第24讲 弯曲变形 10-5、10-6、习题课

a
a 2a
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解：将外伸梁沿 B 截面截成 两段,将AB 段看成 B 端固定 的悬臂梁,BC 段看成简支梁.
B截面两侧的相互作用为：
2q q A a B a D C
2qa
M B qa
2q
2
2a
2qa
q
M B qa
A B 2qa
2
M B qa
2
B
D
C
江苏科技大学张家港校区 简支梁BC的受力情况与外伸 梁AC 的BC段的受力情况相 2qa
返回25
qa qa 7qa wA 3 EI 4 EI 12 EI
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思考题2
已知F，L，a，EI，求外伸端C的挠度与转角。
B
• 分析与解答： F
C L a C A
C1 Fa 2 / 2 EI
【查PPT5简表A】
F
B Fa
C1
wC1
wC1 Fa3 / 3EI
B Bq B
qa 3 EI
3
悬臂梁AB本身的弯曲变形,使A端产生挠度w2
由于简支梁上B截面的转动,带动AB段一起作刚体运动,使A 端产生挠度w1 因此，A端的总挠度应为 w A w1 w2 B a w2 【查PPT5简表A】 得
4 4 4
(2q )a 4 w2 8 EI
F1 L2 16 EI
= + +
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L
A L/2 D B
a C
(2)叠加求复杂载荷下的变形
F1
F2
C
图1
A
D
P1 L2 F2 La B 16 EI 3 EI
=
+
F1 L2a F2a 3 F2a 2 L wC 16 EI 3 EI 3 EI F2
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
2、对称性的利用 3、逐段刚化法【例6－5、思考题1、2、3】 4、积分叠加法【P228例6-6——略】 河海大学材料力学\材料力学.exe【观看叠加法例1、2、3】
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简表A－ 下表为左手坐标系下常见的6种结果
返回7 返回12 返回13 返回14 返回16 返回39 返回21
江苏科技大学张家港校区 逐段刚化法应用例题： 例10－５ 求外伸梁的B 截面的转角与外伸端C 截面的挠度,已 知EI，受力如图。
L A L/2 D B a C B A D C
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第24讲
10－5、10－6 ＋习题课
教学基本要求与教学重点：
【1】简单超静定梁。 【2】提高弯曲刚度的措施。 【3】习题课——弯曲变形计算与超静定梁
教学安排： 【1】习题课1：用叠加法求弯曲变形：
1、简单叠加法【重点】； 2、对称性的利用【技巧】； 3、逐段刚化叠加法【难点】； 4、积分叠加法 【2】讲授： § 10．5 简单超静定 § 10．6 提高弯曲刚度的措施 【3】习题课2——课堂练习1、2、3、4
2q q C
w A w Aq w AN
变形几何方程为
w Aq w AN l
在思考题1已求得
wA
2q
B
q
w Aq
7 qa 12 EI
4
C
w Aq
N
B
B
可算出【见思考题2：F改N， L=2a】
w AN
Na EI
3
w AN
C
江苏科技大学张家港校区 拉杆 AD 的伸长为:
Nl l EA
4、建立补充方程 将力与变形的关系代入 变形几何方程得补充方程
A
B
w Bq
w BR
A
B
B
RB
补充方程为
4
江苏科技大学张家港校区 RA mA
A
q B
3 ql RBl 0 8 EI 3 EI
RB
q
由该式解得
3 R B ql 8
求出该梁固定端的两个支反力
B
A
w Bq
5、求解其它问题（反力、应力、变形等）
F1
F2
F2
=
=
B
a
A
D
B
C
C
F2 M
C
+
F1
A
B
F2

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L
A L/2 D B
a
C
解:(1)结构变换,查表求简单 载荷变形. 【查PPT5简表A】
F1
F2
1 B
C
图1
D
F1
图2 B
C
F2
图3 A D B
F2
M
C
F1 L2a w1C 1 B a 16 EI 2B 0 F2a 3 w2C 3 EI ML LaF2 3B 3 EI 3 EI F2 La 2 w3 C 3 B a 3 EI
A L F C B a Fa F L F C
A
FL3 wB 3EI
B
wB
B
w1 w2
( Fa) L FL3 Fa 2 L B ( B截面的扭转角）w1 wB B a () GI p 3EI GI p
Fa3 w2 () 3EI
F (a L ) Fa L wc w1 w2 () 3EI GI p
7qa Na3 Nl 12EI EI EA
4
补充方程为:
4
由此解得:
7qa A N 12( Il Aa 3 )
N 2q q C
D
l
A
wA
A1
B
N
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§10–6 提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而 且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以,要想提
F
A
L B a
2
C 2 B 2 ( Fa) L / 3EI
C
wC 2 w a C2 B2 C 2
Fa 2 L 3EI
C C1 C 2
Fa 2L (1 ) 2 EI 3a
wC wC1 wC 2
Fa 2 ( a L) 3EI
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3、逐段刚化法 江苏科技大学张家港校区
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§10–5 超静定梁的解法(Solution methods forstatically indeterminate beams)
一. 基本概念 （Basic concepts）
1.超静定梁
单凭静力平衡方程不能求出全 部支反力的梁 , 称为超静定梁 RA
A C A
F
B
F
RC
RB
B
江苏科技大学张家港校区 2.―多余”约束( redundant constraint )
多于维持其静力平衡所必需的约束
3.―多余”反力( redundant reaction) A ―多余”约束相应的支座反力 4.超静定次数 (degree of statically indeterminate problem ): RA
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
江苏科技大学张家港校区 1、简单叠加法 多个载荷同时作用于结构而引起的变形，等于每个载荷 单独作用于结构而引起的变形的代数和.
C
F1=1kN
B
图2
+
F2 M
图3 A
D
B
C
江苏科技大学张家港校区 思考题1 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示, 试按叠加原理（逐段刚化法）并利用附表,求截面B的转角B以 及A端和BC 中点 D 的挠度 wA 和 wD . 【注意：左手坐标系——思考题1、2、3都取左手坐标系】
2q
q
A B D C
高弯曲刚度,就应从上述各种因素入手.
一、增大梁的抗弯刚度EI
二、减小跨度或增加支承
三、改变加载方式和支座位置
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EIw M (x)
为了减小梁的位移,可采取下列措施 (1)增大梁的抗弯刚度EI
工程中常采用工字形,箱形截面
(2)调整跨长和改变结构
设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角.
这是提高梁的刚度的一个很又效的措施.
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桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而
q
减小梁的最大挠度值.
A B l q
同时,由于梁的外伸部分的自重作 用,将使梁的AB跨产生向上的挠
q B l
度,从而使AB跨向下的挠度能够
A
被抵消一部分,而有所减小.
增加梁的支座也可以减小梁的挠度.
D
w
C
Dq
【查PPT5简表A】
M B qa
B
2
ql qa Bq 24 EI 3 EI 3 M Bl 2qa BM B 3 EI 3 EI 4 4 5ql 5qa w Dq 384 EI 24 EI 4 2 M B l qa w DM B 16 EI 4 EI
3 3 2
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第十章
弯曲变形 (Deflection of Beams)
§10-5 静不定梁的解法 (Solution methods for statically indeterminate beams) §10-6 提高弯曲刚度的措施 (The measures to strengthen rigidity)
w BR
5 R A ql 8 1 2 m A ql 8
A B
B
RB
江苏科技大学张家港校区 例题９ 梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接, 在
梁受荷载作用前, 杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材
制成, 材料的弹性模量为E, 钢梁横截面的惯性矩为I, 拉杆横截
面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力N.
A C
F
B
F
RC
RB
B
超静定梁的 “多余” 约束的 数目就等于其超静定次数.
n = 未知力的个数 - 独立平衡方程的数目
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二、求解超静定梁的步骤
(procedure for solving a statically indeterminate) 1、画静定基建立相当系统：
将可动绞链支座作看多余约束,解 除多余约束代之以约束反力 RB.得 到原超静定梁的基本静定系. 2、列几何方程——变形协调方程 超静定梁在多余约束处的约束条 件，梁的 变形协调条件 w B 0
A q B A
l
q B
RB
根据变形协调条件得变形几何方程： w B w Bq w BRB 变形几何方程为
wBq wBRB 0
江苏科技大学张家港校区 3、列物理方程—变形与力的关系 查表得
q B
w Bq
ql 8 EI
4
A
【查PPT5简表A】
3
RB
q
w BRB
RBl 3 EI
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习题课1（ 复习）：叠加法求弯曲变形
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，
就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当
每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿v 轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就 是叠加原理.
由叠加原理得:
3
3

BM B
w DM B
D
C
B Bq B
MB
qa 3 EI
3
w D w Dq w DM B
qa 24 EI
4
2q A
江苏科技大学张家港校区 2 2qa qa MB
A B
q
M B qa
2
θB
C D
MB
w2
2qa (2) 求wA
w1
θB
B
D l 2q q C A B
a
2a
江苏科技大学张家港校区 解：这是一次超静定问题.将AD杆与梁AC之间的连结绞看作多
余约束.拉力FN为多余反力.基本静定系如图
D D
N
2q 2q
q
q C C
A A
A
l
A1
N
w
B B
A
N A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点.即
w A l
江苏科技大学张家港校区 根据叠加法A端的挠度为 N
q C
同
由简支梁BC求得的B,wD 就是外伸梁AC的 B,wD 简支梁BC的变形就是MB和 均布荷载q分别引起变形的 叠加.
2q
q
M B qa
2
B
D
q
B
C D
M B qa
B a
2
B C
C D
A a
D
2a
江苏科技大学张家港校区 2qa
q
M B qa
B
2
(1)求 B ，wD
C
D
B
θ Bq
思考题3【板架】
• 求截面C的垂直位移,已知 F，L，a, EI, GIp.
• 分析：可用逐段刚化法计算截面C的垂直位移
A L F C
B
a
w1 ? 【BC刚性】
wB ?
w2 ? 【AB刚性】
wc ?
B ?
求截面C的铅垂位移,已知 F，L，a, EI, GIp. 江苏科技大学张家港校区 • 解答： 【查PPT5简表A】