高中数学-综合法与分析法练习

高中数学-综合法与分析法练习

A 级 基础巩固

一、选择题

1．在△ABC 中，若sin A sin B

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形 2．命题“对任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝

(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2

θ＝cos2θ”应用了( B )

A ．分析法

B ．综合法

C ．分析法与综合法

D ．演绎法 3．(·德州高二检测)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( B )

A ．(0,2)

B ．(－2,1)

C ．(－1,2)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

[解析] 本题主要考查对不等式解法，以及对定义运算的理解，由定义得x (x －2)＋2x ＋x －2<0，即x 2＋x －2<0，∴－2

4．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4

A ．(－1,4)

B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

C ．(－4,1)

D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y

＝1， ∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4x y

≥2＋2y 4x ·4x y

＝4， 等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，

∴x ＋y 4

的最小值为4， 要使不等式m 2－3m >x ＋y 4

有解， 应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B ．

5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( D )

A ．x <

x ＋y 2

C ．x

D ．x <2xy x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38．所以有x <2xy

6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( A )

A ．A ≤

B ≤C

B ．A ≤

C ≤B C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A [解析]

a ＋

b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (

2ab a ＋b )． 二、填空题

7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是a ≠b 且a ≥0，b ≥0．

[解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0

只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．

8．已知x 1是方程x ＋2x ＝4的根，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的根，则x 1＋x 2的值是4．

[解析] ∵x ＋2x ＝4，∴2x ＝4－x ，∴x 1是y ＝2x 与y ＝4－x 交点的横坐标．

又∵x ＋log 2x ＝4，∴log 2x ＝4－x ，∴x 2是y ＝log 2x 与y ＝4－x 交点的横坐标． 又y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，

由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝4－x ，y ＝x 得x ＝2，∴x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝4． 三、解答题 9．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n >n －n －1． [证明] 要证

1n >n －n －1， 即证1>n －n n －1，只需证n n －1>n －1，

∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，

只需证n >n －1，只需证0>－1，

最后一个不等式显然成立，故原结论成立．

10．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0，

求证：a a ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m

． [证明] 要证明a

a ＋m ＋

b b ＋m ＞

c c ＋m ， 只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m ＞0即可． ∵a

a ＋m ＋

b b ＋m －

c c ＋m ＝ a b ＋m c ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋m

b ＋m a ＋m b ＋m

c ＋m ，

∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0，

∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，

∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2

＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2，

∵△ABC 中任意两边之和大于第三边，

∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0，

∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0，

∴a

a ＋m ＋

b b ＋m ＞

c c ＋m ． B 级 素养提升 一、选择题

1．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( D )

A ．ab <0且a >b

B ．ab >0且a >b

C ．ab <0且a

D ．ab >0且a >b 或ab <0且a

[解析] 3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b

a 2

b ． ∴当ab >0时，有3b <3a ，即b

当ab <0时，有3b >3a ，即b >a ．

2．在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *

，且对任意m 、n 都有：

(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论：