线性代数(第二版)第一节矩阵的概念

1 .1 所 示 .
成绩 学生
课程
表 表 1 1 .. 1 1 数学
期 期 末 末 考 考 试 试 成 成 绩 绩 表 表
语文
英语
甲
90
86
95
乙 丙 丁
78 92 66
80 93 74
70 96 75
主 数
引 引 例 例 要原料 量如表
2 2
生 生 产 产 原 原 料 料 表 表
设有三个炼油厂以原油作为
定义 1.1 设 F 是由一些数组成的集合，其中包
含 0 和 1 . 如果 F 中的任意两个数(这两个数也可以 相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 F 中的数
则 F 就称为一个数域.
根据上面的定义，全体整数组成的集合不是一个 数域，因为任意两个整数的商(除数不为零)不一定是 整数. 而由全体有理数组成的集合Q、全体实数组成 的集合 R 和全体复数组成的集合 C 都是数域，分别 称为有理数域、实数域和复数域. 在本书中主要涉及 的数域是实数域 R，故若无特别说明，各章中所涉及 的数均为实数. 若是指任意数域，则用 F 表示.
2 1 5 1 2 3 1 3 7 2 0 7
反 对
5 7 4 3 7 2
称 矩
实对称矩阵
阵
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容单若束内请返结本若节击想请本 本容单若 若束内请 请返结本若节已击想本请本容单若回束内请返结节已击想本本容单若回束节想内请返结单节 节已想击想本本容单单若回束节想内结请返结堂单节已击想按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本内结本容单若回束击内 内结请返结结堂节已击想击按本内结本 本 本容束单若 若 若回束课击内结请 请 请返结钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂容束节已击想按本返本容 容束单若回束束课内结请返返结钮堂容束节 节 节已击想想 想按本,返本容束单单 单若回束课.内结!请返结钮堂节已击想按本,容束单回束课.已本内结!返结钮堂回节已 已击想按本本,容束单回回束课.已本内 内 内结!返结结 结钮堂回节已击击 击想按本,容束单回束课.内结!返结钮堂已击按本,结堂容束回束课.按内结 结!返结钮堂堂已击按按本,结堂容 容 容束回束 束束课.按内结!返 返返结钮堂已击按本,容束回束课.结!返钮堂束课已按本,钮容束 束回束课课.结!返钮钮堂束课已 已 已按本 本本,钮容束回 回回束课.结!返钮堂已按本,束回课.,结!钮堂.已按本,,!束回课..,结 结 结!!钮堂堂堂.已按按按本,!束回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,束束束课课.课结!钮钮钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,,,束课...!!!钮,.!,.!,.!
j 列的元 ( i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) .
通常用大写的拉丁字母 A、B、C 等表示矩阵. 有
时为了指明矩阵的行数和列数，也可以将 m 行 n 列
的矩阵 A 记作 Am n . 例如
5×2
矩阵
1 2 4 3 9 8 5 2
4
2
1
0
1 2 3 0
为零矩阵， m n 零矩阵记为 Ｏm n ，在不会引 起混淆的情况下，也可记为 Ｏ．
(3) 方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 常简记为 A= ( aij )n .
(6) 数量矩阵 主对角线上的元全相等的对角矩阵称为数 量矩阵. 例如
n 阶数量矩阵
c
c
, 其中 c 为常数.
c
n
(7) 三角矩阵
主对角线下 (上) 方的元全为零的方阵称为
上 (下) 三角矩阵. 例如
a11
a12 a 22
a1n a11 a 2n a 21
a 22
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0.
0 0 2
对角矩阵
(5) 单位矩阵
主对角线上的元全为 1 的对角矩阵称为单
位矩阵, 简记为 E 或 I . 如
1
En
1
.
1 n
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地
位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.
如
EA = AE = A .
9
8
5 1
3 5
３×４矩阵
三、几种特殊的矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如
A = ( a11 a12 … a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
如
a 11
B
a 21
.
a m 1
(2) 零矩阵 若一个矩阵的所有元都为零，则称这个矩阵
(4) 对角矩阵 主对角线上的元不全为零，其余的元全都为 零的方阵称为对角矩阵，如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
线性代数（第二版）第一节矩阵的 概念
第一节 矩阵的概念
引例 矩阵的概念 几种特殊的矩阵
一、引例
乙 成
引 引 例 例 1 1
考 考 试 试 成 成 绩 绩 表 表
假设我们记录
4 名学生甲、
、丙、丁的
3 门 课 程 (数 学 、 语 文 、 英 语 )的 期 末 考 试
绩 . 満 分 为 100分 ， 期 末 考 试 成 绩 如 表
，利用一吨原油生产的燃料油、柴油和汽油
1 .2 所 示
( 单 位 ： t ):
表 表
1 1 .. 2 2
生 生 产 产 原 原 料 料 表 表
第一炼油厂
第二炼油厂
第三炼油厂
燃料油 柴油 汽油
0 .7 6 2 0 .1 9 0 0 .2 8 6
0 .4 7 6 0 .4 7 6 0 .3 8 1
0 .2 8 6 0 .3 8 1 0 .5 7 1
下面给出矩阵的定义.
定义 1.2 由 m n 个数 aij , ( i = 1 , 2 , … , m ;
j = 1 , 2 , … , n ) 排成的一个 m 行 n 列的数表
a11 a21
a12 a 22
a1n a2n
am1 am 2 amn
称为一个 m n 矩阵. 其中 aij 称为矩阵的第 i 行第
引 引 例 例
3 3
二 二 次 次 曲 曲 线 线 的 的 矩 矩 阵 阵
二次曲线的一般方程为
(1 )
的
左
ax2 +
Leabharlann Baidu2bxy +
端可以用表
x
x
a
cy2 +
y b
2dx
1 d
+
2 ey
y
b
c
e
1
d
e
f
来表示，其中每一个数就是它所在
+ f= 0 的行和
. 列
所
(1 ) 对应
二、矩阵的概念
由于线性代数中的许多问题，在不同的数集范围 内讨论，可能得到不同的结论. 为此，需要先引入数 域的概念.
a nn a n1 a n 2 a nn
上三角矩阵
下三角矩阵
(8) 对称矩阵与反对称矩阵
在方阵 A = ( aij )n 中, 如果 aij = aji ( i , j = 1, 2, …, n) 则称 A 为对称矩阵. 如果 A 还是实矩阵, 则 称 A 为实对称矩阵. 如果 aij = -aji (i , j = 1, 2, … , n) , 则称 A 为反对称矩阵. 例如