计量资料的统计描述

平均数应用的注意事项
计算几何均数时： – 变量值中不能有0
– 同一组变量值不能同时存在正、负值
– 若变量值全为负值，可先将负号除去，算出结果后 再冠以负号
样本含量较少时不宜计算靠近两端的百分位数
平均数要与变异指标结合使用
27
第三节 描述离散趋势的指标
看一个例子： 有甲、乙两组同性别同年龄儿童体重(kg)：
频 数 (2) 1 2 10 22 37 26 15 4 2 1 120
累计频数 (3) 1 3 13 35 72 98 113 117 119 120
累计频率 (4) 0.83 2.50 10.83 29.17 60.00 81.67 94.17 97.50 99.17 100.00
21
附注：百分位数（percentile）
便于进一步的统计分析
10
计量资料频数分布的类型和特征
正态分布：各组段的频数以中间组段为中心，左右两侧基本对称 分布类型 偏态分布：各组段的频数不以中间组段为中心，而是一侧偏多或偏少
集中趋势：指频数表中频数分布表现为频数向某一位置集中的趋势 分布特征 离散趋势：指频数虽然向某一位置集中，但频数分布表现为各组段都 有频数分布，而不是所有频数分布在集中位置的趋势。
统计描述 计量资料 统计推断 统计描述
计数资料
统计推断
统计描述
等级资料 统计推断
1
第二章
计量资料的统计描述
统计描述（statistical description）
是指采用统计图、统计表、统计指标等形式来对资料 的数量特征和分布规律作出测定和描述的一种方法。
统计描述是统计分析的最基本内容 统计描述的三种形式：
10例正常人的发汞值：
1.1, 1.8 3.5 4.2 4.8 5.6 5.9 7.1 10.5 16.3
19
频数表法：适用于样本量较大的计量资料，如频数表
资料。
其中 LM：M所在组下限
i：M所在组组距 fM：M所在组频数
n：样本例数
ΣfL：M所在组段之前的累计频数
20
组 段 (1) 124～ 128～ 132～ 136～ 140～ 144～ 148～ 152～ 156～ 160～ 合 计
第一组段包括极小值，最后 一组段包括极大值，除最后 一组段可同时标出上下限， 一般 8－ 15 之间 求出极差 确定组段数 确定组距 其他组段只标出下限。
列出各个组段
确定每 一组段 频数 选 根据变量值大小 把各观察单位归 入各个组段
极差即最大值 与最小值之差
组距=R/组段数， 但一般取一方便 计算的数字
第二节
描述集中趋势的指标
集中趋势常用平均数（average）来描述。
是一组数据典型或有代表性的值。
趋向于落在根据数据大小排列的数据的中心，因此可以用 于度量集中位置（位置指标） 算术均数 几何均数
中位数
12
第二节
简称均数
描述集中趋势的指标
算数均数（mean） 适用条件：对称分布，尤其是正态分布或近似正态分布 表示：总体均数用μ 表示；样本均数用 意义：描述一组同质资料的平均水平。 计算方法： 直接法 表示
测量结果的均 值都是 a

a


甲仪器测量结果

a
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪 台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
30
描述离散趋势的统计指标
极差 四分位间距 方差 标准差 变异系数
31
1、极差 range
异的大小。
37
实用计算公式：
2 ( X ) 2 X n S n 1
频数表资料：
2 ( fX ) 2 fX f
S
f 1
100 名受试者平均抗体滴度计算表
中位数（median）
概念：中位数是将一组观察值按大小顺序排列后， 位次居中的观察值。 适用条件： 明显的偏态资料
分布类型不明的资料
一端或两端无界的资料 表示：M 计算方法
18
直接法：适用于样本量较小的计量资料。
9例正常人的发汞值（mol/kg ）： 1.1, 1.8 3.5 4.2 4.8 5.6 5.9 7.1 10.5
注明：1）尽量取较整齐的数值最为组段的端点。
2）组距以相等为宜。
6
2.30～ 2.60
4.确定组段的上下限
原则：
（1）第一组包含最小的观察值，最后一组包含最大的
观察值。 （2）组和组之间不能互相包含。 （3）x表示数据，则 下限 x 上限
5.归组计数，做频数分布表。
7
编制频数表步骤流程图
16
例 100 名受试者接种某疫苗三周后，抗体测定结果如下表第(1)栏 和第(2)栏，求平均抗体滴度。
抗体滴 度 (1) 1:4 1:8 1:16 1:32 1:64 1:128 1:256 1:512 合计
表
频数 f (2) 6 10 16 34 20 8 5 1 100
滴度倒 数X (3) 4 8 16 32 64 128 256 512 ---
161.5 162.6 158.3 165.1 170.5 166.8 165.8 164.5 167.5 162.8
3
组段 （1）
154~
频数（2）
2
频率（%）（3）
2.00
累计频数（4）
2
累计频率（%）（5）
2.00
156~
158~ 160~ 162~ 164~ 166~ 168~ 170~ 172~ 合计
符号：R 计算：R＝最大值－最小值
R反映的是观察值变异的范围大小。
适用条件：任何资料
缺点：易受特大、特小值影响，不稳定；除最 大、最小值，不能反映其他数据的变异度；样 本量越大极差就会越大。
优点：简单明了
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2、四分位数间距
quantile range
符号： Q（中间一半观察值的极差）
计算 ：Q=P75-P25
i i i 1 k 1 1 2 2 2 k k i 1 k i 1
k
几何均数（ geometric mean ）
适用条件： 等比或等积资料 对数正态分布资料 表示：G
计算方法：
直接法 加权法
15
几何均数(geometric mean)
计算方法 1.直接法：适用于样本量较小的计量资料。
2.间接法：加权法，适用于样本量较大的计量资料，如频数 表资料。
符号：
性质：一种位置指标。
意义：一个百分位数 将全部变量值分为两部分,使得全
部变量值中有 X %的变量值比它小，1- X % 变量值比它大。
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(100 X )%
PX
百分位数示意图
23
iX PX LX ( nX % f L ) fX
Lx Px所在组段的下限
ix Px所在组段的组距
2 （ x ）
N
S
2 （ x x ）
n 1
意义：标准差越大，观察值的变异就越大，
数据越分散，均数的代表性越差；反之，
资料越集中，均数的代表性越好。
适用条件：对称分布、正态分布资料
36
标准差的基本内容是 “离均差”，它显示
一组变量值与其均数的间距，故标准差
直接地、总结地、平均地描述了数据变
lgX (4) 0.6021 0.9031 1.2041 1.5051 1.8062 2.1072 2.4082 2.7093 ---
f·lgX (5)=(2)·(4) 3.6126 9.0310 19.2656 51.1734 36.1240 16.8576 12.0410 2.7093 150.8145
4
10 16 20 19 15 9 4 1 100
4.00
10.00 16.00 20.00 19.00 15.00 9.00 4.00 1.00 100.00
6
16 32 52 71 86 95 99 100
6.00
16.00 32.00 52.00 71.00 86.00 95.00 99.00 100.00
统计表
统计图 统计指标
2
举例说明计量资料频数表的编制过程
例2-2、某市2005年100名18岁女孩身高（cm）资料如下：
165.1 169.6 163.0 166.5 160.9 156.6 169.3 165.9 162.0 165.3 165.1 164.0 159.9 171.2 169.1 168.0 160.6 157.1 162.5 165.8 161.5 166.3 168.5 167.1 161.0 159.0 167.3 157.2 163.7 163.1 166.1 167.5 166.0 158.5 161.2 167.5 158.2 154.7 155.6 168.2 162.8 163.6 164.2 161.8 160.7 173.6 159.8 158.0 159.4 158.2 166.2 166.1 156.8 166.6 161.5 162.0 160.6 164.3 161.9 167.2 170.2 160.4 163.0 163.5 162.9 167.4 162.2 162.7 169.7 159.9 165.2 169.0 162.3 164.6 163.4 170.6 162.8 163.1 164.0 161.2 161.0 161.3 165.0 160.4 168.9 165.0 164.2 165.2 162.6 164.5
甲组
乙组 丙组
26，28，30，32，34
24，27，30，33，36 26，29，30，31，34
=30 kg X甲
n甲=5
X 乙=30 kg n乙=5
X 丙=30 kg n乙=5
28
29
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器 各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：

下四分位数： QL P 25
上四分位数： QU P 75
Q越大说明数据间的变异越大。
适用条件：可用于任何资料，主要用于偏态资料
特点：比极差要稳定
33
3. 方差
variance
考虑了每个观察值的离散程度
符号： σ2 ——总体方差
S2
计算 ：

——样本方差
2
（x ）
2
N
S2
2 （ x x ）
4
编制步骤如下：
1. 求极差（R）
也称为全距，是资料中最大值和最小值之差。 本例: R=173.6-154.7=18.9(cm)
。
2．确定组数
原则：即简化资料又不影响反映资料的规律性， 一般8-15组。 本例：选择10组
5
3.确定组距
组距为每组的上限与下限之差。
实际中 组距=R/(预计的组数)
本例：组距=18.9/10=1.89 调整为2
计量资料频数分布图
100名18岁女孩身高的频数分布图 25 20
频数
15 10 5 0 155 157 159 161 163 165 167 169 171 身高（cm） 173
9Байду номын сангаас
频数分布表的用途：
揭示数值变量频数分布的类型和特征
分布的类型
分布特征
作为大样本数据的陈述形式
便于发现一些特大或特小的可疑值
n 1
方差越大，观察值的变异就越大。 适用条件：对称分布、正态分布 特点：它反映的是所有观察值的变异情况
34
几个符号
• 离均差 • 离均差平方和SS • 自由度： • 方差S2= SS/
35
4.标准差 standard deviation
符号： σ —总体标准差
S —样本标准差
计算：

25
平均数应用的注意事项
同质的资料计算平均数才有意义 根据资料分布的特征选用适当的平均数
– 均数：单峰对称分布的资料
– 几何均数：等比资料、滴度资料、正偏态资料
– 中位数：理论上可用于任何分布资料，但当资料适合
计算均数或几何均数时，不宜用中位数。 （偏态分布、分布不明资料、有 不确定值的资料）
26
间接法（频数表法）
13
1、算术均数( arithmetic mean)
(1) 直接法
n
x x X
i1 i
1
n
x2 xn n
(2)
加权法
又称频数表法，适用于频数表资料。 当观察例数较时用。
f x f x f x f x X f f f f
fx Px所在组段的频数
f
L
该组段之前的累计频数
n 总例数
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百分位数例
利用上表，求P50，P25，P75
P50 140 4 120 50% 35 142 .94(cm ) 37
4 P25 136 120 25% 13 139 .09(cm ) 22 P75 144 4 120 70% 72 146 .78(cm ) 26