范数及误差分析

则称 x 为向量x的范数. 对于复线性空间 Cn中的向量范数可以类似 定义
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1
在向量空间 Rn(C n )中,设x ( x1 , x2 ,, xn )T 常用的向量x的范数有
x 2 ( x1 2 x2 2 xn 2 )12
--------(1)
x的2 范数或欧氏范数
x 1 x1 x2 xn
--------(7)
称A的行范数
(3)
A 2
max( AT A)
--------(8)
称A的
( 202m1/4a/x18 AT A)为AT A的特征值的绝对值的最 大值 2 范数7
例3.
求矩阵A的各种常用范数
A
1 1 0
2 2 1
0 1 1
n
解:
A
1
max
1 jn
i1
aij
max{2,5,2} 5 1 jn
xn
p
1
)p
(n max 1in
xi p ) 1 p
1Baidu Nhomakorabea
n
p max 1in
xi
max 1in
xi
( p )
x p x ( p 时),
所以
x
也是
x
的特例
p
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且 x x2 x1
3
例1.求下列向量的各种常用范数
x (1,4,3,1)T 解: x 1 x1 x2 x4 9
x
b
相对误差
--------(13)
--------(14)
14
(14)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的
相对误差放大
倍
A
A1
若系数矩阵A存在误差A,则解也应存在误差x ( A A)( x x) b
A x Ax Ax 0
( A A)x A x
--------(15)
在上式能直接使用范数吗？
n
A
max
1in
j1
aij
max{3,4,2} 4 1in
由于
A 2 max( AT A)
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因此先求AT A的特征值
1 1 0 1 2 0 2 0 1
AT A
2 0
2 1
1 1
1 0
2 1
11
0 1
9 1
1 2
特征方程为
2
det( I AT A)
(I B)1 1 1 B
--------(10)
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§ 5.7 误差分析简介
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对于线性方程组Ax b,如果系数矩阵A或 常数项b的元素的微小变化, 就会引起方程组解的 巨大变化,则称该方程组是"病态"的, A为"病态"矩 阵.否则称为"良态"的.
设Ax b为一线性方程组, A为非奇异矩阵, x为其精确解
0 1
0
9
1
1 1
2
0
可得AT A的特征值为
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1 9.1428,2 2.9211,3 0.9361
9
max( AT A) 9.1428
A 2 max( AT A) 3.0237
1
A
F
n i 1
n
ai2j
j 1
2
3.6056
A1
A
A2
容易计算
计算较复杂
对矩阵元素的 变化比较敏感
16
x (I A1A)1 A1 A x
x A1 A
x
1
A1A
A1 A
1
A1
A
A A1 A
A
1
A
A1
A
A
--------(18)
定义8.
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设A为非奇异矩阵, 称
cond( A)v
A v
A1 v
(v 1,2或) --------(19)
x的 1 范数
--------(2)
x
max 1in
xi
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--------(3)
x的 范数或最大范数
2
x
p(
x1
p
x2
p
xn
p
1
)p
--------(4)
x的p 范数, p 1
显然
x
和
1
x2
是
x
p在p 1和p 2时的特例
并且由于
max
1in
xi
(
x1 p
x2 p
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( A A) A(I A1A)
如果假设
A1A 1
--------(16)
则由定理21,可知
I A1A非奇异
且
(I A1A)1
1
1
A1A
(15)式化为
A(I A1A)x A x
x (I A1A)1 A1A x --------(17)
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(3) (三角不等式 ) A B A B ，A, B Rnn.
(4) AB A B ，A, B Rnn.
则称 A 为矩阵A的范数.
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设n阶方阵 A (aij )nn 类似向量的 2-范数
设
A F
n
n ai2j 12
i1 j1
--------(5)
不难验证其满足定义2的4个条件
§ 5.6 向量和矩阵的范数
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x, 若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足
(1) (正定性 ) x 0,且x Rn , x 0 x 0;
(2) (齐次性) x x ，x Rn , R;
(3) (三角不等式 ) x y x y ，x, y Rn.
因此 A F 是一种矩阵范数
称为Frobenius范数,简称F-范数
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根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数
n
(1)
A 1
max 1 jn
i1
aij
A的每列绝对值之和的最大值,
n
(2)
A
max
1in
j1
aij
A的每行绝对值之和的最大值,
--------(6)
称A的列范数
若常数项b存在误差b,则解也应存在误差x
即有
A(x x) b b
--------(11)
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Ax b
x A1b
所以
x A1b A1 b
--------(12)
又因为
b Ax A x
可得
1 A
xb
(12)和(13)两式相乘,得
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x A A1 b
x 2 ( x1 2 x2 2 x4 2 )12 27 3 3
x max 1i4
xi
4
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4
定义2. 对于空间 Rnn中任意一个矩阵 A, 若存在唯一一个实数 A R与A对应，且满足
(1) (正定性 ) A 0,且A Rnn , A 0 A 0;
(2) (齐次性) A A ，A Rnn , R;
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性质较好 使用最广泛
A F
较少使用
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定义6. 显然
设A Rnn的特征值为 1 , 2 ,, n , 称
( A) max{ 1 , 2 ,, n }
--------(9)
为矩阵A的谱半径
A 2 max( AT A) ( AT A)
定理21.
若B满足 B 1,则I B非奇异,且