高等数学部分学习练习题标准答案摘录.doc

次序

不定积分基本积分公式

不定积分第一换元法( 凑微分法 )

不定积分第二换元法

不定积分的倒数换元法

不定积分分部积分法

不定积分有理函数积分法

不定积分三角有理式的特殊情形

定积分的定义

定积分变上限积分

定积分的性质

定积分的换元法

定积分的分部积分法

利用对称性求定积分

定积分的应用

向量代数

其他类型习题

简称

上册：《高等数学》上册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编下册：

《高等数学》下册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编讲义：《高等

数学习题课讲义》（第三版）上册薛运华赵志勇编著

提示

在文档中可以用 Ctrl+F 搜索关键字，例如“利用对称性求定积分” ，“ 231 页 B1”等，这样能更快地查找。

不定积分基本积分公式

不定积分第一换元法( 凑微分法 )

1. 如果被积函数中明显含有复合函数，就能顺藤摸瓜，找到中间变量，

也就是找到凑微分的对象。只要在被积函数中再找出，就可以凑微分了（允许差一

个常倍数）。

2. 如果复合函数不明显，但被积函数中有一个因子适合看成，也可以先凑微分，

再看剩余部分能否理解成的函数.

3. 有些题则需要主动进行恒等变形，将被积函数中分解成与的乘积。讲义 112 页 1

4.2(9)

006

解题思路如下

008

分子分母同时乘以x， xdx 凑微分

也可以直接令t=

如果把 x 换成 tant 呢？估计也行。011

012 上册 200 页 A1(62) 013

022

先通分，然后注意到

是的导数，是f的导数

于是可以通过商的导数公式凑出来不定积分第二换元法

以去掉根号，简化运算为最终目的，其他的都是手段总结规律是为了提高尝试的成功率

熟练掌握后，什么招好使就使什么招，规律也有例外003

028 上册 198 页 A1(16)

上面的解答有点小问题

还可以这样

因为不定积分是在某个区间内求原函数，两种区间只能取其中一个（也可以是子区间），所以也可以不讨论。

假设换个题，被积函数处处有定义，就得注意讨论了。

但是中， x<-1 时，这两个 C 不相等，前一个叫C1 比较好。

如果是用表示原函数，则必须分类讨论了。

因为有 x 的奇数次方，

这样更省事。

032

035 讲义习题15.2(7)

还要把 t 换回 x 041

令 t=

，可以算，但很麻烦所以选取以下做法

不定积分的倒数换元法

024 上册 200 页 (63)

忘了 +C

不定积分分部积分法

图里写得不太正式，第一行的意思是，首选对数函数、反三角函数作u(x) ，剩下的凑成dv 如果没有，再选多项式函数作u(x)

解方程的例子：

抽象函数的例子：抵消的例子：

048 上册 201 页 A2 002 上册 198 页 (21)

解法二004

解法二

上面的解法忘记+C 007

分部积分时，首选对数函数、反三角函数作u(x)

这题两个都出现了，任选一个作u(x) ，先干掉一个，剩下那个就好办了

上面的方法选择对数函数作u(x) ，下面的方法选择反三角函数作u(x) ，都是可以的（跳步的地方请读者自行脑补）

实际上，也可以选择对数函数和反三角函数的乘积作u(x) ，解法如下

009 上册 199 页 (39)

39题答案是错的，正确计算会比较麻烦，可以跳过此题。

这个函数在x=1 不可导，

所以在点 x=1 不能用分部积分法 , 需要先求其他处的原函数，然后利用原函数连续性求出 x=1 处的值。详细解答如下：

010 上册 199 页 (40)

不定积分有理函数积分法

部分分式就这四种

只要分母中有二次不可约因式，分子就是一次多项式

否则分子是常数

有理真分式如何拆成部分分式

1、先把分母f(x) 因式分解，分解成一次因式、二次不可约因式的乘积

2、凡是分母能够整除f(x) 的部分分式都要在右式出现，不能整除的不出现

3、右式通分，对比两边的分子

4、可以对比多项式各项系数，也可以代入x 的特殊取值，求出部分分式的分子中那些待定系数

018 上册 199 页 (42)

不定积分三角有理式的特殊情形

可以推广到整数本题是 m=-1 ， n=0 的情形

定积分的定义

015 上册 220 页 B4(2)

其中

这是普通的定积分，c>0 最后再求极限

逼近

030 上册 219 页 A10

033 上册 211 页 B1

定积分变上限积分（参见习题课讲义134-136 页）

注： f 连续，且被积函数不含参变量x，才能用以上公式。求导：

换元，令u=x-t ，再求导即可

019 上册 219 页 A1(4) 求导

026 上册 211 页 A8

定积分的性质

005

016 上册 220 页 B5 ,B6

6 题见习题课讲义129 页例 16.8 5 题方法与 6 类似

036