金融工程 第十二章 布莱克-斯科尔斯-莫顿模型

第13章 章 Black-ScholesBlack-Scholes-Merton 模型
内容提纲
股票价格和收益的分布性质 波动率 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程 风险中性定价 布莱克-斯科尔斯定价公式 隐含波动率 股息对期权定价的影响
13.1 股价的对数正态分布性质 lognormal property of stock prices
S = S t + σ S z
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是 S和t的函数，根据伊藤引理可得： ： f f 1 f f
df = ( S
S +
t
+
2
2 S
2
σ 2 S 2 ) dt +
S
σSdz
在一个小的时间间隔中，f的变化值△f为:
f f 1 2 f 2 2 f f = ( S + + σ S ) t + σSz S t 2 S 2 S
ST = S0 e 1 ST x = ln T S0 2 2 σ σ x ≈ φ , 2 T
xT
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13.3 预期收益率 The expected return
（13.4）表明股价的期望值为S0eT 股价的预期收益率为 – σ2/2 ；而不是 原因：
T = ln[ E ( ST / S0 )] >E[ln( ST / S0 )], 因此，E ( x) <
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应用于股票远期合约
远期合约到期时刻的价值： 远期合约到期时刻的价值： 远期合约在时间0的价值： 远期合约在时间 的价值： 的价值
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13.8 布莱克 斯科尔斯定价公式 布莱克-斯科尔斯定价公式
Black-Scholes pricing formulas
E[max( S T X ,0)] 右边求值是一种积分过程，结 对c = e 果为：c = SN (d 1 ) Xe r (T t ) N (d 2 )
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和 σ2/2
=E(S/S)，是日均收益率 σ2/2 则是所有数据所覆盖的的区间上的期 望收益
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13.4 波动率 volatility
股票波动率可以被定义为按连续复利时股 票在年内所提供收益率的标准差 在t时间内股票价格变化百分比的标准差 为: σ t 如果股价为$50 ，波动率为 30% ，对应 于每周价格百分比变化的标准差近似地等 于： 50 * (30 * 1 / 52) = 50 * 4.16% = 2.08美元
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程 舒尔斯微分分程， 舒尔斯微分分程 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有 衍生证券的定价。
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边界条件 key boundary conditions
在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期 权到期时（T时刻）的期望值为： 其中 E ：表示风险中性条件下的期望值。 根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格 c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的 现值，即： ∧
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为了消除风险源 z ，可以构建一个包括一单 f 位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组 S 合。 令Π
f Π 代表该投资组合的价值，则： = f + x S
在 t 时间后，该投资组合的价值变化Π 为： Π = f + f S 代入△f 和△S可得
f 1 2 f 2 2 Π = ( σ S )t 2 t 2 S
令股价为S 定义： 为股票每年的收益率期望；σ为股 票价格每年的波动率 在 t时间段股票收益的均值值为 t, 股票 收益服从正态分布: S
φ ( m, v)
S
≈ φ t, σ2t
(
)
代表期望为m,标准差为v的正态分布
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12.6节证明了：
σ2 T, σ2T ln ST ln S0 ≈ φ 2 or σ2 T, σ2T ln ST ≈ φln S0 + 2
lnST 服从正态分布, 则ST 服从对数正态分布
对数正态分布图
E ( ST ) = S0 eT var ( ST ) = S0 e
2 2 T
(e
σ 2T
1)
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13.2收益率的分布 The distribution of the rate of return
若 x代表从0~T之间以连续复利的收益率,则
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构建无风险交易组合
构建：可由期权与标的股票所组成的无风险组 合，组合收益率等于无风险利率r 原因：
股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素（股 价）的影响； 在任意短时期内，衍生品价格与股价强相关性 在短时间内，股票盈亏可抵消期权带来的盈亏
例：假设△c=0.4△S，可构造无风险交易组合
0.4只股票的长头寸 一个看涨期权的短头寸
13.6 布莱克 斯科尔斯 默顿微分方程的推导 布莱克-斯科尔斯 斯科尔斯-默顿微分方程的推导
derivation of the Black-Scholes-Merton differential equation
由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
dS = Sdt + σ Sdz
其在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S:
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13.11 隐含波动率 implied volatility
估计无风险利率：一般来说，在美国人们大多选择美 国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国过去 通常使用银行存款利率，现在则可以从银行间债券市 场的价格中确定国债即期利率作为无风险利率，并且 要转化为连续复利的形式，才可以在B-S-M公式中应用 。其次，要注意选择利率期限。如果利率期限结构曲 线倾斜严重，须选择距离期权到期日最近的利率作为 无风险利率。 估计标的资产价格的波动率：比估计无风险利率困难 得多，也更为重要。估计标的资产价格波动率有两种 方法：历史波动率和隐含波动率。
d1 =
ln(S / X ) + (r + σ 2 / 2)(T t )
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定价公式的理解： 定价公式的理解：
在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST 大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的 概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现 值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望 值的现值 。 因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。
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S
f 1 2 f 2 2 Π = ( σ S )t t 2 S 2
中不含任何风险源，因
此组合Π 必须获得无风险收益，即
Π = rΠt
代入上式可得
f 1 2 f 2 2 f ( + σ S )t = r ( f S ) t t 2 S 2 S
化简为
f f 1 2 2 2 f + rS + σ S = rf t 2 S S 2
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13.4.2 交易日天数与日历天数
交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率 要高 因此，由历史数据计算波动率或期权期限时， 采用的是交易日天数而不是日历天数
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13.5布莱克 斯科尔斯 默顿微分方程的概念 布莱克-斯科尔斯 布莱克 斯科尔斯-默顿微分方程的概念 Concepts underlying the Black-Scholes-Merton differential equation
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波动率 volatility
我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价 格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行 价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动 率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当 中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风 险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计 算求得估计值。
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假设：
1、股票价格遵循几何布朗运动，即 2、允许卖空标的证券；
和
σ 为常数；
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
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背景：1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型 ，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界 引起了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地 一般化的模型。舒尔斯和默顿由此 提出了一个更为一般化 一般化 获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐 进，尽量深入浅出地介绍布莱克-斯科尔斯-默顿期 权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出 衍生证券定价的一般方法。
c = e r (T t ) E[max( S T X ,0)]
∧
∧
E[max(S T X ,0)]
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13.7 风险中性定价 risk-free neutral valuation
观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制 于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包 括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风 险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此 我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在 在 对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。 对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽 管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的 结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资 者厌恶风险的所有情况。 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以 等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利 率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。
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基本思路
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的 走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍 生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利 率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一 来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价 格的最根本因素。 要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化 规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过 股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。
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13.4.1 历史数据法
1. 在时间长度为τ年内，观察到股价为 S0, S 1, . . . , S n 。 2. 计算第i个区间结束时的股票收益率
Si ui = ln Si1
3. 计算ui的标准差 s 4. 由（13-2）得： ui的标准差 也为 ，因此有： σ = s
τ
σ τ
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无收益资产的欧式看跌期权的定价公式
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价 关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价 公式：
p = Xe
r (T t )
N(d 2 ) SN(d1 )
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B-S公式的性质
当前股票价格很大，期权价格： 当前股票价格很大，期权价格：
股票波动率接近于零，期权价格： 股票波动率接近于零，期权价格：
r (T t ) ∧
其中，
N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布 函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分 布函数特性，我们有 N ( x) = 1 N ( x) 。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。 27
σ T t ln(S / X ) + (r σ 2 / 2)(T t ) d2 = = d1 σ T t σ T t
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13.12 股息 Dividend
13.12.1有收益资产的欧式期权的定价公式（1） 有收益资产的欧式期权的定价公式（ ） 有收益资产的欧式期权的定价公式
对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况 下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效 期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期 权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而 消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。 σ表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接 套用公式: c = SN(d1 ) Xer (T t ) N (d 2 )
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历史波动率：从标的资产价格的历史数据中计算出价 格对数收益率的标准差，具体方法一般有两种，第一 种直接用一般统计方法计算样本对数收益率标准差， 第二种则包括广义自回归条件异方差模型GARCH、随 机波动率模型等。 隐含波动率：资本市场具有强大的信息功能。资本市 场上股票价格、债券价格、期权价格等都包含了重要 的信息。在现实中，我们常常已经知道了期权价格， 这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中隐含的波 动率信息。所谓的隐含波动率，即根据B-S-M期权定 价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的 期权报价代入，计算得到的波动率数据，然后用于其 它条件类似的期权定价、风险管理等。显然，这里计 算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期 。