信号与系统第三章：傅里叶变换PPT课件
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任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或 虚指数函数积分。
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
6
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。
C1v x
x
它们组成一个二维正交矢量集。
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
7
矢量正交集
❖ 矢量正交的定义
矢量 Vx (Vx1,Vx2,Vx3)和 Vy (Vy1,Vy2,Vy3)
内积为零，即
3
VxVyT VxiVyi 0
i1
❖ 矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
2
第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
8
正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2(t) 若满足条件 tt121(t)2(t)dt0
则函数 1(t)与 2(t)为在区间 [t1 , t2 ] 的正交函数。
（2）正交函数集 在区间 [t1, t2上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
一个正交函数空间。将任一函数 f (t)用这 n个正交函数的
线性组合来近似，可表示为：
n
f(t) C 11 (t) C 22 (t) .. .C .n.n (.t)C j j(t)
j 1
13
根据最小均方误差原则，可推出：
Ci
LOGO
傅里叶变换
上海大学机自学院
.
1
上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾
❖ 上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号 激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于 在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析 法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容， 可概括为如下几个方面：
如三维空间中，Vx (1,0,0) Vy (0,1,0) Vz (0,0,1)
所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A(1,2.5,4)表示为 AVx2.5Vy4Vz
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间 找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空 间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
5
本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
由积分可知
t在一个周期内，n=1,...
T
2Tcosn1tsinm1dt0 T 2T 22cosn1tcosm 1tdt T 2 0,,
T 2T 2sinn1tsinm1tdt T 2 0,,
11
mn mn mn mn
复指数函数集
复 指 数 函 数 集 ： e j n 1 t （ 其 中 n 0 , 1 , 2 )
e t1T jn1t t1
ejn1t
dt0
mn
e t1T jn1t t1
ejn1t
dtT
T2 1 为 指 数 函 数 的 公 共 周 期
当 n ,e j n 1 t为 一 完 备 的 正 交 函 数 集
12
ห้องสมุดไป่ตู้
信号分解为正交函数
设有n个函数 1(t),2(t),.., .n .(t)在区间 (t1 , t2) 构成
3
时域分析
❖ 时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号， 任意输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且，
yf(t)h(t)f(t) yf(k)h(k)f(k)
对于连续时间系统 对于离散时间系统
❖ 在本章的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和 连续时间系统。
4
变换域
❖ 变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变 换，将时域的信号与系统变换到频域、S域和Z域中进行分 析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的 复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分 析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角 度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。
，则称该函数集为完备正交函数集。 三角函数集：
1 , c o s 1 t , c o s 2 1 t ,c o s n 1 t ,, s i n 1 t , s i n 2 1 t ,s i n n 1 t ,
在区间 (t0,t0 T) 内组成完备正交函数集。 T 2 /1
10
三角函数集
1 ,c o sn 1 t,sin n 1 t是一个完备的正交函数集
t2
t1 i
(t)j
(t)dt
0, ki 0,
i j i j
k i 为常数，则称函数集 1(t)....n.(t.)..为. 区间
[t1, t2 ]内的正交函数集。
9
完备正交函数集
如果在正交函数集 1(t)....n.(t.)..之.外不存在函数 (t) 满足等式 tt12i(t)(t)dt0 i1,2,....n...,
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
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3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。
C1v x
x
它们组成一个二维正交矢量集。
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
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矢量正交集
❖ 矢量正交的定义
矢量 Vx (Vx1,Vx2,Vx3)和 Vy (Vy1,Vy2,Vy3)
内积为零，即
3
VxVyT VxiVyi 0
i1
❖ 矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
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第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
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正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2(t) 若满足条件 tt121(t)2(t)dt0
则函数 1(t)与 2(t)为在区间 [t1 , t2 ] 的正交函数。
（2）正交函数集 在区间 [t1, t2上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
一个正交函数空间。将任一函数 f (t)用这 n个正交函数的
线性组合来近似，可表示为：
n
f(t) C 11 (t) C 22 (t) .. .C .n.n (.t)C j j(t)
j 1
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根据最小均方误差原则，可推出：
Ci
LOGO
傅里叶变换
上海大学机自学院
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上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾
❖ 上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号 激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于 在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析 法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容， 可概括为如下几个方面：
如三维空间中，Vx (1,0,0) Vy (0,1,0) Vz (0,0,1)
所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A(1,2.5,4)表示为 AVx2.5Vy4Vz
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间 找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空 间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
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本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
由积分可知
t在一个周期内，n=1,...
T
2Tcosn1tsinm1dt0 T 2T 22cosn1tcosm 1tdt T 2 0,,
T 2T 2sinn1tsinm1tdt T 2 0,,
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mn mn mn mn
复指数函数集
复 指 数 函 数 集 ： e j n 1 t （ 其 中 n 0 , 1 , 2 )
e t1T jn1t t1
ejn1t
dt0
mn
e t1T jn1t t1
ejn1t
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T2 1 为 指 数 函 数 的 公 共 周 期
当 n ,e j n 1 t为 一 完 备 的 正 交 函 数 集
12
ห้องสมุดไป่ตู้
信号分解为正交函数
设有n个函数 1(t),2(t),.., .n .(t)在区间 (t1 , t2) 构成
3
时域分析
❖ 时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号， 任意输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且，
yf(t)h(t)f(t) yf(k)h(k)f(k)
对于连续时间系统 对于离散时间系统
❖ 在本章的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和 连续时间系统。
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变换域
❖ 变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变 换，将时域的信号与系统变换到频域、S域和Z域中进行分 析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的 复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分 析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角 度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。
，则称该函数集为完备正交函数集。 三角函数集：
1 , c o s 1 t , c o s 2 1 t ,c o s n 1 t ,, s i n 1 t , s i n 2 1 t ,s i n n 1 t ,
在区间 (t0,t0 T) 内组成完备正交函数集。 T 2 /1
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三角函数集
1 ,c o sn 1 t,sin n 1 t是一个完备的正交函数集
t2
t1 i
(t)j
(t)dt
0, ki 0,
i j i j
k i 为常数，则称函数集 1(t)....n.(t.)..为. 区间
[t1, t2 ]内的正交函数集。
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完备正交函数集
如果在正交函数集 1(t)....n.(t.)..之.外不存在函数 (t) 满足等式 tt12i(t)(t)dt0 i1,2,....n...,