土体中的应力计算
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0 0 0 ij 0 0 0 0 0 z
x ij 0 0 0 y 0 0 0 z
应力条件
独立变量
z ; z F( z )
侧压力系数
地基中的应力状态（3）
§4.1 应力状态及应力应变关系
碎散体 非线性 弹塑性
应力条件
轴向力F
z
试 样
x y c xy yz zx 0
y
水压 力 c
x
x y c ; z 独立变量 x y ; z
x y c
0 c 0 0 x 0 ij 0 0 z
《土力学》之第四章
土体中的应力计算
第四章：土体中的应力计算
• 土体中的应力计算 • 土体中的孔隙水压力计算 • 有效应力原理与固结模型 • 土体应力计算-弹性理论
本章提要
学习要点
• 有效应力原理与固结 -土水两相相互作用
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形面积竖直均布荷载
dP pdxdy
角点下的垂直附加应力：B氏解的应用
p
L B
y
3dP z 3 3p z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
x
z K sp
z
0
B
L
0
d z z ( p, m, n)
z
M
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
竖直线布荷载 - 弗拉曼解
- B氏解的应用
2 pz 3 z ( x 2 z 2 ) 2 2 px 2 z x ( x 2 z 2 ) 2 zx 2pxz ( x 2 z 2 ) 2
2
p
x
z
y
x
z
M
y x z
连续介质 （宏观平均） 线弹性体 （应力较小时） 均质各向同性体 （土层性质变化不大） E、与位置和方向无关
加载
线弹性
成层土 各向异性
卸载
εp
εe
理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等
应力计算时的基本假定
§4.1 应力状态及应力应变关系
3P z 3 3 1 P P z K 2 5 2 5/ 2 2 2 R 2 [1 (r / z ) ] z Z
集中力作用下的 应力分布系数 查表4－1
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
z 3 1 P P K 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2 z 2 Z2
m=L/B, n=z/B
P109页（4－27）
L z K s F(B, L, z ) F( , ) F(m, n) B B
z
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks：表4-4
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形面积竖直均布荷载
任意点的垂直附加应力—角点法 叠加原理
B C a
在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变（水平应力）
土体的自重应力
第四章：土体中的应力计算
§4.1 §4.2 §4.3 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力
§4.4
§4.5 §4.6
基底压力计算
有效应力原理 常规三轴压缩试验
§4.3 附加应力
附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增加 的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉 降的主要原因
P z K 2 z z Kp
K
底面形状 荷载分布 计算点位置
(表4-1) (表4-4) (表4-6) (表4-11) (表4-12) (表4-13)
•K ——竖直集中荷载作用下 •Ks ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下 •Kt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下 •Kh ——矩形面积水平均布荷载作用角点下 •Kzs——条形面积竖直均布荷载作用时 •Kzt——条形面积三角形分布荷载作用时 •Kzh——条形面积水平均布荷载作用时 •K0 ——圆形面积均布荷载作用时园心点下 •KzL——条形面积梯形分布荷载作用时
§4.4
§4.5 §4.6
基底压力计算
有效应力原理 常规三轴压缩试验
§4.2 自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力 目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题 计算： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
P
σz与α无关，呈轴 对称分布 P作用线上
在某一水平面上 在r﹥0的竖直线上 z等值线-应力泡
应力泡
0.1P 0.05P 0.02P 0.01P
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
水平集中力－西罗提课题
P
o
x
α
x
r
M β z M y
z zx
R
yz
y
xy x
y
z
3Ph xz 2 z 2 R 5
R
y
x
z
2 2 2
R r z x y z
（P；x,y,z；R, α, β)
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年
推出了该问题的理论解，包括六个应力分量和三 个方向位移的表达式 教材P104~105页 其中，竖向应力z：
y 0 yx yz 0
地基中的应力状态（2）
§4.1 应力状态及应力应变关系
二维应力状态（平面应变状态） 应变条件 y 0
yx yz 0
y
x ij 0 1 2 xz 0 0 0
1 2
xz 0 z
矩形面积竖直三角形分布荷载
z
B 0
dP pdxdy
L
0
d z z (p t , m, n)
y
pt
z K tpt
L z K t F( B, L, z ) F( , ) F( m, n) B B
x
o
B
L
z
M
z
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的 应力分布系数：表4-6
(表4-9) (图4-32)
小
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理
土体中的应力计算
第四章：土体中的应力计算
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理 常规三轴压缩试验
§4.1 应力状态及应力应变关系
土体的自重应力
§4.2 自重应力
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
地下水
水平向自重应力： sx sy K 0sz K0 1
应力条件
x z 0 E E y x z y
x ij 0 zx
0 y 0
xz 0 z
独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; x , z
地基中的应力状态（2）
zx z +
材料力学
正应力
剪应力
顺时针为正 逆时针为负
zx
土力学
z +
x
xz
-
拉为正 压为负
-
xz
x
压为正 拉为负
逆时针为正 顺时针为负
土力学中应力符号的规定
§4.1 应力状态及应力应变关系
三维应力状态（一般应力状态）
o
y
x
z
zx
yz
xy
x
z
x ij yx zx xy y zy xz yz z
x
z
M
条形面积竖直均布荷载作用时 的应力分布系数：表4-12
条形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
条形面积其它分布荷载 P123页：表4－13 圆形面积均布荷载作用
• 圆心下的附加应力计算
z F(r / z )p K 0p
P115页：表4－9
其它荷载的附加应力
§4.3 附加应力
z
sz sx
容重： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
土体的自重应力
§4.2 自重应力
分布规律
地面
1 H1 2 H2
地下水
1H1
sz
2H2 2H3
z
2 H3
sy
sz sx z
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布
自重应力在成层地基中呈折线分布
y
x ij 1 2 xy 1 2 xz
1 2
xy y 1 2 yz
1 2 1 2
xz yz z
地基中的应力状态（1）
§4.1 应力状态及应力应变关系
三维应力状态（三轴应力状态）
x y 应变条件 xy yz zx 0
A D b
荷载与应 力间满足 线性关系
角点计算公式
பைடு நூலகம்
任意点的计算公式
A B D • 矩形内： z ( K s Ks KC K s s )p
BD CD D • 矩形外： z (K abcd K K K s s s s )p
C
A c
D
B d
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形面积水平均布荷载
角点下的垂直附加应力：C氏解的应用 B ph L
z K hph
L z K h F( B, L, z ) F( , ) F( m, n) B B
z
Z
z
矩形面积作用水平均布荷载时角 点下的应力分布系数：表4-11
条形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
条形面积竖直均布荷载
任意点的附加应力：F氏解的应用 p
B
z K s zp x K p
s x
x y
xz K s xz p
s s Ks , K , K z x xz
z
F( B , x , z ) x z F( , ) F( m, n ) B B
• 集中荷载作用下的附加应力 基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
叠加原理
地基中的附加应力
§4.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
P
α r y M β z M
2 2 2
o
x
x
z zx yz y xy
§4.1 应力状态及应力应变关系
侧限应力状态：指侧向应变为零的一种应力状态
• 水平地基半无限空间体 • 半无限弹性地基内的自重 应力只与Z有关 • 土质点或土单元不可能有 侧向位移侧限应变条件 • 任何竖直面都是对称面
o y
x
z
应变条件
y x 0 xy yz zx 0
0 x 0 0 0 z
c ij 0 0
地基中的应力状态（1）
§4.1 应力状态及应力应变关系
二维应力状态（平面应变状态）
z
x
zx
z
o
y z
y
yz
xy
x
zx xz x
垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 沿y方向有足够长度，L/B≧10 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
土力学中应力
符号的规定
地基中常见的
应力状态
• • • •
三维应力状态 三轴应力状态 平面应变状态 侧限应力状态
应力计算时的
基本假定
• 连续 • 弹性 • 均质各向同性
小
结
第四章：土体中的应力计算
§4.1 §4.2 §4.3 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力
• 水平地基中的 自重应力
地基中的应力状态（3）
§4.1 应力状态及应力应变关系
侧限应力状态：侧向应变为零的一种应力状态 应变条件
y x 0 xy yz zx 0
xy yz zx 0 x x y z 0 E E x y z K 0 z 1
x ij 0 0 0 y 0 0 0 z
应力条件
独立变量
z ; z F( z )
侧压力系数
地基中的应力状态（3）
§4.1 应力状态及应力应变关系
碎散体 非线性 弹塑性
应力条件
轴向力F
z
试 样
x y c xy yz zx 0
y
水压 力 c
x
x y c ; z 独立变量 x y ; z
x y c
0 c 0 0 x 0 ij 0 0 z
《土力学》之第四章
土体中的应力计算
第四章：土体中的应力计算
• 土体中的应力计算 • 土体中的孔隙水压力计算 • 有效应力原理与固结模型 • 土体应力计算-弹性理论
本章提要
学习要点
• 有效应力原理与固结 -土水两相相互作用
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形面积竖直均布荷载
dP pdxdy
角点下的垂直附加应力：B氏解的应用
p
L B
y
3dP z 3 3p z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
x
z K sp
z
0
B
L
0
d z z ( p, m, n)
z
M
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
竖直线布荷载 - 弗拉曼解
- B氏解的应用
2 pz 3 z ( x 2 z 2 ) 2 2 px 2 z x ( x 2 z 2 ) 2 zx 2pxz ( x 2 z 2 ) 2
2
p
x
z
y
x
z
M
y x z
连续介质 （宏观平均） 线弹性体 （应力较小时） 均质各向同性体 （土层性质变化不大） E、与位置和方向无关
加载
线弹性
成层土 各向异性
卸载
εp
εe
理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等
应力计算时的基本假定
§4.1 应力状态及应力应变关系
3P z 3 3 1 P P z K 2 5 2 5/ 2 2 2 R 2 [1 (r / z ) ] z Z
集中力作用下的 应力分布系数 查表4－1
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
z 3 1 P P K 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2 z 2 Z2
m=L/B, n=z/B
P109页（4－27）
L z K s F(B, L, z ) F( , ) F(m, n) B B
z
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks：表4-4
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形面积竖直均布荷载
任意点的垂直附加应力—角点法 叠加原理
B C a
在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变（水平应力）
土体的自重应力
第四章：土体中的应力计算
§4.1 §4.2 §4.3 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力
§4.4
§4.5 §4.6
基底压力计算
有效应力原理 常规三轴压缩试验
§4.3 附加应力
附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增加 的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉 降的主要原因
P z K 2 z z Kp
K
底面形状 荷载分布 计算点位置
(表4-1) (表4-4) (表4-6) (表4-11) (表4-12) (表4-13)
•K ——竖直集中荷载作用下 •Ks ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下 •Kt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下 •Kh ——矩形面积水平均布荷载作用角点下 •Kzs——条形面积竖直均布荷载作用时 •Kzt——条形面积三角形分布荷载作用时 •Kzh——条形面积水平均布荷载作用时 •K0 ——圆形面积均布荷载作用时园心点下 •KzL——条形面积梯形分布荷载作用时
§4.4
§4.5 §4.6
基底压力计算
有效应力原理 常规三轴压缩试验
§4.2 自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力 目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题 计算： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
P
σz与α无关，呈轴 对称分布 P作用线上
在某一水平面上 在r﹥0的竖直线上 z等值线-应力泡
应力泡
0.1P 0.05P 0.02P 0.01P
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
水平集中力－西罗提课题
P
o
x
α
x
r
M β z M y
z zx
R
yz
y
xy x
y
z
3Ph xz 2 z 2 R 5
R
y
x
z
2 2 2
R r z x y z
（P；x,y,z；R, α, β)
集中荷载的附加应力
§4.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年
推出了该问题的理论解，包括六个应力分量和三 个方向位移的表达式 教材P104~105页 其中，竖向应力z：
y 0 yx yz 0
地基中的应力状态（2）
§4.1 应力状态及应力应变关系
二维应力状态（平面应变状态） 应变条件 y 0
yx yz 0
y
x ij 0 1 2 xz 0 0 0
1 2
xz 0 z
矩形面积竖直三角形分布荷载
z
B 0
dP pdxdy
L
0
d z z (p t , m, n)
y
pt
z K tpt
L z K t F( B, L, z ) F( , ) F( m, n) B B
x
o
B
L
z
M
z
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的 应力分布系数：表4-6
(表4-9) (图4-32)
小
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理
土体中的应力计算
第四章：土体中的应力计算
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理 常规三轴压缩试验
§4.1 应力状态及应力应变关系
土体的自重应力
§4.2 自重应力
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
地下水
水平向自重应力： sx sy K 0sz K0 1
应力条件
x z 0 E E y x z y
x ij 0 zx
0 y 0
xz 0 z
独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; x , z
地基中的应力状态（2）
zx z +
材料力学
正应力
剪应力
顺时针为正 逆时针为负
zx
土力学
z +
x
xz
-
拉为正 压为负
-
xz
x
压为正 拉为负
逆时针为正 顺时针为负
土力学中应力符号的规定
§4.1 应力状态及应力应变关系
三维应力状态（一般应力状态）
o
y
x
z
zx
yz
xy
x
z
x ij yx zx xy y zy xz yz z
x
z
M
条形面积竖直均布荷载作用时 的应力分布系数：表4-12
条形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
条形面积其它分布荷载 P123页：表4－13 圆形面积均布荷载作用
• 圆心下的附加应力计算
z F(r / z )p K 0p
P115页：表4－9
其它荷载的附加应力
§4.3 附加应力
z
sz sx
容重： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
土体的自重应力
§4.2 自重应力
分布规律
地面
1 H1 2 H2
地下水
1H1
sz
2H2 2H3
z
2 H3
sy
sz sx z
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布
自重应力在成层地基中呈折线分布
y
x ij 1 2 xy 1 2 xz
1 2
xy y 1 2 yz
1 2 1 2
xz yz z
地基中的应力状态（1）
§4.1 应力状态及应力应变关系
三维应力状态（三轴应力状态）
x y 应变条件 xy yz zx 0
A D b
荷载与应 力间满足 线性关系
角点计算公式
பைடு நூலகம்
任意点的计算公式
A B D • 矩形内： z ( K s Ks KC K s s )p
BD CD D • 矩形外： z (K abcd K K K s s s s )p
C
A c
D
B d
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
矩形面积水平均布荷载
角点下的垂直附加应力：C氏解的应用 B ph L
z K hph
L z K h F( B, L, z ) F( , ) F( m, n) B B
z
Z
z
矩形面积作用水平均布荷载时角 点下的应力分布系数：表4-11
条形分布荷载的附加应力
§4.3 附加应力
条形面积竖直均布荷载
任意点的附加应力：F氏解的应用 p
B
z K s zp x K p
s x
x y
xz K s xz p
s s Ks , K , K z x xz
z
F( B , x , z ) x z F( , ) F( m, n ) B B
• 集中荷载作用下的附加应力 基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
叠加原理
地基中的附加应力
§4.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
P
α r y M β z M
2 2 2
o
x
x
z zx yz y xy
§4.1 应力状态及应力应变关系
侧限应力状态：指侧向应变为零的一种应力状态
• 水平地基半无限空间体 • 半无限弹性地基内的自重 应力只与Z有关 • 土质点或土单元不可能有 侧向位移侧限应变条件 • 任何竖直面都是对称面
o y
x
z
应变条件
y x 0 xy yz zx 0
0 x 0 0 0 z
c ij 0 0
地基中的应力状态（1）
§4.1 应力状态及应力应变关系
二维应力状态（平面应变状态）
z
x
zx
z
o
y z
y
yz
xy
x
zx xz x
垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 沿y方向有足够长度，L/B≧10 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
土力学中应力
符号的规定
地基中常见的
应力状态
• • • •
三维应力状态 三轴应力状态 平面应变状态 侧限应力状态
应力计算时的
基本假定
• 连续 • 弹性 • 均质各向同性
小
结
第四章：土体中的应力计算
§4.1 §4.2 §4.3 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力
• 水平地基中的 自重应力
地基中的应力状态（3）
§4.1 应力状态及应力应变关系
侧限应力状态：侧向应变为零的一种应力状态 应变条件
y x 0 xy yz zx 0
xy yz zx 0 x x y z 0 E E x y z K 0 z 1