依次产生结点和插入结点

s= (BiTree)malloc(*sizeof(BiTNode));

s ->data=pre[j];

s->Lchild=NULL;