大学数学到考研数学的完美进阶

2.2夯实基础，掌握三基—例证
lim
x→0
sin6x + xf x3
x
=
lim
x→0
6x
+ xf x3
x
=
lim
x→0
6
+f
x2
x
=0
等价无穷小替换时，一般原则：“乘除可用、加减慎 用
2.2夯实基础，掌握三基—例证
lim
x→0
sin6x + x3
xf(x)
=
lim
x→0
sin6x x3
+limபைடு நூலகம்x→0
-
f(x0
)
添零项获增量
得
lim
n→∞
n
f(
1 n
)
-
1
=
f(0+1)- f(0)
lim
1 →0
n 1
= f(0)=1
n
n
2.2夯实基础，掌握三基—例证
[2000年考研真题]
若
sin 6x xf
lim
x0
x3
(x)
0,
则
6 f (x)
lim
x0
x2
( )
( A) 0 (B)6 (C )36 (D)
数学二 弧长、形心13(11)；曲率08(5). 方程组同解、公共解07(11)
数学三 差分方程[97(3);98(3);01(3)].
2.1以纲为纲，扫除盲区—例证
（2013年考研真题） 设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点，将L绕 z轴旋转一周得到曲面，与平面z 0, z 2所围成的立体为， (1)求旋转曲面的方程;(2)求的形心坐标.
x →1
xln x
x x+1ln
x
=1, 2
lim f x = lim
x →-1
x →-1
xln x
x x+1ln
x
= ∞.
故x =-1为无穷间断点，x = 0，1为可去间断点，
即有两个可去间断点，选（C）
2. 如何进阶考研数学 2.1以纲为纲，扫除盲区 2.2夯实基础，掌握三基 2.3归纳题型，总结方法 2.4科学规划，完美进阶
xf(x) x3
lim
x0
6x x3
lim x0
xf (x) x3
lim x0
6 x2
lim x0
f (x) x2
lim
x0
6
f( x2
x)
0.
此极限不能拆开，因为拆开的前提是：两个极限分别存在
正解：已知：
lim
x0
sin
6
x
x3
xf
(
x
)
0，求
lim
x0
6
f
x2
x
题型：由已 知极限求未 知极限。
f'(x) g'(x)
存在(或为∞)
则 lim f(x) = lim f'(x)
x→a g(x) x→a g'(x)
2.3 归纳题型 总结方法
• 第一步：先定型 • 第二步：再化简.
包括非零因子先求出、等价无穷小 替换、有理化、幂指恒等、通分、倒代 换、提公因式、极限四则运算等。 • 第三步：用法则
则lim n( f ( 1 ) 1) ________ .
n
n
[分析]：本题可归结为已知导数求极限的题型， 方法是利用导数定义
2.2夯实基础，掌握三基—例证
解： 由方程 y - x = ex(1-y) 可得， f(0)=1, f(0)=1
所以，利用导数定义
f(x
0
)
=
lim
Δ→0
f(x0
+
Δ) Δ
2.2夯实基础，掌握三基—难度曲线
难
1999-2002
度
1987
2009-2018
时间
基本概念、基本理论、基本方法占70%
2.2夯实基础，掌握三基—如何看书
• 概念：语言描述、几何意义、横向联系 • 性质、定理、公式：条件、结论、变形
2.2夯实基础，掌握三基—例证
2013年数一、二
设函数由方程y - x e x( 1- y)确定，
方法：把未 知极限向已 知极限凑。
lim
x0
6
f( x2
x
)
lim
x0
6
x
xf x3
(
x
)
lim[
x0
sin
6
x x3
xf
(
x
)
6
x
sin x3
6
x
]
lim
x0
6x
sin x3
6x
lim
x0
6
6cos 3x2
6x
36
2.3归纳题型 总结方法
求极限的9种方法: 1)极限四则运算； 2)函数的连续性； 3)两个重要极限; 4)等价无穷小替换；
解：首先函数的间断点为x = 0, x =1，x =-1
lim
x→0
x
x x -1
x +1 ln
x
= lim x→0
exln x -1
x x+1ln
x
幂指恒等：
uv evlnu
= lim x→0
xln x
x x+1ln
x
=1,
1.大学数学与考研数学的区别 —例证
limf x =lim
x →1
2.3 归纳题型 总结方法—例证
1
1
例（2010年考研真题）求极限 lim (xx -1)lnx
x→+∞
幂指恒等：
lnx
1
解：lim (xx
1
- 1)lnx
1 ln(e x
= elim x→+∞ lnx
-1)
x+∞
非零因子
课程纲要
1.大学数学与考研数学的区别 2.如何进阶考研数学
1.大学数学与考研数学的区别
大学数学
考研数学
教学目标 重过程、轻结果 重结果、轻过程
教学内容 以教学大纲为中心 以考试大纲为中心
各自为政
全国统一
考试性质 水平性测试
选拔性测试
考试难度 划重点、难度低 综合性强、难度高
1.大学数学与考研数学的区别 —例证
例1：求函数f
x
=
sin x
x2 -
-1 1
的可去间断
点的个数( )
A 0 B1 C 2 D无穷多
[分析]： 考点：可去间断点定义
1.大学数学与考研数学的区别 —例证
解： x =-1和x =1是间断点
lim
x→-1
sin x
x2 -
-1
1
=
∞,
所以x
=
-1是无穷间断点
lim
x →1
sinx -1
x2 -1
=
1 2
,
所以x
=
1是可去间断点.
即只有一个可去间断点，选（B）
1.大学数学与考研数学的区别 —例证
(2013年考研真题)
例2.函数f x =
x x -1
x x+1ln
x
的可去间断点
的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
分析：幂指函数求极限、等价无穷小替换、 可去间断点定义
1.大学数学与考研数学的区别 —例证
2.3归纳题型 总结方法
5)洛必达法则及泰勒公式； 6)夹逼定理； 7)定积分定义； 8)导数的定义； 9)级数的收敛性。
2.3 归纳题型 总结方法—洛必达法则
若(1)当x→a时,函数f(x)与g(x)都趋于0(∞)；
(2)在点a的某去心邻域内,f'(x)与g'(x)都
存在且g'(x)≠0
(3) lxi→ma
2.1以纲为纲，扫除盲区—大纲要求
数学一考试大纲第四章第8条 “会求简单的柱面和旋转曲面的方程。”
数学三考试大纲第六章第5条 “了解差分方程及其通解与特解等概念”
2.1以纲为纲，扫除盲区—盲区举例
数学一 旋转曲面的方程[94(6);98(5);13(11)]；假 设检验98(4)；大数定律01(3).