六自由度运动平台PID控制系统仿真研究

六自由度运动平台PID控制系统仿真研究
摘要
Stewart 平台的出现始于 1965 年德国学者 Stewart 发明的具有六自由度运动能力的并联机构飞行模拟器。

目前经典的 Stewart 平台机构由上、下两个平台和六个可伸缩的支腿以及它们之间的连接铰链构成，其下平台通常为基台（Base-platform）,上平台通常为负载平台（Payload-platform）（即 Stewart 平台的工作平台）。

Stewart平台通过六个支腿的伸缩运动可以实现负载平台在工作空间范围内的六自由度运动，并具有刚度高、精度高、承载能力强、动态特性好等优点，因此近年来被广泛应用于并联机床、精密定位平台和振动隔离平台等方面。

Stewart 平台在并联机床和精密定位平台方面的应用相对成熟，已有实用化的商品供应市场。

Stewart 平台应用于六自由度振动隔离平台的研究与开发相对发展较晚，不仅开发的系统远未达到实用化水平，其理论领域的研究也多属空白，其根本原因是应用于振动隔离的 Stewart 平台的基台是运动的，随之而带来许多新的问题。

到目前为止，在 Stewart 平台的理论研究方面已取得一些研究成果，比如Mille（r1992）使用 Lagrange 动力学方程建立了 Stewart 平台的动力学模型；Dasgupta和 Mruthyunjaya（1998）使用 Newton-Euler 动力学方程推导出闭合形式的 Stewart平台的动力学模型；Codourey 和 Burdet（1997）、Wang 和 Gosselin（1998）、Tsai（2000）等人分别利用虚功原理建立了 Stewart 平台的逆动力学模型。

但是，上述关于 Stewart 平台的动力学模型都是在假设Stewart 平台的基台固定不动的情况下建立的。

本文的主要研究工作和意义如下：
1、基于 Dasgupta 提出的在基台固定情况下的 Stewart 平台的动力学模型，在Matlab/Simulink 环境下建立了 Stewart 平台闭环动力学仿真系统。

其意义在于利用该仿真系统能对一般的基台在固定情况下的Stewart 平台的动力学特性进行仿真分析。

2、分析了利用任务空间运动状态反馈方式求解 Stewart 平台的逆动力学问题，利用驱动空间运动状态反馈方式求解 Stewart 平台的正动力学问题。

其意义在于利用 Stewart 平台的闭环动力学模型实现了 Stewart 平台的正动力学和Stewart 平台的运动学正解的求解，避开了直接建立 Stewart 平台的正动力学模型和直接求解Stewart 平台的运动学正解问题的复杂性。

关键词：Stewart 平台，六自由度，基台运动，动力学模型，Newton-Euler 法
ABSTRACT
The Stewart platform, which is a 6-DOF (degrees of freedom) parallel mechanism with two bodies connected together by six extensible legs through the joints, is generalized from the flight simulator proposed by Stewart (1965). The lower platform of a general Stewart platform is referred to as the base-platform and the upper platform is known as the payload-platform, which is always referred to as the work platform. The Stewart platform can not only let its payload-platform move with 6-DOF in the workspace through the extension and contraction of the six legs, but also possesses the high stiffness, high precision, high load, and excellent dynamic characteristics. In this case, the Stewart platform is widely used to realize the mechanical machining, the precision positioning, and the vibration isolation.
In the last two decades, the mechanical machining and the precision positioning based on Stewart platform are relatively mature to the vibration isolation based on Stewart platform. Some parallel machines and precision positioning platforms based on Stewart platform have been commercially available. However, the application of Stewart platform for the vibration isolation is developed latterly and the theoretical research in this field is incomplete up to now. The essential reason is the base-platform of Stewart platform for the application of vibration isolation is kinetic. Nowadays, some dynamic formulations of Stewart platform have been established. Miller (1992) built a dynamic formulation of Stewart platform through Lagrange approach; Dasgupta and Mruthyunjaya (1998) deduced a closed-form dynamic formulation of the Stewart platform successfully through Newton-Euler approach; Codourey and Burdet (1997), Wang and Gosselin (1998), and Tsai (2000) solved the inverse dynamics for the Stewart platform through the principle of virtual work principle.
KEYWORDS: Stewart platform, Six DOF, Base-platform Motion, Dynamic modeling,Newton-Euler approach, Vibration isolation, Precision positioning
1
目录
中文摘要 (1)
英文摘要 (2)
1绪论................................................
1.1问题的提出...........................................
1.2 国内外发展的现状....................................
1.2.1 研究的方法................................................
1.2.2 研究成果的常用方法........................................
2 Stewart 平台的运动学理论 ............................
2.1引言.................................................
2.2 Stewart 平台的机构模型..............................
2.3 Stewart 平台的姿态描述..............................
2.4 Stewart 平台的运动学反解............................
2.5 Stewart 平台的运动学正解............................
2.6 Stewart 平台的运动学仿真模型........................
2.7 Stewart 平台的运动学仿真结果及其分析...................
3 Stewart 平台的动力学理论.............................
3.1 引言................................................
3.2 Newton-Euler 动力学方程.............................
3.3 Stewart 平台的 Newton-Euler 动力学模型..............
3.4 反馈控制算法........................................
3.5 Stewart 平台动力学的仿真模型........................
3.6 Stewart 平台动力学仿真结果及其分析 ................
4全文总结和展望.....................................
5英文文献及翻译...................................... 6参考文献.............................................
附
1 编程程序.................................................
2 Stewart 平台机构参数和PID仿真参数
1 绪论
1.1 问题的提出
1965 年德国学者 Stewart提出了一种具有六自由度运动能力的并联机构飞行模拟器，它由上、下两个平台和六个可伸缩的支腿通过运动副连接而成。

后来这种六支腿的并联机构被命名为 Stewart 平台，从而开辟了研究并联机构的新篇章。

Stewart 平台作为典型的并联机构，与串联机构相较具有精度高、刚度大、结构稳定、承载能力强、运动惯量小、动态特性好等优点，因此从 Stewart 平台诞生以来受到各国许多学者关注，并在理论和应用领域取得了相当丰硕的成果。

但相对串联机构而言，并联机构的发展只有短短的几十年，随着 Stewart 台在理论研究领域的深入，在新的应用领域的不断尝试，近年来又涌现了一些急需解决的新问题，比如本课题研究的 Stewart 平台的动力学问题等。

从理论的角度来看，对 Stewart 平台的研究经历了机构学、运动学、动力学和控制这样的大致过程。

在 Stewart 等人刚提出这种具有六支腿的并联机构作为飞行模拟器时，并不是今天我们研究的 Stewart 平台机构的样子，而是经过了在机构学上的一个复杂认知过程，当时参与研究与讨论的有 Stewart、Meier、Easten、Gough、Hunt 等人。

随后，许多学者也提出了众多与 Stewart 平台这种机构形式不同的具有六自由度运动能力的并联机构。

但人们一直把 Stewart 平台视为最经典的具有六自由度运动能力的并联机构之一，并开始着重研究这种并联机构带来的一些新的富有挑战性的运动学问题，比如 Stewart 平台并联机构的运动学正解问题。

进而从研究 Stewart 平台的运动学问题到动力学和控制问题是非常自然的事情。

但就目前而言，Stewart 平台在动力学领域和控制领域取得的成果并不多。

尽管很多学者使用各类经典的动力学方法尝试建立了Stewart 平台的动力学模型，至少现在还没有一个较完善且具有普遍意义的动力学模型。

从应用的角度来看，Stewart 平台从最初被作为飞行模拟器开始，已经扩展到许多新的应用领域，使原有的Stewart 平台的动力学理论不能满足新形势下的要求。

利用 Stewart 平台的刚度高和精度高的特点，首先发展起来的并联机床，已经开发出多台样机，基本达到实用化阶段。

另一个发展起来的应用领域是精密定位平台，多家公司已经推出商品化的使用Stewart 平台机构的六自由度精密定位平台。

另外，目前正在兴起的一些应用领域包括六足机器人、六维力矩传感器等。

近年来，一个全新的应用领域，空间六自由度振动隔离 Stewart 平台已经引起世界各国学者和科研机构的广泛重视，纷纷投入巨大的人力和物力开展这一领域的研究，并努力不断提高其性能。

六自由度振动隔离 Stewart 平台的研究始于 80 年代末 90 年代初。

当时美国在建立空间实验室的过程中，用到不少高精密的光学设备，本以为这些设备在外太空无重力的环境下能够得到理想的实验结果，然而由于空间站中某些微振动源的存在，如空间站上的太阳能电池板、空间天线、空间望远镜等大型柔性设备的伸缩运动，使得空间实验室的实验环境并不是很理想，因此这就诞生了研制一种具有空间六自由度振动隔离能力的实验平台的想法。

随着六自由度振动隔离平台研究的深入，军事、民用领域都发现其广阔的应用前景。

在军事工业方面，一些新武器系统要求高精度的稳定平台作为基座，特别是在实战中武器系统往往要工作于复杂的环境中，因此会导致武器平台产生复杂的多自由度振动，从而影响整
个武器系统的跟踪、瞄准和发射精度，难以满足现代武器作战系统的需要。

另外，在 MEMS 加工、海上探测、精密实验等方面随着更高精度的制造加工设备、探测仪器、实验仪器的本身精度的提高，也相应的要求对外界振动隔离性能的提高，因此传统的低自由度低精度的振动隔离器已经不能满足要求，势必要求能实现空间六自由度振动隔离的一种新型平台的出现。

1.2 国内外研究现状
1.2.1 Stewart 平台理论的研究现状
目前，比较流行的 Stewart 平台的经典机构公认由德国学者 Stewart 最早提出，并经过 Stewart 与 Gough 和 Whitehall 等人探讨之后进行改进得到的，Stewart 平台的经典机构包括上、下两个平台（通常又称为负载平台和基台）和六个可伸缩的支腿，上平台和支腿之间使用六个球铰连接，下平台和支腿使用六个虎克铰连接，因此是一种典型的 6-6 SPS（S-Spherical joint，P-Prismatic joint, S-Spherical joint）机构。

之后，很多学者也相继提出了各具代表性的六自由度并联平台。

如 1988 年 Behi 提出一种三腿 PRPS 机构（P-Prismatic joint,R-Revolute joint, S-Spherical joint）；同年，Hudgens 和 Tesar 提出一种具有六个可伸缩腿，每个腿是有四杆机构组成的机构；1993 年，Cleary 和 Brook 提出一种三腿的 UES 机构（U-Universal joint, E-Elbow joint, S-Spherical joint）。

后来，由于许多研究者在解决六自由度并联平台的运动学正解问题，为了简
化运动学方程的复杂性，又衍生出 x-y 型 Stewart 平台（x 与 y 分别代表上、下平台和支腿间的连接点个数）。

中的平台，上、下平台和支腿间都有六个球铰副联接，因此我们通常称之为 6-6 SPS 型 Stewart 平台。

在解决 Stewart 平台的动力学问题时，McInroy 等人发现具有雅克比矩阵正交的 Stewart 平台有利于解耦。

1993 年，Geng 和 Hanes首次提出了 Stewart 平台的“立方体结构（Cubic configuration）”模型，并在他们开发的六自由度振动隔离Stewart 平台样机中采用了这种机构。

之后在其他研究机构开发的六自由度振动隔离平台中也多采用了这种机构模型。

2003 年，Jafari 和 McInroy 在发表的论文中给出了正交 Stewart 平台的严格定义并进行了证明。

Stewart 平台的运动学设计有两个最基本的问题：正解和反解。

Stewart 平台的运动学反解是已知负载平台的位姿即三个线性坐标参量和三个旋转坐标参量求解平台六个支腿的长度。

如果已知六个支腿长求解负载平台的位姿，即 Stewart 平台的运动学正解问题。

对串联机构来说，求解运动学正解比较容易而求解运动学反解比较困难，而并联机构恰恰相反。

由于并联机构的运动学正解具有多解性，因此 Stewart 平台的运动学正解问题一直没有得到很好的解决。

但经过去几十年的研究，这一领域提出的方法颇多，下面就简要的归类介绍一下这些方法的优缺点：
（1）几何法
自从 Stewart 平台机构被提出以来，许多机构运动学专家和学者一直在不懈的努力寻找一种有效的运动学正解方法。

早期的一些解法基本上都停留在对特定几何结构的 Stewart 平台进行运动学正解的研究，最简单的情况是 3-3 Stewart 平台的运动学正解问题，最一般的情况是 6-6 Stewart 平台的运动学正解问题。

在 2000 年，Dasgupta 和 Mruthyunjaya发表的一篇对 Stewart 平台的研究具有总结性的文章中列出了在此之前使用这一方法的文献 30 余篇。

由于建立的Stewart 平台运动学正解方程具有在多个自由度方向上的高度耦合特性和非线
性，因此要得到一般Stewart 平台位姿的显式表达式似乎成了不可及的工作。

并考虑到运动学正解的多解性，因此使得求解 Stewart 的运动学正解极具挑战性。

（2）数值迭代法
由于几何法存在着上述困难，许多研究者自然想到利用计算机强大的数值求解能力对高度耦合的非线性方程组采用数字迭代的方法求出所有的数值解。

数字迭代法方法简单，计算精度较高，但主要问题是算法的收敛性不确定，且收敛速度强烈依赖于初值的选取。

实现 Stewart 平台的实时运动对计算机的运算速度要求比较高。

因此与几何法相结合把非线性方程组化简到三个参变量的三维空间内进行迭代法求解，这样大大提高了运算速度。

最成功的数字迭代法是由Raghavan 提出的，得到了整个复数域上的 40 个全解。

（3）代数消元法
这种方法主要是利用哈密尔顿四元数的概念来代替余弦旋转矩阵建立方程，通过代数消元法的思想化成一元高次多项式。

正是利用这种方法 Wen 和 Liang确定了 6-6 Stewart 平台正解的全解最多只有 40 个。

还有一些代表性的文献，它们也都最多只得到了 40 个全解。

代数消元法和数值迭代法虽然都能得到全解，但是利用哈密尔顿四元数建立的 Stewart 运动学正解方程的更抽象、更复杂，两种方法计算起来都比较耗时,另外在得到所有解后还要根据特定的条件选择出唯一解，对要求实时处理的 Stewart 平台并不完全适用。

与并联机构的运动学存在正解和反解相对应，并联机构的动力学也存在正、
逆动力学两类问题。

Stewart 平台的正动力学问题是指已知 Stewart 平台各主动关节
提供的广义驱动力或力矩随时间或位形的变化规律，求解任务空间的运动轨迹以及轨迹上各点的速度和加速度。

其逆动力学问题是指已知通过轨迹规划给出的任务空间的运动路径以及轨迹上各点的速度和加速度，求解驱动器提供给主动关节随时间或位形变化的广义驱动力或力矩。

与开链机构相比，Stewart 平台为空间多
环闭式运动链系统，由于系统中存在被动关节，且在运动过程中需要满足相应的运动学约束条件，因此其动力学建模比开链机构困难的多。

有效消除关节驱动力与系统运动参数之间的简洁关系式并构造出相应的高效算法，是今后研究者努力的方向。

目前，在这个方面已有一些研究成果，常用的 Stewart 平台的建模方法有Lagrange 法、Newton-Euler 法、虚功法和 Kane 法。

（1）Lagrange 法
建立动力学方程是以系统动能和势能建立的，利用矩阵形式表示动力学模型
既能用于动力学控制，又能用于系统动力学模拟，而且能清楚地表示出各构件之间的耦合特性，有利于对系统的耦合特性做深入的研究，因此 Lagrange 方程得到了广泛的应用。

但采用该方法的不足之处是建模过程复杂，消除关节处内部作用力困难，逆动力学分析时运算量较大。

从事这方面的理论研究且较具代表性的学者有 Miller、Geng和 Lebert等人。

另外，Codourey 和 Ji 等人从减少运算量的目的出发，考虑到支腿上惯性参数对系统动力学特性的影响，认为当支腿结构的惯性参数与动平台惯性参数相比较小时，在动力学分析时其惯性影响可忽略不计，以达到简化模型提高运算效率的目的；但当系统运行速度较高时，腿部的动力学效应则不容忽视。

（2）Newton-Euler 法
Newton-Euler 法是利用 Newton 定律和 Euler 方程建立动力学模型的方法。

Dasgupta 是这方面理论的代表。

按照串联机构的动力学建模思路通常认为Newton-Euler 法仅在逆动力学建模中比较方便，正动力学建模还是使用Lagrange法比较好，而 Dasgupta 却认为并联机构的动力学建模有所不同，由于 Newton-Euler法的物理意义比较清晰，对铰链之间的约束力和力矩可以事先消去以减轻计算负担，所以 Newton-Euler 法不仅适合并联机构的逆动力学问题同样也适用于并联机构的正动力学问题。

Dasgupta 等人在考虑关节摩擦和阻尼因素影响的基础上导出了 Stewart 平台闭环动力学方程。

由于在建模过程中结合系统的实际结构特征建立了适当的坐标系，并合理运用了矢量投影运算，因此得到的动力学模型具有较高的运算效率。

另外，McInroy 根据柔性 Stewart 平台自身的特点，在忽略了铰链的摩擦力和约束反力的情况下利用 Newton-Euler 法推导出较适合柔性 Stewart平台控制的动力学方程。

（3）虚功法
由于 Newton-Euler 法要考虑每个关节的约束反力，然而在对 Stewart 平台控制时不需要考虑关节力，因此这种方法就显得比较烦琐。

虚功法是利用动力学虚功原理建立 Stewart 平台的动力学方程，省去了对关节力的计算，因此有较高的运算效率。

Wang 和 Gosselin，Codourey 和 Burdet，Tsai等人分别利用虚功原理建立了 Stewart 平台逆动力学模型。

（4）Kane 法
Kane 法是利用动力学 Kane 方程建立 Stewart 平台动力学模型的方法。

Kane 法的好处是建立的动力学方程中不出现理想约束反力、不使用动力学函数，只需要进行矢量点积、叉乘运算而不需要求导，因而计算效率较高，便于计算机实现。

但另一方面 Kane 法建立并联机器人的动力学方程，在解除约束后将这种多闭环的复杂结构分解成树状结构也是相当复杂的，建立该结构的整体动力学方程仍为不易。

除此之外，还有旋量代数法、影响系数法、自然正交补空间方法
等，这里就不一一介绍了。

2 Stewart 平台的运动学理论
2.1 引言
机构的运动学理论旨在揭示机构运动的本质，是研究机构动力学、控制等其
它问题的理论基础。

运动学问题主要是研究机构的位置、位移、速度、加速度和时间的关系。

在并联机构中，运动学建模研究的最基本的两个内容就是并联机构的运动学正解和反解。

与串联机构相比，并联机构的运动学正解较运动学反解问题复杂。

Stewart 平台的运动学理论问题也集中在正解和反解两个问题上，尤其是正解问题。

Stewart 平台从诞生以来，提出了许多机构模型，本章将从该课题研究的 6-UPS型 Stewart 平台开始介绍，同时补充了两种经典的机构模型：立方体结构和正交结构的 Stewart 平台。

Stewart 平台运动学和动力学建模首先要建立描述 Stewart 平台位置关系的坐标系，以及建立在此坐标系上的旋转矩阵，由此可以进一步导出具有重要理论意义的雅克比矩阵。

本章基于 6-UPS 型Stewart 平台和建立的相应坐标系，将对 Stewart 平台的运动学反解过程做详细的介绍。

2.2 Stewart 平台的机构模型
2.2.1 6-UPS 型 Stewart 平台
Stewart 平台一般是由上、下两个平台（负载平台（Payload-platform）和基台
（Base-platform））由铰副连接六个移动副构成。

根据使用相应的铰副，常见的Stewart 平台可以分为 SPS 型和 UPS 型两种。

SPS 型 Stewart 平台是指基台和支腿间、负载平台和支腿间都是由球铰（Spherical joint）连接，上、下支腿间通过柱铰（Prismatic joint）连接构成。

而 UPS 型 Stewart 平台与 SPS 型 Stewart 平台的区别在于基台和支腿间是由万向铰（Universal joint）连接。

根据上、下平台和支腿间的连接点数的不同，Stewart 平台分为 x-y 型平台（x 代表负载平台和支腿的连接点数，y 代表基台和支腿的连接点数）。

常见的有 3-3 Stewart 平台、3-6 Stewart 平台和 6-6 Stewart 平台。

6-UPS 型 Stewart 平台是指上、下平台和支腿间有六个连接点，并采用球铰、柱铰、虎克铰的连接方式。

该机构模型作为经典的 Stewart 平台之一，具有广泛的应用，6-SPS 型 Stewart 平台是另一应用比较广泛的机构模型。

但在使用Newton-Euler 法建立动力学模型中，6-UPS 型 Stewart 平台更具有优势，因为6-SPS型 Stewart 需要考虑基台和支腿连接的球铰的方向问题，从而使模型复杂化。

2.2.2 正交结构的 Stewart 平台
正交结构的 Stewart 平台的提出促进了 Stewart 平台在精密定位和精密振动隔离应用领域的实物化水平。

同时也对立方体结构的Stewart 平台有了更深刻的认识。

Jafari 和 McInroy从理论的角度分析了正交结构（Orthogonal configuration）的Stewart 平台并给出了严格定义。

从这个角度上来说，立方体结构的 Stewart 平台并不具有严格意义上的正交性。

3 Stewart 平台的动力学理论
3.1 引言
Stewart 平台是德国人 Stewart提出的一种六自由度并联机构，由于它较串联机构具有高刚度、高精度、负载能力强以及高灵敏度等优点，得到学术领域和应用领域的广泛关注。

就学术领域而言，Stewart 平台的研究方向主要集中在运动学和动力学两大领域。

在过去几十年中，关于 Stewart 平台的理论研究在运动学领取得的理论成果颇丰。

由于并联机构的多体动力学问题的复杂性，关于Stewart 平台的理论研究在动力学领域的研究文献相对较少。

在 2000 年Dasgupta 发表的综述性文章中列出的 1998 年之前的关于 Stewart平台的在动力学领域的研究文献不到 10 篇。

早期在这方面研究的有 Fichter和Merlet 等人，之后 Do 和 Yang首先利用 Newton-Euler 方法在忽略连接铰摩擦以及支腿上的旋转惯量的情况下推导出 Stewart 平台的逆动力学方程；Liu 等人
利用简化的模型首先建立了 Stewart 平台的 Lagrangian 方程；Ji专门研究了Stewart 平台支腿的惯量效果；Wang 和Gosselin利用虚功原理建立了Stewart 平台的反向动力学方程；Dasgupta 和Mruthyunjaya使用Newton-Euler 方程在考虑支腿和平台上所有约束力和外力或外力矩的影响下建立了 Stewart平台最具一般性的闭环动力学方程。

本章从闭环动力学的角度推导了Stewart 平台的动力学方程，并使用Matlab/Simulink 建立了 Stewart 平台的动力学仿真系统。

采用两种不同的比例微分（PID）控制反馈方式，通过循环运算的方法解决了 Stewart 平台的正逆动力学求解问题。

给出了多种情况的仿真结果，并作了详细的分析。

3.5 Stewart 平台的仿真模型
使用 Simulink6.0 仿真环境，根据本章的 6-UPS Stewart 平台的动力学建模过程模，按照并行设计的思想设计了 Stewart 平台的动力学仿真系统，如图 3.2 所示。

该仿真系统主要包括支腿动力学模块（Parallel Six Legs Dyn）、负载平台动力学模块（Platform Dyn）和 PD 控制器模块（PD Controller）三个模块，并由四个积分器和一些数学运算符构成的闭合的动态系统系统。

支腿动力学模块（如图 3.3 所示）中六个支腿的动力学求解是同时独立运行的，而支腿和负载平台的运算模块也是同时独立运行的，各模块输出的参数再由式(0.49)中的Stewart 平台动力学方程解出平台在任务空间中的线性加速度和角加速度，并分别通过一次积分和二次积分得到线速度和角速度矢量，线位移和角度矢量。

把数值积分得到的以上四个矢量反馈给 PD 控制器模块（如图 3.4 所示）。

循环运行就得到了整个时间轴上的任务空间状态，同时根据本章建立的动力学方程中间过程中可以得到一系列有用的中间变量，驱动空间各支腿的运动状态、驱动力以及各连接点处的约束力和力矩等。