概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章-推荐下载

第七章 参数估计

1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计）

74.001

74.005

74.003

74.001

74.000

73.998

74.006

74.002

求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。

解：μ，σ2的矩估计是

61

22

106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑n

i i x X n X σμ

。

621086.6-⨯=S 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布

律中的未知参数的矩估计量。

（1）其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

⎩

⎨

⎧>=+-其它,0,)()1(c

x x c θx f θθ（2）其中θ>0，θ为未知参数。

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤=-.,01

0,)(1其它x x θx f θ（5）为未知参数。

()p p m x p p

x X P x m x

m x

,10,,,2,1,0,)1()(<<=-=

=- 解：（1），

X θc

θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc

θ

θ

=--=-==

=

+-∞

+-∞

+∞-⎰

⎰

1

,11)()(1令得c

X X θ-=

（2）,1

)()(1

0+=

=

=

⎰

⎰

∞

+∞-θθdx x

θdx x xf X E θ

2

)

1(,1

X X θX θθ-==+得令

（5）E (X ) = mp

令mp = ，解得X m

X p

=ˆ3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数

1

211

)()()(+-===

∏θn θ

n n n

i i

x x x c

θ

x f θL

ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1

1

=-

+=-++=∑∑

==n

i i

n

i i x

c n n θ

θd θL d x θc θn θn θL （解唯一故为极大似然估计量）

∑=-=

n i i

c

n x

n

θ1

ln ln ˆ（2）∑

∏=--

=-+-===

n

i i

θn n n

i i x θθn

θL x x x θ

x f θL 1

1

212

1

ln )1()ln(2)(ln ,)

()()( 。(解唯一)故为极大似然估

∑∑

====+⋅-=n

i i

n i i x n

θx θ

θn θd θL d 1

2

1)

ln (ˆ,0ln 21

12)(ln 计量。

（5），

∑∑==-

=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===

∏

n

i n

i i

i

x mn x n n

i i p p

x m x m x X P p L 1

1

)1(}{)(11

()),

1ln()(ln ln )(ln 1

1

1

p x mn p x

p L n

i i

n i i

n

i m

x i

--

++=

∑∑∑===0

1)

(ln 1

1=--

-

=∑∑==p

x

mn p

x

dp

p L d n i i

n i i

解得 ，（解唯一）故为极大似然估计量。m

X mn

x

p n

i i

=

=

∑=2

4．[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求

λ的极大似然估计量及矩估计量。

解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故=为矩估计量。

λˆX （2）极大似然估计，

λn n x n

i i e x x x λλx P λL n

i i

-=∑===

∏

!

!!);()(211

1

λ

n x λx

λL n

i i

n i i

--

=

∑∑==1

1

!ln ln )(ln