几何图形中的分类讨论概论

(3)以点O为直角顶点，显然不存在符合条件的点P.
Hale Waihona Puke Baidu
变式2：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐 标为（2,1），若点B的坐标为（4,0），点P为坐标平面
上的一点，则当以点O、A、B 、P为顶点的四边形是平
行四边形时，求点P的坐标.
y
P1 (6,1), P2 (2,1), P3 (2, 1)
2
点A的坐标为（1，1）。则在x轴上是否存在点P，使 △AOP为等腰三角形？若存在，写出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由。
①以点A为顶角的顶点；
②以点O为顶角的顶点；
P1
P3
P2
③以点P为顶角的顶点。
P1(2,0), P2 ( 2,0), P3 ( 2,0), P4 (1,0)
A的坐标为（2，1）.则在x轴上是否存在点P，使△AOP为 等腰三角形？若存在，写出所有符合条件的P点坐标；若 不存在，请说明理由.
y
2
1
A
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1
-2
①以点A为顶角顶点
y
P5(0,2)
2 P5 1
-2 -1 O 1 -1
A 23
P1(4, 0)
P1 4x
与矩形EDBF的公共部分面积为y(cm2).
（1）当AP=3cm时，求y的值.
（2）设AP=xcm，试用含x的
代数式表示ycm2.
（3）当y=2cm2时，试确定点P
的位置.
A
C
QE M
F
P DN
B
C
C
E
F
QM
A P ND
B
x的取值范围是：0
x
8 3
C
Q
M
E
F
QE M
F
A
P DN
B
x的取值范围是：83 ≤ x 4
y
2
1
A
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1
-2
(1)以点P为直角顶点
y
3 2
P1 1
-2 -1 O -1 -2
A
P2
1 2 3 4x
P1(0,1) P2(2,0)
(2)以点A为直角顶点
y
5 P4
4
3
2 1
-2 -1 O -1
A
P3
1 2 3 4x
-2
5 P3 ( 2 , 0), P4(0, 5)
B
AD 1 AB 4,即PD 1
2
y MN • DN 3 1 3 (cm2 )
22 4
PQMN为正方形，DN PN PD 1 2
变式:如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐 标为（2，1）。则在坐x标轴轴上上是是否否存存在在点点P，P,使△AOP为等腰 三角形？若存在，写出所有符合条件的P点坐标；若不存在， 请说明理由。
C
Q
M
E
F
DP
Q E
NB
C M
F
D
P
BN
解：（3）
把y 2代入y 3 x2 2x(8 x 4)时，得x＝4 2 10
4
3
3
即点P距A点 4 2 10 cm(x 4 2 10 0，不合题意，舍去)
3
3
把y 2代入y x(4 x 16)时，x＝2 4，不合题意，舍去
3
把y 2代入y －2x 16(16 x 8)时，得x＝7 3
即点P距A点7cm
当y
2cm2时，点P距A点
4+2 3
10
cm或7cm
分类讨论的方法步骤：
观察运动过程 确定分类标准 画出分类图形 分类进行求解 检验得出结论
解:(1) PQ // BC
PQ AP
BC AB
C
BC 4, AB 8, AP 3
PQ 3
QE M
F
2
D是AB的中点
A
P DN
QM
3
②当 8 x 4时 ，
A P ND
B
C
3
y DN MN
( 3 x 4) x 3 x2 2x
2
24
A
QE M
F
P DN
B
③当4 x 16 时， 3
y NP BF 1 x 2 x
2
A
④ 当16 x 8时, 3
y BP BF (8 x) 2 2x 16 A
A
解： 因为AB≠BC ，所以有以下两种情况：
①以点A为等腰△ABC的顶角顶点，则
B
D
C
由问题1可知：
cos B
2
3
C
②以点C为等腰△ABC顶角的顶点，则
同理可得： 3
B
E
A
cos B 2 3 48
所以，所求等腰三角形底角的余弦值
为 2或3 . 38
问题2：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点
几 何 图 形 中 的 分 类 讨 论
问题1：在等腰△ABC中，AB= AC=3，BC=4, 求∠B的余弦值.
解：过点A作AD⊥BC于D，
A
∵AB=AC=3，BC=4，∴BD=DC=2.
在Rt△ABD中，
B
D
C
cos B BD 2 AB 3
变式：在等腰△ABC中，AB= 3，BC=4,
求∠B的余弦值.
C
Q
M
E
F
A
DP
NB A
D
P
BN
x的取值范围是：4 ≤ x 16
3
x的取值范围是：136 ≤ x ≤ 8
解：（2）
PA x, AN 3 x 2
AD 4,当AN 3 x 4即x 8 时 ，
2
3
C
正 方 形PQMN的 边MN与ED重 合.于 是
①当0 x 8 时 ，y 0.
E
F
①以点A为顶角的顶点： ③以点P为顶角的顶点：
y
y
P2
P8
P1 x
②以点O为顶角的顶点：
y
P7
x
P5
P1 (4,0), P2 (0,2)
P3( 5,0),P4( 5,0),P5(0, 5),P6(0, 5)
5
5
P4
P3
x
P7 ( 4 ,0), P8 (0, 2)
P6
问题2：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，
P2
1
A
P1 B
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6
x
-1
P3
-2
以AB为对角线
以OA为对角线
以OB为对角线
问题3：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，
AB=8cm，D、E、F分别为AB,AC,BC边上的中点，若
P为AB边上的一个动点，PQ∥BC交AC于点Q，以PQ
为一边，在A的右侧作正方形PQMN，记正方形PQMN
5 OD OP4 即 2 OP4
OC OA 2 5
55
OP4
4
P4 ( 4
, 0)
问变题式12:：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A
的坐标为（2，1）.则在坐x标轴轴上上是是否否存存在在点点P，P, 使△AOP为 等直腰角三角形？? 若存在，写出所有符合条件的P点坐标；若 不存在，请说明理由.
③以点P为顶角顶点
y
5 P8(0, 2 )
2
P8
5 P4 ( 4 ,0)
1 DA
C
-1 O -1
1P4 2 x
②以点O为顶角顶点
y
3 P7
P6(0, 5 )
2 1
A P7 (0, 5 )
P3
P2
-3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-1
-2
P2 ( 5, 0)
P6
P3 ( 5, 0)
ODP4∽OCA