4自由度混联机器人静刚度分析

可表示为
r = bi + qi wi + ci i = 1, 2
(1)
r = rw
(2)
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wi = (cosθi sinθi )T w = (cosθ sinθ )T
ci = −a sgn(i)Qw + ew r = ρ + e bi = b sgn(i)e2 式中， bi 和 ci 分别为 OBi 和 Ai P 的位置矢量在坐标 系 Oyz 中的度量，qi 、wi 和θi 分别表示 RPR 支链 i 的杆长、单位矢量及其相对于 z 轴的转角， ρ 、 w
wi
=
r
− bi − ci qi
θi
=
arctan
wiy wix
i = 1, 2
(4)
3 几何变形分析
为了构造 RP 支链末端变形与各支链变形间的 映射关系，对式(1)两端取一阶摄动，得
Δp = Δqi wi + qiΔαiQwi + Δα Qci i = 1, 2 (5)
式中，Δp 和 Δα 分别表示由各支链弹性引起的 RP 支
链末端线变形和角变形；Δαi 和 Δqi (i = 1, 2) 分别表示 RPR 支链 i 的角变形及沿轴线的线变形。又对式(2)
两端取一阶摄动，得
Δp0 = Δr w + rΔα 0Qw
(6)
和θ 分别表示 RP 支链的杆长、单位矢量及其相对
于 z 轴的转角。
{ sgn(i) =
1 −1
i =1 i=2
e2 = (0 1)T
Q
=
⎛ ⎜
0
−1⎞ ⎟
⎝1 0 ⎠
对式(2)两端取模，可得
r = r w = r θ = arctan wy
(3)
r
wx
由式(1)则可得
qi = r − bi − ci
Abstract：A semi-analytical approach for the stiffness modeling of a novel hybrid robot named Bicept is presented. The robot is
composed of a 2-DOF planar parallel mechanism with two unconstrained active limbs and a properly constrained passive limb, plus a 2-DOF rotating head attached to the platform. The Bicept is a simplified 2D version of the well known Tricept robot, featuring low manufacturing cost and large workspace. The robot can be employed as a module to configure a robotic cell for automatic drilling or riveting in aircraft large structural components assembly by adding a translational motion along a long reference track. On the basis of the inverse position and deformation analyses, the stiffness modeling of the 2-DOF planar parallel mechanism within the Bicept is formulated by using the overall Jacobian and taking into account the compliances of all limb components and joints. Particular interest is placed upon the precise formulation of the bending stiffness matrix of the properly constrained passive limb. The stiffness distributions throughout the entire task workplace are evaluated and the modeling validity is verified by a commercial ANSYS software at two specific configurations.
摘要：研究一种新型混联机器人模块-Bicept 的半解析刚度建模方法。该模块由一含恰约束支链的 2 自由度平面并联机构和 一与动平台末端串接的 2 自由度转头构成，是 Tricept 机器人的一种二维形式，具有制造成本低，工作空间大的特点，配以长 行程导轨，可用于飞机壁板数字化自动制孔等场合。在完成 2 自由度并联机构位置逆解分析和变形分析基础之上，基于全变 形雅可比矩阵建立该机构的静刚度半解析模型。建模中考虑了所有支链构件及铰链的弹性贡献，并侧重研究其恰约束支链弯 曲刚度的精确建模问题。通过算例获得 Bicept 机器人面内静刚度在工作空间中的分布规律，并通过 ANSYS 有限元分析软件 验证了计算结果的正确性。 关键词：刚度分析 并联机器人 中图分类号：TG156
为了获得结构紧凑、刚度质量比高的机器人机 构，将主动 RPR 支链截面设计成内含筋板的中空细 长矩形，以有效提高垂直于运动平面的侧向弯曲和 扭转刚度；又将恰约束 RP 支链的截面设计成内部 嵌入筋板的中空正方形，以提高其弯曲和扭转刚度。
建立图 3 所示的固定坐标系 Oyz ，在此 O 为 RP
支链回转副中心， Bi (i = 1, 2) 为 RPR 主动支链与机
刚度是满足机器人作业单元的重要性能指标。 然而，注意到机器人的刚度随其位形变化，因此需 在概念设计阶段快速预估出末端刚度在工作空间内 的变化规律，以便为机械结构的详细设计提供必要 的理论依据。近年来，国内外许多学者在并联机器 人机构刚度建模方法方面做了大量工作，主要方法 包括有限元法[8-10]和解析法[11-20]。有限元法虽计算 精度高，但因需针对不同位形重新划分网格，故计 算效率低。在解析法建模方面，GOLDSMITH 等[13-14] 研究了 3-UPU 和 3-PRPaR 等含欠约束主动支链的 并联机构的刚度建模问题，但所建模型仅考虑了支 链 在 驱 动 方 向 上 变 形 对 其 末 端 刚 度 的 影 响 。 LI 等[15-16]以 3-PUU 和 3-RPS 并联机构为例，考虑了约 束刚度的贡献进而使得模型更具完备性。 GOSSELIN 等[17-18]采用虚铰链法研究了含恰约束从
Key words：Stiffness analysis Parallel manipulators
0 前言
采用数字化自动钻铆装备实现飞机大型构件装 配和联接是提高装配效率和质量的有效途径，也是 航 空 制 造 业 的 重 要 发 展 趋 势 [1] 。 目 前 已 有 的 自 动 化钻铆装备多采用“C”型布局，如空客 A320 和 A400M 的机身装配系统及波音 B737 和 B787 的机
架连接的回转副中心点。又建立动平台连体坐标系 O′vw ，在此 O′ 为动平台中心， Ai (i = 1, 2) 为 RPR 主
动支链与动平台连接的回转副中心，v 与 A2 A1 重合，
w 与 A1 A2 垂直。在回转副 Bi 建立连体坐标系 Bivi wi ， 其中 wi 由 Bi 指向 Ai 。如图 3 所示， a 、 b 和 e 分别 表示动静平台半径及点 P 距动平台中心的距离。
∗ 国家高技术研究发展计划重点(863 计划，2007AA042001)和国家自然
科学基金(51075295)资助项目。20110105 收到初稿，20110603 收到 修改稿
身环铆系统等。这种结构布局体积庞大、成本高且 缺乏柔性。为了减低制造成本及提高柔性，近年来 飞机制造商开始采用串联机器人自动制孔作业单 元，如空客采用 KUKA 机器人建造出飞机水平侧翼 上下壁板自动制孔单元[2]。然而，由于这类机器人 的刚度和精度较低，故多适于壁板制孔等对精度要 求不高的场合。混联机器人因在不同程度上继承了 串联机器人/机床在柔性、工作空间、速度、刚度和 精度等方面的优点，因此越来越受到飞机制造商的 关注，且已用于实际生产中，如 Tricept 机器人已用 于空客 A340/500-600 复材平尾自动装配[3]，Z3 头已
2 位置逆解分析
位置逆解分析涉及已知机构尺度参数和动平台
月 2011 年 8 月
汪满新等：4 自由度混联机器人静刚度分析
11
图 3 Bicept 机器人结构简图
参考点的位置矢量，反求此时各支链的杆长和姿态，
其目的是为了确定后续刚度分析中机构各构件位姿
参数。 参见图 3，在坐标系 Oyz 下，点 P 的位置矢量 r
10
机械工程学报
第 47 卷第 15 期期
用于空客 A350 宽体客机机翼高速加工[4]，Exechon 机器人也将目标瞄准航空制造领域。受 Tricept 机器 人启发，天津大学提出一种 4 自由度新型混联机器 人模块——Bicept [5-7](图 1)。该机构由一个 2 自由 度平面并联机构和一 2 自由度转头串接构成，是著 名的 Tricept 机器人的一种二维形式，具有制造成本 低的优点，配以长行程导轨可用于飞机壁板类零件 的自动制孔(图 2)。
图 1 Bicept 机器人
动支链并联机构的解析建模问题，但因采用一维弹 簧描述约束支链的弯曲变形，故建模精度不高。 PASHKEVICH 等[19]采用六维弹簧提出了一种可用 于过约束机构的刚度建模方法，但建模过程比较繁 复。王友渔等[12, 20]基于全变形雅可比矩阵，建立了 Tricept 机器人末端刚度的完备解析模型，且在建立 系统部件刚度模型时，利用静态凝聚技术和变形协 调条件，有效地解决了恰约束支链弯曲刚度的精准 建模问题。该方法建模思路清晰且列式简洁，能直 观地揭示出系统末端变形在驱动和约束空间中的投 影与相应部件弹性间的内在联系，为在整个空间中 快速预估系统的刚度提供了一种有力的手段。
Stiffness Analysis of a 4-DOF Hybrid Robot
WANG Manxin WANG Panfeng SONG Yimin ZHAO Xueman HUANG Tian
(Key Laboratory of Mechanism and Equipment Design of Ministry of Education, Tianjin University, Tianjin 300072)
如图 1 所示，Bicept 机器人中的并联机构由机 架、动平台及与之相连的 3 条支链组成。其中 2 条 对称的 RPR 主动支链的两端分别与动平台和机架 通过回转副相连，而恰约束 RP 支链一端与动平台 固接，另一端亦与机架通过回转副连接。在此，R、 P 分别表示回转副和移动副；P 表示主动移动副， 可通过伺服电动机与滚珠丝杠螺母副实现。此外， 为了实现姿态能力，动平台上串接了一个 2 自由度 转头，进而使得末端执行器可实现 4 自由度运动。
本文沿用 WANG 等[20]提出的建模思路，研究 Bicept 机器人中 2 自由度并联机构的面内刚度半解 析建模问题，并揭示末端刚度在工作空间中随位形 变化的规律，旨在为这种机器人的详细机械设计提 供理论依据。
1 Bicept 机器人简介及坐标系定义
图 2 Bicept 用于飞机小臂板钻铆加工概念
第 47 卷第 15 期 2011 年 8 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.47 No.15 Aug. 2 0 1 1
DOI：10.3901/JME.2011.15.009
4 自由度混联机器人静刚度分析*
汪满新 王攀峰 宋轶民 赵学满 黄 田
(天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室 天津 300072)