lingo求解多目标规划--例题教学教材

l i n g o求解多目标规

划--例题

实验二：目标规划

一、实验目的

目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。

二、目标规划的一般模型

设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国内刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一

个优先级k p 中，有不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =-+。因此目标规划模

型的一般数学表达式为：

min ∑∑=++--=+=l

j j kj j kj q k k d w d w p z 11);(

s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n

j i j ij =≥=≤∑=

.

,...2,1,0,,

,...,2,1,,

,...2,1,1l i d d n x o x l i g d d x c

i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑

三、实验设备及分组

实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。

四、实验内容及步骤

1、打开LINGO，并利用系统菜单和向导在E盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。

2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。

例2.1：

某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A，B，C三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面：（1）力求使利润不低于1500元；

（2）考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2；

（3）设备A为贵重设备，严格禁止超时使用；

（4）设备C可以适当加班，但要控制；设备B即要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备C是设备B的3倍。

此题中只有设备A是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B、C的工作时间要有所控制，列为第

三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。

该计划问题可用数学模型表示为：

目标函数 min )33()(433322

211++-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤

15003002001121=-+++-d d x x

0222

21=-+-+-d d x x 14x 1633=-++-d d

155442=-++-d d x

3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i

LINGO 程序为：

model :

sets :

!集合定义部分（从“sets:”开始，到“endsets ”结束）：定义集合变量及其元素（含义类似数组的下标）和属性（含义类似于数组）。

level/1..3/:p,z,goal;

！level 说明的是目标规划的优先级，有三个变量p ，z ，和goal 。其中p 表示优先级，goal 表示相应优先级时的最优目标值。

！“1 ..3”的意思是从1到3的所有整数。

！基本集合的定义格式为：setname[/member_ list/][:attribute_list];其中

setname 为定义的集合名，member_list 为元素列表，attribute_list 为属性列表。在“[]”中的内容，表示是可选的项，即该项可以有也可以没有。

variable/1..2/:x;

！x 为决策变量向量。

h_con_num/1..1/:b;

！在目标规划中，约束有两类。一类是对资源有严格限制的，同线性规划的处理相同，用严格的等式或者不等式约束来处理，称此约束为刚性约束（hard constraint ）。b 表示的是刚性约束的资源向量。

s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;

！另一类约束是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标，构成柔性约束（soft

constraint ）。g 表示的是柔性约束的资源向量，dplus,dminus 是偏差变量。在目标规划中，用偏差变量（deviational variables ）来表示实际值与目标值之间的差异，dplus 为超出目标的差值，称为正偏差变量，dminus 为未达到目标的差值，称为负偏差变量。 h_cons(h_con_num,variable):A;

！刚性约束的价值向量。

s_cons(s_con_num,variable):c;

！柔性约束的价值向量。

obj(level,s_con_num):wplus,wminus;

！柔性约束在不同优先级下的权重。

endsets

data:

！数据输入部分（从“data：”开始，到“enddata”结束）：作用在于对集合的属性（数组）输入必要的常数数据。

p=? ? ?;

！常数列表中的数据之间可以用“，”或者“空格”或者“回车”分开。如果想在运行时才对参数赋值，可以在数据段使用输入语句，但这仅用于对单个变量赋值，而不能用于属性变量（数值）。输入语句格式为“变量名=？；”。

goal=? ? 0;

b=12;

g=1500 0 16 15;

a=2 2;

c=200 300 2 -1 4 0 0 5;

！LINGO中的数据是按列赋值的，而不是按行赋值的。

wplus=0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 3 1;

wminus=1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 3 0;

enddata

min=@sum(level:p*z);

！目标函数（“min=”后面所接的表达式）是用求和函数“@sum(集合下标：关于集合属性的表达式)”的方式定义的。这个函数的功能是对语句中冒号“：”后面的表达式，按照“：”前面的集合指定的下标（元素）进行求和。这里“@sum”相当于求和符号“∑”。

@for(level(i):

z(i)=@sum(s_con_num(j):wplus(i,j)*dplus(j))

+@sum(s_con_num(j):wminus(i,j)*dminus(j)));

！约束是用循环函数“@for(集合（下标）：关于集合的属性的约束关系）”的方式定义的。意思是对冒号“：”前面的集合的每个元素（下标），冒号“：”后面的约束关系式都要成立。

@for(h_con_num(i):

@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));

@for(s_con_num(i):

@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))

+dminus(i)-dplus(i)=g(i);

);

@for(level(i)|i#lt#@size(level):

@bnd(0,z(i),goal(i));

！限制0〈=z（i）〈=goal（i）

);