第11章 投资分析(2)：债券的价值分析(投资学课件-厦门大学,王艺明)

4. 税收待遇：享受免税待遇的债券的内在价值一
般略高于没有免税待遇的债券,故其价格较高 ➢ 无套利原理，经税负调整后的税后报酬率 应等于特征相同的免税债券的报酬率 ➢ 税负债券必须支付税负贴水（tax premium）
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5. 流动性:债券的流动性与债券的内在价值 呈正比例关系。
➢债券的流动性越大，价格越高
[ 1C1
(1 y)
2C2 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
T t 1
Ct (1 y)t
[ T C1
(1 y)
TC2 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
T t 1
Ct (1 y)t
T
31
▪ 定理3：在到期时间相同的条件下，息票率 越高，久期越短。
证明：由于 dP / P @ D ＝ D*，所以 dy 1 y
➢ 投资者持有债券到期 ➢ 无违约(利息和本金能按时、足额收到） ➢ 收到利息能以到期收益率再投资
6
P0
n t 1
C (1 y)t
F (1 y)n
P0 (1 y)n
C(1 y)n1,..., C(1 y) C F
以到期收益 率再投资
11.2.1 判断债券价格低估还是高估的方法
▪ 第一种，比较到 期收益率与实际 利率的差异。
▪ 定理3：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加， 但增加的速度递减。
➢ n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之间的差异
证明：分别观察n年期、n+1年期和n＋2年期债券投资者 最后1年、2年和3年现金流的现值
PVn
F k (1 i)n
F (1 i)n
Fk Fk
F
PVn,n1 (1 i)n (1 i)n1 (1 i)n1
PVu PVd
▪ 定理5：除折现债券和永久债券外，息票率 越低的债券受市场利率的影响越大。
1.息票率越低，付本金前所有利息收入的现值 在整个债券价格构成中占比重越低，本金现 值的比重越大。
2.本金是现金流最主要的组成部分，其现值 （绝对数）受利率的影响最大。
3.由1、2即有定理5。
20
11.2.3 债券属性与价值分析
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T
(
t 1
tCt (1 y)t
/
T t 1
Ct (1 y)t
)
@ D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时， 二者近似相等。
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2. 当到期收益率为0时，债券的价格正好 等于它的所有现金流的和。
➢比如票面利率为10％的曲线，每年为10元， 一共30年，得到300点，再加上100元的面 值，得到的价格为400元。
10
▪价格表示为到期收益率的函数。
➢图中价格表示为面值（100元）的倍数；所有债券的 期限为30年；每条曲线上的数字表示票面利率。从图可 以看出4个特征。
(1
C2 i1 )(1
i2 )
,...,
Cn F
n
(1 ij )
j 1
其中，V0为债券的现值(内在价值)
Ct为第t期债券的利息
it为t期的市场利率(短期利率）
F为债券的面值(Face value) 2
▪ 为简化讨论，假设
➢ 只有一种利率，适合于任何到期日现金流的折 现
➢ 债券每期支付的利息相同，到期支付本金
▪ 债券投资管理的重要策略之一就是，如何 消除利率变动带来的风险，即利率风险免 疫（Interest rate immunization），即使得 债券组合对利率变化不敏感。
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11.3.1 久期(Duration)
设债券的价格p满足P
T t 1
Ct (1 y)t
, 则有
利率或到 期收益率
dP
a i
由于
( a )t ( a )t 2 ( a )t ( a )t
a i a i
a i a i
又由于 0 i i,则有
( a )t ( a )t [ a2 ]t /2 1 a i a i a2 (i)2 从而
( a )t ( a )t 2 u 11 d 2 a i a i 即u d， 对于任意t时刻，u d，则所有现金流的现值也满足
V0
n t＝1
C (1 i)t
F (1 i)n
C[1
(1
1 i)n
]
i
(1
F i)n
=C[1/ i 1/ i ] F 1
(1 i)n
(1 i)n
年金因子
现值因子 3
11.2 到期收益率
▪ 到期收益率（Yield to maturity）：使债券未来支 付的现金流之现值与债券价格相等的折现率。
D dP / P (1 y) D dP dy(1 y) 0 （1）
dy
P
当若债券的贴现率y不变，则当息票率上升时,
/
T t 1
Ct (1 y)t
T
]@
t 1
t wt
其中，wt为t时期的权重
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利 率变化引起的债券价格变化越大
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值 占总现值的比例
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Macaulay久期定理
▪ 定理1：只有无息债券的Macaulay久期等 于它们的到期时间。
➢ 当净现值大于零时，意味着内在价值大于债券 价格，即实际利率低于债券承诺的到期收益率， 该债券被低估；
➢ 反之，当净现值小于零时，该债券被高估。
NPV V0 P0
9
11.2.2 债券价格与到期收益率
1. 价格与到期收益具有反向相关关系。
➢对于固定的收入流，要使得投资者的到期 收益率越高，投资者购买债券的价格就必 须越低，这样投资回报才越高。
➢ 到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率
若已知债券当前购买价格P0，面值为F，现在距离到期 时间为不n年，每年支付的利息总额为C,1年内共分m次
付息，则满足下式的y就是到期收益率
P0
F
1
y m
mn
mn t 1
C 1
m y m
t
（1）
4
若每半年支付1次利息，到期收益率
仍以年表示则
F k
F
PVn1 t1 (1 i)t (1 i)n (1 i)n1 (1 i)n1
债券由于期 限长，利率 对其价格的 作用大。
当i k时，有1 k 1，则 1 i
F k (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
1 k 1 i
F (1 i)n
, 从而
PVn1 PVn。同理，当i k时，PVn1 PVn。 因此，同样的市场利率变化给长期债券造成的波动更剧烈
投资学 第11章
投资分析（2）：债券的价值分析
1
11.1 债券定价
▪ 现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method,简称 DCF)，又称收入法或收入资本化法。
▪ DCF认为任何资产的内在价值（Intrinsic value） 取决于该资产预期的现金流的现值。
V0
C1 (1 i1)
21
价格 面值
溢价债券
溢价债券的价 格将会下跌， 资本损失抵消 了较高的利息 收入
折价债券
到期日 时间
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3. 可赎回条款：该条款的存在，降低了该类 债券的内在价值。
市场利率高时，赎 回风险可忽略不计， 两种债券的价差可 以忽略。
当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发 行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。
PVn,n2
F k (1 i)n
F (1
k i)n1
F k (1 i)n2
F (1 i)n2
16
由于
F k
F
F
PVn,n1 PVn (1 i)n1 (1 i)n1 (1 i)n
PVn,n2
PVn,n1
F k (1 i)n2
F (1 i)n2
F (1 i)n1
则有 PVn,n2 PVn,n1 1 1
1. 到期时间
▪ 根据Malkiel定理2和定理3，若其他条件不便， 则债券的到期时间越长，债券价格的波动幅 度越大，但波幅增量递减。
2. 息票率的影响
▪ 若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反 之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。
▪ 在其他属性不变的条件下，债券的息票率越 低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大 （定理5）。
T
证明：D t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
[ 0 C1 (1 y)
0 C2 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
30
▪ 定理2：附息债券的Macaulay久期小于它 们的到期时间。
T
证明：D t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
14
▪ 定理1：债券价格与市场利率具有反向相关关系。
▪ 定理2：若利率不变，则债券的到期时间与债券价格 的波动幅度之间成正相关关系。
证明： PVn
n1 t 1
C (1 i)t
C (1 i)n
F (1 i)n
原因：长期
n1 t 1
F k (1 i)t
F k (1 i)n
F (1 i)n
n1 F k F k
6. 违约风险越高，投资收益率也越高
➢违约风险高，则信用等级低，价格低
7. 可转换债券息票率和承诺的到期收益率通 常较低
8. 可延期债券的息票率和承诺的到期收益率 较低。
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11.3 久期和凸性
▪ 市场利率的升降对债券投资的总报酬具有 影响：债券本身的溢价或损失（资本利 得），利息收入和再投资收益。
解得（用Matlab程序）
y=0.0934
13
总结： Malkeil定理
n
PV
CF
n
@
Ct
t＝1 (1 i)t (1 i)n t＝1 (1 i)t
▪ 由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及 市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值， 若市场是有效的（无套利条件），则内在价值＝ 价格。
▪ 在市场有效的前提下，Malkeil的5个定理总结了 债券价格（现值）与这些因素的关系。
例子
▪ 例如，某债券当前的市场价格为950.25美 元，收益率为10%，息票率为8%，面值 1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。
D 72.731 66.12 2 811.40 3 950.25
2.78(年）
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dP / P D D* dy 1 y
D
T t 1
t
[
(1
Ct y)t
证明：任取t时刻现金流Ct的折现值，只要证明每个时刻 的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。
令u
wk.baidu.com
[
(1
Ct i
i)t
Ct (1 i)t
]
Ct (1 i)t
,d
[
Ct (1 i)t
Ct (1 i i)t
]
Ct (1 i)t
再令1 i a
u ( a )t 1, d 1 ( a )t
a i
PVn,n1 PVn 1 i
原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。
当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小， 重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增 速递减。
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▪ 定理4：对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价 格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价 格下降的幅度。
4. 当到期收益率越来越大时，债券的价格 趋于零。
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例题
▪ 某公司债券的面值为100元，现距离到期日为15 年，债券的票面利率为10％，每半年付息一次。 若该债券的现价为105元，求到期收益率。
解：利用公式（2）有
30 100 5％
100
105
t1 (1 y / 2)t (1 y / 2)30
➢ 若y>i，则该债
券的价格被低估；
如果y<i，该债
券的价格被高估
实际利率
根据Fisher的利率理论
1 i (1 i)(1 )
1i
V0
n t＝1
C (1 i)t
F (1 i)n
P0
n t 1
C
1 yt
F
1 yn
8
▪ 第二种方法，比较债券的内在价值与债券 价格的差异。
▪ 我们把债券的内在价值V0与债券价格P0之 间的差额，定义为债券投资者的净现值 NPV。
• 价格
• 500
• 400
• 300
• 200
5%
• 100 0%
15% 10%
•0
5
10
15
•
到期收益率
11
3. 当到期收益率和票面利率相等时，债券 的价格正好等于其面值。
➢ 例如票面利率为10%的曲线，当到期收益 率为10%时，其中的价格正好等于100元。
➢ 这两者相等的原因在于，每年的利息支付 正好等于10%的收益，从而每年的价格保 持不变，均为100元。
2n C / 2
F
P0 t1 (1 y / 2)t (1 y / 2)2n
(2)
若1年付息1次则
P0
n t 1
C
1 yt
F
1 yn
(3)
5
▪ 到期收益率实际上就是内部报酬率(internal rate of return)
➢ 注意：债券价格是购买日的价格，购买日不一 定是债券发行日
▪ 到期收益率能否实际实现取决于3个条件：